2次関数と線分(長さ・正方形になるような点)(基～標準)

今回は、グラフと線分の長さについての問題を扱う。

まずは、座標を文字で表す練習をし、次に長さを文字で表す練習をしよう。

久々の更新です。

前回　2次関数と直線の交点(基～標)

次回　

※未チェック

1. 座標と文字
2.座標と長さ①
3. 正方形になる条件①
3.座標と長さ②
4. 座標と長さ③
解答

1. 座標と文字

例題01

下の図のような、 $y=\frac12 x^2$ のグラフ上の点A, Bについて

　　 f:id:keimathchem:20191226163846p:plain

(1) 点Aの座標を求めなさい。

(2) 点Bの座標を $t$ で表わせ。

(3) 点Bと $y$ 軸について対象な点Cの座標を $t$ で表わせ。

解説

(1) $x$ の値を式に代入するこで $y$ の値を得られる。

(2) $x$ の値が文字で置かれていても、同様に式に代入すればよい。

(3) 点Bの $x$ 座標が $t$ ならば、点Cの $x$ 座標は $-t$ となる。

(1)

図より、点Aの $x$ 座標は 2 であるから、

$x=2$ を $y=\frac12 x^2$ に代入して

　　 $y=\frac12 ×2^2$

　　　 $y=2$

よって、

$A(2, 2)$ 　・・・答

(2)

$x=t$ を $y=\frac12 x^2$ に代入し

　　 $y=\frac12 ×t^2=2t^2$

よって、

$B(t,\frac12 t^2)$ 　・・・答

(3)

点Cは、点Bと $y$ 軸に関して対称な点だから

　点Cの $x$ 座標は $ｰ t$

　 $y$ 座標は点Bの $y$ 座標と等しい

ゆえに、

$C(-t,\frac12 t^2)$ ・・・答

解答

(1) $A(2, 2)$

(2) $B(t,\frac12 t^2)$

(3) $C(-t,\frac12 t^2)$

練習問題01

　図のように、 $y=x^2$ のグラフ上に2点A,Bがある。直線ABはx軸に平行であった。点Aのx座標が正であるとき

　　 f:id:keimathchem:20191226164734p:plain

(1) 点Aの $x$ 座標を $t$ としたとき、点A, Bの座標を $t$ で表わせ。

(2) 点Bの $x$ 座標を $t$ としたとき、点A, B の座標を $t$ で表わせ。

2.座標と長さ①

例題02

(1) $xy$ 平面上に点A (3,2) がある。 $x$ 軸に平行で点Aを通る直線と $y$ 軸との交点をB, $y$ 軸に平行で点Aを通る直線と $x$ 軸との交点をCとする。

　①ABの長さを求めよ。

　②ACの長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20191226165348p:plain

(2) $y=\frac12 x^2$ のグラフ上に点Aがある。 $x$ 軸に平行で点Aを通る直線と $y$ 軸との交点をB, $y$ 軸に平行で点Aを通る直線と $x$ 軸との交点をCとする。点Aの $x$ 座標を $t$ としたとき、

　①ABの長さを $t$ で表わせ。

　②ACの長さを $t$ で表わせ

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解説

　ある点の座標がわかれば、その点から軸におろした垂線の長さがわかる。

　これは座標が文字で置かれていても変わらない。

(1)

点A(3，2)は原点から,

右 ( $x$ 軸方向) に3、

上 ( $y$ 軸方向) に2

のところにある

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よって、

$AB=3$

$AC=2$

(2)

(1)と同様に考える

点 A の座標は

　 $A (t,\frac12 t^2)$

よって、

$AB=t$

$AC=\frac12 t^2$

解答

(1) $AB =3,AC=2$

(2) $AB=t, AC=\frac12 t^2$

練習問題02

図のように、 $y=2x^2$ のグラフ上に点Aがある。 $x$ 軸に平行で点Aを通る直線と $y$ 軸との交点をB, $y$ 軸に平行で点Aを通る直線と $x$ 軸との交点をCとする。点Aの $x$ 座標を $t$ としたとき、

(1) ABの長さを $t$ で表わせ。

(2) ACの長さを $t$ で表わせ。

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3. 正方形になる条件①

例題03

　図のように、関数 $y=x^2$ 上に $x$ 座標が正であるような点Aをとる。点Aから垂線をおろし、 $x$ 軸との交点をBとする。点A,B と $y$ 軸に対称な位置に点C,D をとる。このとき、以下の問に答えよ。

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(1) 点Aの $x$ 座標を $t$ とするとき、AB, ADの長さをそれぞれ $t$ で表わせ。

(2) 長方形ABCDが正方形であるとき、点Aの座標を求めなさい。

(3) 長方形ABCDの周の長さが48となるとき、点Aの座標を求めなさい。

解説

正方形では、各辺の長さが等しい。

　 $AB = AD$

の方程式をたてればよい。　

(1)

点A,Dの座標は

　 $A(t,t^2)$

　 $D(-t,t^2$

である。 (t>0)

f:id:keimathchem:20191230023546p:plain

よって、上図より

　 $AB=2t$

　 $AD=t^2$

(2)

四角形 ABCD が正方形のとき

　 $AB = AD$

よって、

　 $2t = t^2$

これを解いて

　 $t =0,2$

A の $x$ 座標は正だから

　 $t=2$

ゆえに、

　 $A(2,4)$

(3)

長方形の周の長さを文字で表すと

　 $周の長さ=( AB + AD)×2=2t^2+4t$

周の長さが48なのだから、

　 $2t^2+4t=48$

　 $t^2+2t-24=0$

　 $(t+6)(t-4)=0$

　　 $t=-6,4$

点A の $x$ 座標は正だから

　　 $t=4$

よって、

$A(4,16)$

解答

(1)

　 $AB=2t,AD=t^2$

(2)

　 $AB = AD$ だから

　　 $2t = t^2$

　　　 $t=2$ 　 $(t＞0)$

　ゆえに、

　　 $A(2,4)$

(3)

　周の長さが48であるから

　　 $2t^2+4t=48$

　　　 $t=4$ 　 $(t＞0)$

　よって、

　　 $A(4,16)$

練習問題03

(1) 放物線 $y=ax^2$ と正方形ABCDがある。2点A,Dは $y=ax^2$ 上、2点B,Cは $x$ 軸上にある。Aの $x$ 座標が $2$ のとき、 $a$ の値を求めなさい。

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(2) 2点A, Bは、関数 $y=\frac12 x^2$ のグラフ上の点で、直線ABは $x$ 軸と平行である。2点A, Bから垂線をおろし、 $x$ 軸との交点をP,Qとおく。点Aの $x$ 座標が正のとき、以下の問に答えなさい。

　①長方形APQBが正方形であるとき、点Aの座標を求めなさい。

　②長方形APQBの周の長さが30であるとき、点Aの座標を求めなさい。

f:id:keimathchem:20191230025418p:plain

3.座標と長さ②

例題04

　図の点Aの $x$ 座標を $t$ (t>0) とする。

　(1) 2点B, Cの座標を $t$ で表わせ。

　(2) ABの長さを $t$ で表わせ。

　(3) ACの長さを $t$ で表わせ。

f:id:keimathchem:20200113191632p:plain

解説

数直線上の２点 $A(x_a)$ , $B(x_b)$ 間の距離は

　 $AB=x_b-x_a$ 　

引く順番に気をつけよう。

　・横線の場合　

　　　グラフ上で、右にある点から左にある点を引く

　・縦線の場合　

　　　グラフ上で、上にある点から下にある点を引く

例えば、

　 f:id:keimathchem:20200113191023p:plain 　

　 $A(2,3)$ と $B(5,3)$ のとき $AB=5-2=3$

　 $A(2,3)$ と $C(2-4)$ のとき $AC=3-(-4)=7$

補足　引く順番と絶対値記号

本来は以下のように絶対値記号がついている。

　 $AB=｜x_b-x_a｜$ 　（｜　｜）は絶対値記号

例えば、

$A(2,3)$ と $B(5,3)$ のとき

　　 $AB=5-2=｜+3｜=3$

　　 $AB=2-5=｜-3｜=3$

となり、どっちから引き算しても距離がマイナスになることはない。

ただし、中学校範囲では、文字を含んだ絶対値記号の処理を習わないので、先にあげた順番で計算するとよい。

(1)

　BはAと対象な位置にあるので

　　 $B(-t,t^2)$

　Cの $x$ 座標は Aの $x$ 座標と等しいので

　　 $C(t,\frac12 t^2)$

(2)

　 $A(t,t^2)$ と $B(-t,t^2)$ 　間の距離は

　グラフ上で右にあるAから、左にあるBを引く

　　 $AB=t-(-t)=2t$

(3)

　 $A(t,t^2)$ と $C(t,-\frac12 t^2)$ 　間の距離は

　グラフ上で上にあるAから、下にあるCを引く

　　 $AC=t^2-(-\frac12t^2)=\frac52 t^2$

解答

(1)　 $B(-t,t^2)$ 　 $C(t,\frac12 t^2)$

(2)　 $AB=2t$

(3)　 $AC=\frac52 t^2$

練習問題04

(1) 図の点Aの $x$ 座標を $t$ (t>0) とする。

　① 2点B, Cの座標を $t$ で表わせ。

　② ABの長さを $t$ で表わせ。

　③ ACの長さを $t$ で表わせ。

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(2) 2つの放物線 $y=\frac12 x^2$ と $y=-x^2$ のグラフ上にそれぞれ $x$ 座標が等しい点A, Bをとる。また、B, Aの $y$ 軸に関する対象点をそれぞれC, Dとする。点Aの $x$ 座標が正であるとき

① 長方形ABCDが正方形のとき、点Aの座標をもとめよ。

② AB=2ADとなるとき、点Aの座標を求めよ。

f:id:keimathchem:20200113193042p:plain

(3) 2つの放物線 ① $y=x^2$ と ② $y=\frac12 x^2$ がある。①上に2点A,Bがあり、直線ABは $x$ 軸と平行である。点A,Bからそれぞれ $y$ 軸に平行な直線を引き、②と交わる点をそれぞれP,Qとする。長方形APQBが正方形となるとき、点Aの座標を求めなさい。

f:id:keimathchem:20200113193448p:plain

4. 座標と長さ③

例題05

図のように、3つの放物線

　　①　 $y=x^2$

　　②　 $y=\frac14 x^2$

　　③　 $y=-\frac12 x^2$

がある。①,②,③のグラフ上にそれぞれ点A,B,Cとる。AB,ACがそれぞれ $x$ 軸, $y$ 軸と平行である。Aの $x$ 座標を $t$ (t＞0)とするとき,

　(1) 点B,Cの座標をそれぞれ $t$ で表わせ。

　(2) AC=2AB であるとき、点Aの座標を求めよ。

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解説

点Aと点Bは $y$ 座標が等しいので、

②の式に Aの $y$ 座標を代入すると

Bの $x$ 座標が出せる。

(1)

$A(t,t^2)$ とおける。

点Bは、点Aと $y$ 座標が等しいので

$y=\frac14x^2$ に $y=t^2$ を代入する

　 $t^2=\frac14x^2$

　 $x^2=4t^2$

　　 $x=±2t$ 4

点Bは点Aより右側にあるので

　 $x=2t$

よって、

　 $B(2t,t^2)$ 　・・・答

一方で、点Cの座標は

　 $C(t,-\frac12 r^2)$ 　・・・答

(2)

AC,ABの長さは

　 $AC=t^2-(-\frac12 t^2)=\frac52 t^2$

　 $AB=2t-t=t$

よって、

　 $AC=2AB$

　 $\frac52 t^2=2t$

　 $t(5t-4)=0$

　　 $t=\frac45$ (t>0)

よって、

　 $A(\frac45,\frac{16}{25})$

解答

(1)

　 $B(2t,t^2)$ 　 $C(t,-\frac12 r^2)$

(2)

　 $AC=\frac52 t^2$

　 $AB=t$

よって、

　 $\frac52 t^2=2t$

　　 $t=\frac45$ (t>0)

ゆえに、

　 $A(\frac45,\frac{16}{25})$

練習問題05

(1) 2つの放物線 $y=x^2$ と $y=ax^2$ (1<a) がある。 $y$ 軸上に点Pをとり,点Pを通り $x$ 軸に平行な直線と, 2つの放物線の交点をA,B,C,Dとする。点Cの $x$ 座標が3であるとき、AC:CD=4:1 が成り立つという。a の値を求めなさい。

　 f:id:keimathchem:20200113204225p:plain

(2) 放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-x+4$ がある。 $x$ 軸上の正の部分に2点P, Q, 放物線上にS, 直線上にRをとり、正方形PQRSをつくる。このとき、Pの座標を求めなさい。　

f:id:keimathchem:20200120011744p:plain

(3)放物線 $y=x^2$ と放物線 $y=\frac12 x^2$ 上のx軸上の正の部分にそれぞれ2点A,Bをとり、四角形ABCDが正方形になるように点C,Dをとったところ、点Dは $y=\frac12 x^2$ 上にあった。このとき、点Aの x 座標を求めなさい。

f:id:keimathchem:20200120012139p:plain

(4) 右の図において、放物線 $y=\frac12 x^2$ 上の x座標が-2,4である点をP,Qとする。また点Pを通り、傾き $-\frac12$ の直線を L]とする。このとき、線分PQ上に点Aをとり、Aから y軸と平行に引いた直線と直線 L]との交点をB, Bから x軸と平行に引いた直線と放物線との交点をCとして、正方形ABCDをつくる。このとき点Cのx座標を求めなさい。

f:id:keimathchem:20200126220034p:plain

解答

練習問題01

(1) $A(t,t^2),B(-t,t^2)$

(2) $A(-t,t^2),B(t,t^2)$

練習問題02

(1) $AB=t$

(2) $AC=2t^2$

練習問題03

(1)

Aの座標は $(2,4a)$ なので

　 $AB=4$ 　 $AC=4a$

よって、

　 $4a=4$

　　 $a=1$

(2)

①

　Aの座標を $(t,\frac12 t^2)$ とする

　　 $AB=2t$ , $AP=\frac12 t^2$

　であるから

　　 $2t=\frac12 t^2$

　　 $t(t-4)=0$

　　　 $t=4$ (t>0)

　よって、 $A(4,8)$

②

　周の長さが30であるから

　　 $2(2t+\frac12t^2)=30$

　　 $t^2+4t-15=0$

　解の公式より

　　　 $t=-2+\sqrt{19}$ (t>0)

　よって、 $A(-2+\sqrt{19}, \frac{23-2\sqrt{19}}{2})$

練習問題04

(1)

　① $B(-t,2t^2)$ , $C(t,t^2)$

　② $AB=t-(-t)=2t$

　③ $AC=2t^2-t^2=t^2$

(2)

①

$A(t,\frac12 t^2)$ (t＞0)とすると

　 $B(t,-t^2)$ 　

　 $C(-t,-t^2)$ 　

　 $D(-t,\frac12 t^2)$

とおける。

　 $AD=t-(-t)=2t$

　 $AB=\frac12 t^2-(-t^2)=\frac52 t^2$

長方形ABCDが正方形のとき

　 $AB=AD$

　　 $\frac52 t^2=2t$

　　 $t(5t-4)=0$

　　　 $t=\frac45$ (t>0)

よって、 $A(\frac45,\frac{8}{25})$

②

$AB=2AC$ より

　 $\frac52t^2=2×2t$

　 $t(5t-8)$

　　 $t=\frac85$ (t>0)

よって、 $A(\frac85, \frac{32}{25})$

(3)

$A(t,t^2)$ (t>0) とすると

　 $B(-t,t^2)$ $P(t,\frac12 t^2)$ $Q(-t,\frac12 t^2)$

となる。

　 $AB=t-(-t)=2t$

　 $AP=t^2-\frac12 t^2=\frac12 t^2$

長方形APQBが正方形のとき

　 $AP=AB$

　 $\frac12 t^2=2t$

　 $t(t-4)=0$

　　 $=4$ (t>0)

よって、 $A(4,16)$

練習問題05

(1)

1<a なので、点Cは $y=ax^2$ 上の点である。

よって、 $C(3,9a^2)$

また、点Dの $y$ 座標は $y=9a^2$ なので

　 $9a^2=x^2$

　　 $x=3a$

よって、 $D=(3a,9a^2)$

ゆえに、

　 $CD=3a-3$

　 $AC=3a+3$

よって、

　 $AC:CD=4:1$

　 $AC=4CD$

　 $3a+3=4(3a-3)$

　 $9a=15$

　　 $a=\frac{5}{3}$

(2)

$P(t,0)$ (t>0) とすると　 $S(t,t^2)$

点Rと点Sの $y$ 座標は等しいので

　　 $t^2=-x+4$

　　　 $x=4-t^2$

つまり、 $R(4-t^2,t^2)$

よって、

　 $SP=t^2$

　 $SR=4-t^2-t$

ゆえに

　 $t^2=4-t^2-t$

　 $2t^2+t-4=0$

解の公式より

　 $t=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ (t>0)

よって、点Pの座標は

　 $P(\frac{-1+\sqrt{33}}{4},0)$

(3)

　 $A(t,t^2)$ (t>0) とする

　　 $t^2=\frac12 x^2$

　　　 $x=\sqrt{2}t$ (x>0)

よって、

　　 $B(\sqrt{2}t,t^2)$ 　 $D(t,\frac12 t^2)$

　 $AB=(\sqrt2-1)t$

　 $AD=\frac12 t^2$

であるから

　 $\frac12 t^2=(\sqrt2-1)t$

　 $t^2-2(\sqrt2-1)t=0$

　 $t(t-2\sqrt2+2)=0$

　　 $t=2\sqrt2-2$ (t>0)

(4)

$P(-2,2)$ ,　 $Q(4,8)$ であるから

　直線PQ　 $y=x+4$

　直線 L 　 $y=-\frac12 x+1$

また、

点Cの座標を $(t,\frac12 t^2)$ とする　

　※tは正か負かわからない。

直線L上にあるBの座標は

　 $\frac12t^2=-\frac12 x+1$

　 $t^2=-x+2$

　　 $x=2-t^2$

　 $B(2-t^2,\frac12 t^2)$

直線PQ上にあるAの座標は

　 $y=2-t^2+4$

　 $y=6-t^2$

　 $A(2-t^2,6-t^2)$

よって

　 $AB=6-\frac32 t^2$

　 $BC=t^2+t-2$

ゆえに

　 $AB=BC$

　 $6-\frac32 t^2=t^2+t-2$

　 $5t^2+2t-16=0$

　　 $t=\frac85,-2$

ただし、 $t=-2$ のとき

　 $BC=0$ となるので不適

よって、 $t=\frac85$