平方根の計算(四則計算・展開・式の値)(基}

今回は平方根の計算を学ぶ。

定期テストレベルでは、今回までの内容ができれば、

平方根の分野で平均点以上を取れる。

公立高校入試では、大問1の小問集合などでよく出るので、

確実に得点できるようにしておこう。

前回　←平方根の計算の準備(基)

次回　→平方根の計算(標)

　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

　 2.2 計算への準備と平方根の性質(基)

　2.3 平方根の計算

　　2.3.1 平方根の計算と四則計算・展開・式の値(基)

　　2.3.2 平方根の計算・展開・有利化・式の決定標～難)　

1.平方根の計算①乗法除法
2.平方根の計算②加法減法
3.平方根と展開
4.式の値
5.演習問題
6.解答

1.平方根の計算①乗法除法

　平方根の計算では

　　① $a\sqrt{b}$ の形で答える

　　② 分母の根号は有理化して答える

　の2つのルールが有る。

例題01　次の計算をせよ

(1) $2\sqrt5×\sqrt5$ 　　(2) $\sqrt6×\sqrt2$ 　　(3) $\sqrt{20}×\sqrt{15}$ 　　

(4) $\sqrt{12}×\sqrt{10}×\sqrt{21}$ 　(5) $\sqrt{75}÷\sqrt{50}$ 　(6) $\sqrt{\frac{12}{5}}×\sqrt{20}÷\sqrt{18}$

解説

前回のように、外同士、中同士で計算してから

結果を、 $a\sqrt{b}$ の形になおしたり、有理化する。

(1) $2\sqrt5×\sqrt5$

　　　 $=2\sqrt{25}$

　　　 $=2×5$

　　　 $=10$ ・・・答

(2) $\sqrt6×\sqrt2$

　　　 $=\sqrt{12}$

　　　 $=2\sqrt3$ ・・・答

(3) $\sqrt{20}×\sqrt{15}$

　初めに $\sqrt{20}$ は $=2\sqrt{5}$ にしておこう。

　　　 $=2\sqrt{5}×\sqrt{15}$

　　　 $=2\sqrt{75}$

　　　 $=10\sqrt{3}$ ・・・答

(4) $\sqrt{12}×\sqrt{10}×\sqrt{21}$

　　　 $=2\sqrt3×\sqrt{10}×\sqrt{21}$

　　　 $=2\sqrt{630}$

　　　 $=6\sqrt{70}$

(5) $\sqrt{75}÷\sqrt{50}$

　　 $=\frac{\sqrt{75} }{\sqrt{50}}$

　約分して

　　 $=\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2}}$

　有理化して　

　　 $=\frac{\sqrt{6} }{2}$ ・・・答

(6) $\sqrt{\frac{12}{5}}×\sqrt{20}÷\sqrt{18}$

　　 $=\sqrt{\frac{12×20}{5×18}}$

　　 $=\sqrt{\frac{8}{3}}$

　有理化して

　　 $=\frac{\sqrt{24}}{3}$

　　 $=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ ・・・答

初めにルートを $a\sqrt{b}$ の形に直すと計算が楽になる。

これは、平方根の他の計算問題でも重要になってくる。

補足

　もう少し早く計算するには、以下のようにするとよい。

　　① 初めにルートを $a\sqrt{b}$ の形に直す←なれれば不要

　　② $\sqrt a × \sqrt a = a$ を利用する

　　　(根号の中に同じ数字が2個あると、外に出せる)

　　③ 根号の中身を分解して②を利用できるか考える。

例 $\sqrt{15}×\sqrt{30}×\sqrt{6}$

　　 $=\sqrt{3×5}×\sqrt{5×6}×\sqrt{6}$

　　 $=(5×6)\sqrt{3}$

　　 $=30\sqrt{3}$ ・・・答

解答

(1) $2\sqrt5×\sqrt5$

　　　 $=2×5$

　　　 $=10$ ・・・答

(2) $\sqrt6×\sqrt2$

　　　 $=2\sqrt3$ ・・・答

(3) $\sqrt{20}×\sqrt{15}$

　　　 $=2\sqrt{5}×\sqrt{15}$

　　　 $=10\sqrt{3}$ ・・・答

(4) $\sqrt{12}×\sqrt{10}×\sqrt{21}$

　　　 $=2\sqrt3×\sqrt{10}×\sqrt{21}$

　　　 $=6\sqrt{70}$ ・・・答

(5) $\sqrt{75}÷\sqrt{50}$

　　　 $=\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{6} }{2}$ ・・・答

(6) $\sqrt{\frac{12}{5}}×\sqrt{20}÷\sqrt{18}$

　　 $=\sqrt{\frac{8}{3}}$

　　 $=\frac{2\sqrt{6}}{3}$ ・・・答

練習問題01　次の計算をせよ

(1) $2\sqrt2×3\sqrt2$ (2) $\sqrt{12}×\sqrt{27}$ (3) $\sqrt15×\sqrt24$

(4) $\sqrt{10}×\frac{1}{\sqrt2}×\sqrt{45}$ 　(5) $\sqrt6÷\sqrt{48}$ 　(6) $\sqrt{40}×\sqrt5÷\sqrt{12}$

2.平方根の計算②加法減法

　平方根の加法減法

　　 $a\sqrt b ±c\sqrt b = (a±b)\sqrt b$

　例　① $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$

　　　② $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

　　　③ $2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+2\sqrt{5}$

補足

　文字式の計算と似ている　

　例　 ② $3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

　　　 $\sqrt{2}=x$ とすると $3x-x=2x$

　上の例のように、同じルートの場合なら加法減法ができる。

　例③のように、ルートの中身が違うと計算できない。

　加法、減法はルートの前の数字だけで計算する。

例題02 次の計算をせよ

(1) $2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$ 　　　 (2) $3\sqrt{7}+\sqrt{7}$

(3) $\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 　　　(4) $\sqrt{18}-\sqrt{32}$

(5) $\sqrt{125}-\sqrt{27}+\sqrt{80}+\sqrt{12}$ 　　 (6) $\sqrt{48}÷\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{12}$

(7) $\sqrt{8}-\frac{3}{\sqrt{2}}$ 　　　(8) $\sqrt{45}-\frac{5}{\sqrt{5}}+\sqrt{80}$

解説

(4)以降はそのまま計算できない。

だから、初めに

　①すべて $a\sqrt{b}$ の形に直す

　②分母のルートは有理化する

ということを覚えておこう。

(1) $2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$

　そのままルートの前にある数だけで計算

　　 $=-3\sqrt{3}$ ・・・答

(2) $3\sqrt{7}+\sqrt{7}$

　同じく、そのままルートの前にある数だけ計算

　 $3\sqrt{7}+1\sqrt{7}$ と考えると分かりやすい。

　　 $=4\sqrt{7}$ ・・・答

(3) $\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5\sqrt{3}-\sqrt{2}$

　ルートの中身が同じ数同士でないと計算できない。

　　 $= -4\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ・・・答

(4) $\sqrt{18}-\sqrt{32}$

　初めにすべて $a\sqrt{b}$ の形に直す

　　 $=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}$

　これなら計算できるだろう

(5) $\sqrt{125}-\sqrt{27}+\sqrt{80}+\sqrt{12}$

　(4)と同じく、すべて $a\sqrt{b}$ の形に直す

　　 $=5\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

(6) $\sqrt{48}÷\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{26}$

　普通の計算とおなじで、掛け算とわり算を先にする

　　 $=\sqrt{24}+\sqrt{54}$

　すべて $a\sqrt{b}$ の形に直して

　　 $=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}$

　あとはできるだろう。

(7) $\sqrt{8}-\frac{3}{\sqrt{2}}$

　分母のルートは有理化

　　 $=2\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}$

　通分して

　　 $=\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}$

　　 $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ・・・答

(8) $\sqrt{45}-\frac{5}{\sqrt{5}}+\sqrt{80}$

　(7)と同じ、分母のルートは有理化する

　　 $=3\sqrt{5}-\sqrt{5}+4\sqrt{5}$

解答

(1) $2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$

　　 $=-3\sqrt{3}$ ・・・答

(2) $3\sqrt{7}+\sqrt{7}$

　　 $=4\sqrt{7}$ ・・・答

(3) $\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5\sqrt{3}-\sqrt{2}$

　　 $= -4\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ・・・答

(4) $\sqrt{18}-\sqrt{32}$

　　 $=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}$

　　 $=-\sqrt{2}$ ・・・答

(5) $\sqrt{125}-\sqrt{27}+\sqrt{80}+\sqrt{12}$

　　 $=5\sqrt{5}-3\sqrt{3}+4\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

　　 $=9\sqrt{5}-\sqrt{3}$ ・・・答

(6) $\sqrt{48}÷\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{26}$

　　 $=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}$

　　 $=5\sqrt{6}$ ・・・答

(7) $\sqrt{8}-\frac{3}{\sqrt{2}}$

　　 $=2\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}$

　　 $=\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}$

　　 $=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ・・・答

(8) $\sqrt{45}-\frac{5}{\sqrt{5}}+\sqrt{80}$

　　 $=3\sqrt{5}-\sqrt{5}+4\sqrt{5}$

　　 $=6\sqrt{5}$ ・・・答

練習問題02

(1) $3\sqrt6-5\sqrt6$ 　(2) $5\sqrt2+3-\sqrt2-4$ 　(3) $\sqrt{20}-\sqrt{75}+\sqrt{45}+\sqrt{27}$

(4) $\sqrt{32}×\sqrt{12}-\sqrt{30}×\frac{2}{\sqrt5}$ 　　(5) $\sqrt{54}-\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}$ 　(6) $\sqrt{63}+\sqrt{21}×\sqrt{12}-\frac{14}{\sqrt7}$

3.平方根と展開

例題03 次の計算をせよ。

(1) $\sqrt2 (\sqrt{12}+\sqrt{15})$ 　　 (2) $(\sqrt{54}+\sqrt{18})÷\sqrt2$

(3) $(\sqrt{24}-\sqrt6)×\frac{1}{\sqrt3}$ 　　(4) $(\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt{10})$

(5) $(\sqrt2+\sqrt3)^2$ 　　　　　(6) $(\sqrt{32}+\sqrt{12})^2$

(7) $(\sqrt3-\sqrt5)(\sqrt3+\sqrt5)$ (8) $(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt3+2\sqrt{5})$

解説

　やり方は式の展開で学んだ方法と同じ　→展開の基礎

　もちろん初めに、

　　①すべて $a\sqrt{b}$ の形に直す

　　②分母のルートは有理化する

　というのは変わらない。

(1) $\sqrt2 (\sqrt{12}+\sqrt{15})$

　すべて $a\sqrt{b}$ の形に直すと

　　 $=\sqrt2 (2\sqrt{3}+\sqrt{15})$

　(　)の中の項すべてに $\sqrt2$ を掛ければよい。

　　 $=\sqrt2×2\sqrt{3}+\sqrt2×\sqrt{15}$

　　 $=2\sqrt{6}+\sqrt{30}$ ・・答

(2) $(\sqrt{54}+\sqrt{18})÷\sqrt2$

(3) $(\sqrt{24}-\sqrt6)×\frac{1}{\sqrt3}$ 　

　やり方は(1)とおなじ、(3)は約分できるので、

　初めに有理化しなくてもよい。

(4) $(\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt{10})$

　文字と同じ感覚で展開すればよい。

　苦手なら、頭の中で計算せず、すべて書き出していこう。

　　 $(\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt{10})$

　　　 $=\sqrt2×\sqrt6-\sqrt2×\sqrt{10}+\sqrt5×\sqrt6-\sqrt5×\sqrt{10}$

　　　 $=2\sqrt3-2\sqrt5+\sqrt{30}-5\sqrt2$

(5) $(\sqrt2+\sqrt3)^2$

　 $(x+a)^2$ の公式

　展開のやり方通りに計算していく

　　 $=\sqrt2^2+2×\sqrt2×\sqrt3+\sqrt3^2$

　　 $=2+2\sqrt6+3$

　　 $=5+2\sqrt6$ ・・・答

(6) $(\sqrt{32}+\sqrt{12})^2$

　初めに $a\sqrt{b}$ の形に直すと

　　 $=(4\sqrt2+2\sqrt3)^2$

　あとは(5)と同じように展開すればよい。

(7) $(\sqrt3-\sqrt5)(\sqrt3+\sqrt5)$

　二乗－二乗の公式

　　 $=\sqrt3^2-\sqrt5^2$

　　 $=3-5$

　　 $=-2$ ・・・答

　この公式による展開では、答えが整数になるね。

(8) $(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt3+2\sqrt{5})$

　 $(x+a)(x+b)$ の公式

　　 $=\sqrt3^2+(\sqrt5+2\sqrt5)×\sqrt3+(2\sqrt5)^2$

　　 $=3+3\sqrt{15}+20$

　　 $=23+\sqrt{15}$ ・・・答

解答

(1) $\sqrt2 (\sqrt{12}+\sqrt{15})$

　　 $=\sqrt2×2\sqrt{3}+\sqrt2×\sqrt{15}$

　　 $=2\sqrt{6}+\sqrt{30}$ ・・答

(2) $(\sqrt{54}+\sqrt{18})÷\sqrt2$

　　 $=\sqrt{27}+\sqrt9$

　　 $=3\sqrt{3}+3$ ・・・答

(3) $(\sqrt{24}-\sqrt6)×\frac{1}{\sqrt3}$ 　

　　 $=\sqrt8-\sqrt2$

　　 $=2\sqrt2-\sqrt2$

　　 $=\sqrt2$ ・・・答

(4) $(\sqrt2+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt{10})$

　　 $=\sqrt2×\sqrt6-\sqrt2×\sqrt{10}+\sqrt5×\sqrt6-\sqrt5×\sqrt{10}$

　　 $=2\sqrt3-2\sqrt5+\sqrt{30}-5\sqrt2$ ・・・答

(5) $(\sqrt2+\sqrt3)^2$

　　 $=\sqrt2^2+2×\sqrt2×\sqrt3+\sqrt3^2$

　　 $=2+2\sqrt6+3$

　　 $=5+2\sqrt6$ ・・・答

(6) $(\sqrt{32}+\sqrt{12})^2$

　　 $=(4\sqrt2+2\sqrt3)^2$

　　 $=(4\sqrt2)^2+2×4\sqrt2×2\sqrt3+(2\sqrt3)^2$

　　 $=32+16\sqrt6+12$

　　 $=44+16\sqrt6$ ・・・答

(7) $(\sqrt3-\sqrt5)(\sqrt3+\sqrt5)$

　　 $=\sqrt3^2-\sqrt5^2)$

　　 $=3-5$

　　 $=-2$ ・・・答

(8) $(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt3+2\sqrt{5})$

　　 $=\sqrt3^2+(\sqrt5+2\sqrt5)×\sqrt3+(2\sqrt5)^2$

　　 $=3+3\sqrt{15}+20$

　　 $=23+\sqrt{15}$ ・・・答

練習問題03　次の計算をせよ

(1) $\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)$ (2) $(\sqrt{14}-\sqrt{18})÷\sqrt{2}$ (3) $(2\sqrt{3}+2)(2\sqrt{2}-3)$

(4) $(\sqrt{7}-2)^2$ (5) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$ (6) $(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{3}-\sqrt{18})$

(7) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-(\sqrt{6}-2)^2$ (8) $(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+2)-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

4.式の値

例題04

(1) $x=\sqrt2$ , $y=\sqrt3$ のとき、 $xy^2×12x^2 y÷\frac23 xy^2$ の値を求めよ。

(2) $x=\sqrt3+3$ , $y=\sqrt3-3$ のとき $xy-3y$ の値を求めよ。

(3) $x=\sqrt3-\sqrt2$ , $y=\sqrt3+\sqrt2$ のとき、 $x^2-y^2$ の値を求めよ。

(4) $x=\sqrt2-1$ のとき、 $x^2+2x+6$ の値を求めよ。

解説

もちろん、代入する前に計算、展開、因数分解をして

式を簡単な形に変形したほうがよい。

(1)

　代入する前に文字の計算を行う。

　 $xy^2×12x^2 y÷\frac23 xy^2$

　　 $=xy^2×12x^2 y×\frac{3}{2xy^2}$

　　 $=18x^2 y$

　ここに代入する。

(2)

　共通因数をとって、因数分解する

　 $xy-3y$

　　 $=y(x-3)$

　ここに代入して

　　 $=(\sqrt3-3)(\sqrt3+3-3)$

　　 $=(\sqrt3-3)×\sqrt3$

　あとは計算するだけ。

(3)

　二乗－二乗の公式で因数分解する

　 $x^2-y^2$

　　 $=(x-y)(x+y)$

　ここに代入して

　　 $=(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt2)$

　　 $=-2\sqrt2×2\sqrt3$

　計算しやすい形になった。

(4)

　因数分解できない。

　そのまま代入しよう。

　　　 $x^2+2x+6$

　　　　 $=(\sqrt2-1)^2+2(\sqrt2-1)+6$

　あとは計算する

補足

　標準～難関向けの方でもやるが、(4)には以下のような解き方がある。

　(4)

　　 $x=\sqrt2-1$ より

　　　 $x+1=\sqrt2$

　　両辺を二乗すると

　　　 $x^2+2x+1=2$

　　よって、

　　　 $x^2+2x+6$

　　　　　 $=x^2+2x+1+5$

　　　　　 $=2+5$

　　　　　 $=7$ ・・・答

平方完成を利用すれば

　(4)

　　 $x^2+2x+6$

　　　 $=(x+1)^2+5$

　ここに代入して

　　　 $=(\sqrt2)^2+5$

　　　 $=7$ ・・・答

解答

(1)

　 $xy^2×12x^2 y÷\frac23 xy^2$

　　 $=xy^2×12x^2 y×\frac{3}{2xy^2}$

　　 $=18x^2 y$

　ここに代入し

　　 $=18×(\sqrt2)^2×\sqrt3$

　　 $=36\sqrt3$ ・・・答

(2)

　 $xy-3y$

　　 $=y(x-3)$

　ここに代入して

　　 $=(\sqrt3-3)(\sqrt3+3-3)$

　　 $=(\sqrt3-3)×\sqrt3$

　　 $=3-3\sqrt3$ ・・・答

(3)

　 $x^2-y^2$

　　 $=(x-y)(x+y)$

　　 $=(\sqrt3-\sqrt2-\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt2)$

　　 $=-2\sqrt2×2\sqrt3$

　　 $=-4\sqrt6$ ・・・答

(4)

　 $x^2+2x+6$

　　 $=(\sqrt2-1)^2+2(\sqrt2-1)+6$

　　 $=2-2\sqrt2+1+2\sqrt2-2+6$

　　 $=7$ ・・・答

練習問題04　次の各問に答えよ。

(1) $a=\sqrt3-2$ , $b=\sqrt3+2$ のとき、 $12a^3 b^2÷4a^2 b$ の値を求めよ。

(2) $a=\sqrt3$ のとき、 $(a-1)^2+2a$ の値を求めよ。

(3) $x=\sqrt5-3$ のとき、 $x^2+x-6$ の値を求めよ

(4) $x=\sqrt3+1$ のとき、 $x^2-2x+5$ の値を求めよ。

(5) $x= \frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt3}$ , $y= \frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt3}$ のとき、 $(x+2y)^2-(x-2y)^2$ の値を求めよ

5.演習問題

演習問題01　次の計算をせよ。

(1) $\sqrt7×\sqrt3$ 　 (2) $2\sqrt3×2\sqrt{5}$ 　 (3) $\sqrt{18}×\frac{\sqrt5}{\sqrt6}$

(4) $\sqrt{42}÷\sqrt{6}$ 　(5) $\frac{\sqrt{72}}{3}$ (6) $2\sqrt{3}×\sqrt{75}$ 　

(7) $\sqrt{18}×\sqrt{12}×\sqrt{30}$ (8) $\sqrt{72}÷\sqrt{120}$

演習問題02　次の計算をせよ。

(1) $3\sqrt2-\sqrt2$ 　　(2) $\sqrt{98}+\sqrt{45}-\sqrt{8}-\sqrt{20}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{12}+\sqrt{48}$ 　　(4) $\sqrt{15}×\sqrt{6}-\sqrt{5}×\sqrt{8}$

(5) $\sqrt{10}×\sqrt{6}-\sqrt{28}÷\sqrt{105}$ 　　(6) $\frac{\sqrt{18}}{6}-\frac{8}{\sqrt{32}}+\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{14}}$

(7) $\sqrt{216}-\sqrt{\frac73}×\sqrt{\frac27}-2\sqrt{6}$

演習問題03　次の計算をせよ。

(1) $\sqrt{5} (\sqrt{15}-\sqrt{30})$ (2) $(\sqrt{42}-\sqrt{18})÷\sqrt{6}$ 　(3) $(\sqrt{3}-3)(\sqrt{5}+6)$

(4) $(3\sqrt{2}-\sqrt{5})^2$ 　(5) $(\sqrt{6}-\sqrt{12})(\sqrt{6}+\sqrt{27})$ 　

(6) $(2\sqrt{5}-3\sqrt{3})(3\sqrt{3}+2\sqrt{5})$ 　(7) $(\sqrt{3}-1)^2+\sqrt{12}$

(8) $(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+5)-\frac{3}{\sqrt{2}}$

演習問題04　次の各問に答えよ。

(1) $x=3+\sqrt{3}$ , $y=1+\sqrt{3}$ のとき、 $x^2-6xy+9y^2$ の値を求めよ。

(2) $a=\sqrt{5}$ , $b=\sqrt{6}$ のとき、 $(a+b)^2-(a-b)^2$ の値を求めよ。

(3) $x=\sqrt{5}-2$ のとき、 $3(x+2)^2+2x+4$ の値を求めよ。

6.解答

(1) $2\sqrt2×3\sqrt2$

　　 $=12$ ・・・答

(2) $\sqrt{12}×\sqrt{27}$

　　 $=2\sqrt3×3\sqrt3$

　　 $=18$ ・・・答

(3) $\sqrt{15}×\sqrt{24}$

　　 $=\sqrt{15}×2\sqrt6$

　　 $=6\sqrt{10}$ ・・・答

(4) $\sqrt{10}×\frac{1}{\sqrt2}×\sqrt{45}$

　　 $=\sqrt5×3\sqrt5$

　　 $=15$ ・・・答

(5) $\sqrt6÷\sqrt{48}$

　　 $=\frac{1}{\sqrt{8}}$

　　 $=\frac{1}{2\sqrt2}$

　　 $=\sqrt2$ 　・・・答

(6) $\sqrt{40}×\sqrt5÷\sqrt{12}$

　　 $=\frac{5\sqrt2}{\sqrt3}$

　　 $=\frac{5\sqrt6}{3}$ ・・・答

練習問題02

(1) $3\sqrt6-5\sqrt6$

　　 $=-2\sqrt6$ ・・・答

(2) $5\sqrt2+3-\sqrt2-4$

　　 $=4\sqrt2-1$ ・・・答

(3) $\sqrt{20}-\sqrt{75}+\sqrt{45}+\sqrt{27}$

　　 $=2\sqrt5-5\sqrt3+3\sqrt5+3\sqrt3$

　　 $=5\sqrt5-2\sqrt3$ ・・・答

(4) $\sqrt{32}×\sqrt{12}-\sqrt{30}×\frac{2}{\sqrt5}$ 　

　　 $=4\sqrt2×2\sqrt3-2\sqrt{6}$

　　 $=8\sqrt6-2\sqrt6$

　　 $=6\sqrt6$ ・・・答

(5) $\sqrt{54}-\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}$

　　 $＝3\sqrt6-\sqrt6$

　　 $=2\sqrt6$ ・・・答

(6) $\sqrt{63}+\sqrt{21}×\sqrt{12}-\frac{14}{\sqrt7}$

　　 $=3\sqrt7+6\sqrt{7}-2\sqrt7$

　　 $=7\sqrt7$ ・・・答

練習問題03　

(1) $\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)$

　　 $=3\sqrt2-\sqrt6$ ・・・答

(2) $(\sqrt{14}-\sqrt{18})÷\sqrt{2}$ 　

　　 $=\sqrt7-3$ ・・・答

(3) $(2\sqrt{3}+2)(2\sqrt{2}-3)$

　　 $=4\sqrt6-6\sqrt3+4\sqrt2-6$ ・・・答

(4) $(\sqrt{7}-2)^2$

　　 $=7-4\sqrt7+4$

　　 $=11-4\sqrt7$ ・・・答

(5) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$

　　 $=3-4$

　　 $=-1$ ・・・答

(6) $(\sqrt{3}+\sqrt{8})(\sqrt{3}-\sqrt{18})$

　　 $=(\sqrt3+2\sqrt2)(\sqrt3-3\sqrt2)$

　　 $=3-2\sqrt6-12$

　　 $=-9-2\sqrt6$ ・・・答

(7) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-(\sqrt{6}-2)^2$

　　 $=3-2\sqrt6+2-6+4\sqrt6-4$

　　 $=2\sqrt6-5$ ・・・答

(8) $(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+2)-\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

　　 $=6+\sqrt6-2-\frac{2\sqrt6}{3}$

　　 $=4+\frac{3\sqrt6}{3}-\frac{2\sqrt6}{3}$

　　 $=4+\frac{\sqrt6}{3}$ ・・・答

練習問題04　

(1)

　 $12a^3 b^2÷4a^2 b$

　　 $=3ab$

　　 $=3(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)$

　　 $=3(3-4)$

　　 $=-3$ ・・・答

(2)

　 $(a-1)^2+2a$

　　 $=a^2-2a+1+2a$

　　 $=a^2+1$

　　 $=\sqrt3^2+1$

　　 $=4$ ・・・答

(3)

　 $x^2+x-6$

　　 $=(x-2)(x+3)$

　　 $=(\sqrt5-3-2)(\sqrt5-3+3)$

　　 $=(\sqrt5-5)×\sqrt5$

　　 $=5-5\sqrt5$ ・・・答

(4)

　 $x^2-2x+5$

　　 $=(\sqrt3+1)^2-2(\sqrt3+1)+5$

　　 $=3+2\sqrt3+1-2\sqrt3-2+5$

　　 $=7$ ・・・答

(5)

　 $(x+2y)^2-(x-2y)^2$

　　 $=8xy$

　　 $=8×\frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt3}× \frac{\sqrt5+\sqrt2}{\sqrt3}$

　　 $=8×\frac33$

　　 $=8$ ・・・答

　今回は有理化しなくても $x×y$ を簡単に計算できる。

演習問題01

(1) $\sqrt7×\sqrt3$

　　 $=\sqrt{21}$ ・・・答

(2) $2\sqrt3×2\sqrt{5}$

　　 $=4\sqrt{15}$ ・・・答

(3) $\sqrt{18}×\frac{\sqrt5}{\sqrt6}$

　　 $=\sqrt3×\sqrt5$

　　 $=\sqrt{15}$ ・・・答

(4) $\sqrt{42}÷\sqrt{6}$ 　

　　 $=\sqrt7$ ・・・答

(5) $\frac{\sqrt{72}}{3}$

　　 $=\sqrt{\frac{72}{9}}$

　　 $=\sqrt8$

　　 $=2\sqrt2$ ・・・答

(6) $2\sqrt{3}×\sqrt{75}$ 　

　　 $=2\sqrt3×5\sqrt3$

　　 $=30$ ・・・答

(7) $\sqrt{18}×\sqrt{12}×\sqrt{30}$

　　 $=3\sqrt2×2\sqrt3×\sqrt{30}$

　　 $=36\sqrt5$ ・・・答

(8) $\sqrt{72}÷\sqrt{120}$

　　 $=\frac{\sqrt3}{\sqrt5}$

　　 $=\frac{\sqrt{15}}{5}$ ・・・答

演習問題02　

(1) $3\sqrt2-\sqrt2$

　　 $=2\sqrt2$ ・・・答

(2) $\sqrt{98}+\sqrt{45}-\sqrt{8}-\sqrt{20}$

　　 $=7\sqrt2+3\sqrt5-2\sqrt2-2\sqrt5$

　　 $=5\sqrt2-\sqrt5$ ・・・答

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{12}+\sqrt{48}$

　　 $=\frac{2\sqrt3}{3}-2\sqrt3+4\sqrt3$

　　 $=\frac{2\sqrt3-6\sqrt3+12\sqrt3}{3}$

　　 $=\frac{8\sqrt3}{3}$ ・・・答

(4) $\sqrt{15}×\sqrt{6}-\sqrt{5}×\sqrt{8}$

　　 $=3\sqrt{10}-2\sqrt{10}$

　　 $=\sqrt{10}$ ・・・答

(5) $\sqrt{10}×\sqrt{6}-\sqrt{28}÷\sqrt{105}$

　　 $=2\sqrt{15}-\frac{2\sqrt7}{\sqrt105}$

　　 $=2\sqrt{15}-\frac{2}{\sqrt{15}}$

　　 $=2\sqrt{15}-\frac{2\sqrt15}{15}$

　　 $=\frac{28\sqrt15}{15}$ ・・・答

(6) $\frac{\sqrt{18}}{6}-\frac{8}{\sqrt{32}}+\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{14}}$

　　 $=\frac{2\sqrt3}{6}-\frac{8}{4\sqrt2}+\frac{2}{\sqrt2}$

　　 $=\frac{\sqrt3}{3}-\frac{2}{\sqrt2}+\frac{2}{\sqrt2}$

　　 $=\frac{\sqrt3}{3}$ ・・・答

(7) $\sqrt{216}-\sqrt{\frac73}×\sqrt{\frac27}-2\sqrt{6}$

　　 $=6\sqrt6-\frac{\sqrt2}{\sqrt3}-2\sqrt6$

　　 $=6\sqrt6-\frac{\sqrt6}{3}-2\sqrt6$

　　 $=\frac{11\sqrt6}{3}$ ・・・答

演習問題03

(1) $\sqrt{5} (\sqrt{15}-\sqrt{30})$

　　 $=5\sqrt3-5\sqrt6$ ・・・答

(2) $(\sqrt{42}-\sqrt{18})÷\sqrt{6}$ 　

　　 $=\sqrt7-\sqrt3$ ・・・答

(3) $(\sqrt{3}-3)(\sqrt{5}+6)$

　　 $\sqrt{15}+6\sqrt3-3\sqrt5-18$ ・・・答

(4) $(3\sqrt{2}-\sqrt{5})^2$ 　

　　 $=18-6\sqrt{10}+5$

　　 $=23-6\sqrt{10}$ ・・・答

(5) $(\sqrt{6}-\sqrt{12})(\sqrt{6}+\sqrt{27})$ 　

　　 $=6-3\sqrt2-18$

　　 $=-9-3\sqrt2$ ・・・答

(6) $(2\sqrt{5}-3\sqrt{3})(3\sqrt{3}+2\sqrt{5})$

　　 $=(2\sqrt5-3\sqrt3)(2\sqrt5+3\sqrt3$

　　 $=20-27$

　　 $=-7$ ・・・答

(7) $(\sqrt{3}-1)^2+\sqrt{12}$

　　 $=3-2\sqrt3+1+2\sqrt3$

　　 $=4$ ・・・答

(8) $(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+5)-\frac{3}{\sqrt{2}}$

　　 $=2+3\sqrt2-10-\frac{3\sqrt2}{2}$

　　 $=-8+\frac{3\sqrt2}{2}$ ・・・答

演習問題04

(1)

　 $x^2-6xy+9y^2$

　　 $=(x-3y)^2$

　　 $=(3+\sqrt3-3-3\sqrt3)^2$

　　 $=(-2\sqrt3)^2$

　　 $=12$ ・・・答

(2)

　 $(a+b)^2-(a-b)^2$

　　 $=4ab$

　　 $=4\sqrt{30}$ ・・・答

(3)

　 $3(x+2)^2+2x+4$

　　 $=3(x+2)^2+2(x+2)$

　　 $=(x+2)(3x+8)$

　　 $=\sqrt5(3\sqrt5+2)$

　　 $=15+2\sqrt5$ ・・・答

　　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

　　2.2 計算への準備と練習問題(基)

　　2.3 平方根の計算

　　　2.3.1 平方根の計算と練習問題(基)

　　　2.3.2 平方根の計算と練習問題(標～難)　

　　 2.4 平方根の利用

　　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　　2.4.4 平方根の補充問題(難)