ページコンテンツ

数学の解説と練習問題

2020年度　京都公立高校入試(中期) ・解説

解説高校入試過去問 2020年度公立高校解説データベース

より詳しい解説は気が向いたら行います。

解いたばかりなので、とくに検証とかしてません。

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5
大問6

大問1

(1)

$5+4×(-3^2)$

　 $=5-36$

　 $=-31$

(2)

　 $4(3x+y)-6(\frac56 x -\frac43 y)$

　　 $=12x+4y-5x+8y$

　　 $=7x+12y$

(3)

　 $\sqrt3 × \sqrt{32}+3\sqrt6$

　　 $=4\sqrt{6}+3\sqrt6$

　　 $=7\sqrt6$

(4)

　上×3－下×2より

　　 $y=-3$

　上式に代入し

　　 $2x-15=-7$

　　　 $x=4$

　よって、 $x=4,y=-3$

(5)

　略

(6)

二乗して

　 $25＜n＜36$

よって、nの個数は

　 $36-25-1=10$ 個

(7)

　DCを結ぶ

　弧BCに対する円周角だから

　　 $∠BDC=∠BAC=54°$

　外角と内角の関係より

　　 $∠ACD=73-54=19°$

　直径に対する円周角だから

　　 $∠BCD=90°$

　よって、

　　 $∠x=90-19=71°$

(8)

標本における不良品の割合は

　 $\frac{7}{300}$

で、母集団における不良品の割合と等しいため

　 $10000×\frac{7}{300}=233.33...$

よって、約230個

大問2

(1)

　二回目の操作で、Gが一番上に来なければならない。

　よって、一回目の出目が1～6のなんであっても、

　二回目の出目は6である。

　よって、 $\frac{6}{36}=\frac16$

(2)

一回目の操作で1～4が出た場合、二回目の操作で5，6が出ればよい。

一回目の操作で5が出た場合、Eが下から4番めに来ることがない、

一回目の操作で6が出た場合、二回目の操作で1～4が出ればよい

以上より。 $\frac{12}{36}=\frac13$

　　

大問3

(1)

　 $x=2$ を代入し $y=1$

　 $y=9$ を代入し $x=6$

よって、1 m, 6 s

(2)

　振り子Aが往復するのにかかる時間を $t$ とすると

　振り子Bが往復するのにかかる時間は $\frac45 t$

このとき、

　振り子Aの長さは、 $\frac14 t^2$

　振り子Bの長さは。 $\frac{4}{25} t^2$

と表されるから

　　 $\frac14 t^2 =\frac{4}{25}t^2 + \frac14$

これを解いて

　 $t=\frac53$

$y=\frac14 x^2$ より

　 $y=\frac{25}{36}$

よって、 $\frac{25}{36}$ m

大問4

(1)

ACの長さを求めれば良い

三角形ABCは直角三角形だから

三平方の定理より

　 $AC=8$

よって、8秒後

(2)

頂点BからCDに垂線を下ろす。

この垂線の長さhは、三平方の定理より

　 $36=h^2+1^2$

　　 $h=\sqrt{35}$

よって、三角形BCDの面積は

　 $2×\sqrt{35}÷2=\sqrt{35}$

一方で三角錐ABCDの体積は、

底面をBCDとすると、高さはABであるから

　 $\sqrt35×2\sqrt7÷3=\frac{14\sqrt5}{3}$

(3)

　高さが共通だから

　三角錐ABCDと三角錐AQPDの体積比は

　三角形ABCと三角AQPの面積比に等しい

　よって

　　 $ABC:AQP=\frac{14\sqrt5}{3}:\frac{24\sqrt5}{7}$

　　　 $-49:36$

　三角形ABC∽三角形AQPより

　　 $AC:AP=7:6$

　よって、APの長さは

　　 $AP=\frac67×8$

以上より、

　 $\frac{48}{7}$ 秒後

大問5

(1)

AからBCに垂線をおろし、

垂線の足をHとすると

求める距離＝AHの長さとなる

三角形ABCは3:4:5の直角三角形だから

　 $BC=10$

また、三角形ABC∽三角形HBAだから

三角形HBAも3:4:5の直角三角形である

よって、

　 $AH=4×\frac65=\frac{24}{5}$

また、

　 $BH=3×\frac65=\frac{18}{5}$

ここで、台形ABCDは等脚台形であるから

　 $AD=BC-2BH$

　　 $=10-\frac{36}{5}$

　　 $=\frac{14}{5}$

(2)

$BF:FC=3:2$ だから

　 $BF=6$ . $FC=4$

三角形ABC∽三角形FGC　だから

三角形FGCも3:4:5の直角三角形である

よって、

　 $GC=5$

よって、

　 $AG=3$

ゆえに、

　 $AG:GC=3:5$

(3)

AE:EG:GCを出して、面積比から攻める

三角形ADE∽三角形CBEだから

　 $AE:CE=AD:BC$

　　 $=\frac{14}{5}:10$

　　 $=7:25$

この結果と、(2)より

　 $AE:EG:GC=7:5:20$

三角形ABCと三角形ACDは底辺共通で

　 $DE:BE=AD:BC=7:25$

であるから

　 $△ACD=△ABC×\frac{7}{25}$

また、 $AE:EG:GC=7:5:20$ より

　 $△DEG=△ACD×\frac{5}{32}$

　　 $=△ABC×\frac{7}{25}×\frac{5}{32}$

　　 $=24×\frac{7}{25}×\frac{5}{32}$

　　 $=\frac{21}{20}$

大問6

(1)

7番目の図形

　奇数番目だけを取り出すと

　　1番目　　面積　1

　　3番目　　面積　4 (1+3)

　　5番目　　面積　9 (1+3+5)

と、面積はn番目までの奇数の和になっている

よって、7番目の図形の面積は

　 $1+3+5+7=16 cm^2$

16番目の図形

偶数番目だけ取り出して考えると

　2番目の図形は

　　1番めの図形+三角形1つ

　4番目の図形は

　　3番目の図形+三角形2つ

　6番目の図形は

　　5番目の図形+三角形3つ

なので、n番目の図形は

　n-1番目の図形+三角形 n÷2 つ

である。

よって、16番目の図形は

　15番目の図形+三角形8つ

となるので

　 $1+3+5+7+9+11+13+15+8$

　　 $=72 cm^2$

となる。

(2)

一般式で面積を出そう

nが奇数のとき、

$n=2k-1$ とすると

図形は底辺 $2k$ 高さ $k$ の三角形となるので

面積Sは　 $S=k^2$

$n=2k-1$ より $k=\frac{n+1}{2}$ なので

これを代入し

　 $S=\frac{(n+1)^2}{4}$

ｎが偶数のとき

面積Sは、n-1番目(奇数)までの面積+ $\frac{n}{2}$

よって、

　 $S=\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}$

以上を利用して

n番目(偶数)の面積と、(2bn+1)番目(奇数)との差について

次の式が成り立つ

　 $\frac{(2n+1+1)^2}{4}-(\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2})=331$

　 $(n+1)^2-(\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2})=331$

　 $4(n+1)^2-n^2-2n)=331×4$

　 $3n^2+6n+4=331×4$

　 $3n^2+6n-330×4=0$

　 $n^2+2n-110×4=0$

　 $(n-20)(n-22)=0$

　　 $n=20$