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2021(R3)年度公立高校入試・正答率が低い難問③1.6%~3.4%

解説 2021年度公立高校解説 データベース 高校入試過去問

2021年度公立高校入試の中で、正答率が低かった問題を紹介するシリーズ③ 

なお、単位を省略して解答を行う。

前回、前々回と違って図形以外の問題中心になっている。

 

2021パート②

 

 

18. 埼玉県公立高校入試　学校採択5(2)  1.6％

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(2) 1.6% (3) 2.0%

学校選択問題なので, 一部の中～上位校の受験者が解いてこの結果であったのだろう。

前回の17埼玉県大問4(3)よりこちらのほうが難しい。

 

19. 高知県公立高校入試　大問5(3) 1.6%

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近年の傾向から考えて、説明させる問題が増えるだろうから

必ず練習しておきたい。

 

20. 栃木県公立高校入試　大問3-2 1.7%

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この手の問題はやりなれていないとややこしい。

 

21. 鳥取県公立高校入試　大問6(3) 2.3%

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結構面白い。

 

22. 鹿児島県公立高校入試　大問6(3) 2.4%

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大幅に問題文を変えてある。もともとは会話文を読んで進めていく問題であった。

考え方は19.高知県の問題と同じ。

 

23. 千葉県公立高校入試　大問3(2)② 2.5%

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もう少し正答率が高くてもいいと思う。

 

24. 高知県公立高校入試　大問3(3) 2.6%

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よくある動く図形の問題

頻出なのでたくさん練習して欲しい

標準的な難易度

 

25. 広島県公立高校入試　大問3 2.7%

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線分比→面積比のよくある問題。

 

26. 兵庫県公立高校入試　大問5(3) 2.9%

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ルートが整数になる問題と確率の組み合わせ。

数え間違えないようにすれば、難しくない。

 

27. 神奈川県公立高校入試　大問6ウ 3.4%

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解答

18. 埼玉県公立高校入試

△APQの形は、

　①QがDに到達するまで

　②QがCD上を動き、PがBに到達するまで

　③PがBに到達し、QがCに到達するまで

　④PがBで停止し、QがCB上を動くとき

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以上4パターンがある。

 

(1)

上の図の①のときである。

 AP=AQ=x であるから

　y=\frac12 x^2　0≦x≦4 ・・・答

 

(2)

 条件を P, Qの位置を①～④で考える。

f:id:keimathchem:20210911051024p:plain

△APQと△AQCは底辺AQが共通なので

面積比が3：1になるためには

　AP:DC=3:1

である必要がある。

　DC=2だから AP=6

　よって、x=6

となるが、これは0≦x≦4を満たさない。

 

f:id:keimathchem:20210911051635p:plain

△APQと△AQCは高さADが共通なので

面積比が3：1になるためには

　AP:QC=3:1

である必要がある。

Pの移動距離とQの移動距離は等しいから

　AP=x  AD+DQ=x

よって、QC=6-x

ゆえに、

　AP:QC=3:1

　x:6-x=3:1

　=\frac92

これは, 4≦x≦5を満たす。

 

f:id:keimathchem:20210911052340p:plain

②と同様に、

△APQと△AQCは高さADが共通なので

面積比が3：1になるためには

　AP:QC=3:1

AP=6だから, QC=2

ところが、5≦x≦6のときQC≦1であるため不適

 

f:id:keimathchem:20210911052915p:plain

△APQと△AQCは高さ共通なので

面積比が3：1になるためには

　PQ:CQ=3:1

CP=CB=5より

　CQ=\frac14 CB=\frac54

よって、

　x=AD+DC+CQ=\frac{29}{4}

これは, 6≦x≦11を満たす。

以上より

　x=\frac92, \frac{29}{4}　・・・答

 

(3)

台形ABCDの面積は　(5+2)×4×\frac12=14

よって、三角形APQの面積は7になる。

 

まず,①～④それぞれについて,

△APQ=7となりえるか考える。

 

　①0≦x≦4のとき

　　△APQの面積は徐々に増加し、

　　　x=4のとき,

　　　　△APQ=4×4＝8

　　となるため, △APQ=7となり得る。

 

　②4≦x≦5のとき

　　x=4のとき

　　　　△APQ=8

　　ここから, 面積は徐々に増加するため

　　△APQ=7となりえない。

 

　③5≦x≦6のとき

　　x=5のときの△APQの面積から変化しない。

　　②から△APQ=7となりえない。

 

　④6≦x≦11のとき

　　③の面積から, 徐々に減少し

　　△APQ=7となり得る。

　以上より①と④のみ考えればよい

 

では、①, ④についてxを求めていく

①0≦x≦4のとき

　△APQ=\frac12 x^2 なので

　　\frac12 x^2=7

　　x=\sqrt{14} (x≧0)

 

②6≦x≦11のとき

　△APQ=7であれば

　四角形AQDC=17-7=7

　△ADC=4×2÷2＝4

　△AQC=3

 △APQと△AQCは高さ共通なので

　PQ:CQ=7：3

よって

　CQ=\frac{3}{10} CB=\frac32

ゆえに, x=AD+DC+CQ=\frac{15}{2}

以上より, x=\sqrt{14}, \frac{15}{2}・・・答

 

 

19. 高知県公立高校入試

(3)

△AOBの面積をmで表そうとしてみる。

例えば　

　△AOB=3m となれば　面積はmの値で変化する

　△AOB=8 となれば　面積はmと関係なく8で一定

といえる。よって △AOB=定数 を導けばよい

 

点Aのx座標を mとすると,

△AOBは二等辺三角形だから

点Bのx座標は 2mとなる。

　※Aからx軸に垂線をおろしその足を点Hとすると

　　OH=HB=mであるから OB=2m

　　よって、点Bのx座標は  2mとなる

点Aは関数y=\frac{6}{x}上の点なので, その座標は

　　点A (m, \frac{6}{m})

よって△AOBの面積は 

点Aのy座標が高さ、OBが底辺となるから

　2m×\frac{6}{m}÷2=6

ゆえに, △AOBの面積は mの値によらず一定。

 

 

20. 栃木県公立高校入試

太郎さんの4月の通学時間について考える。

 4月の中央値は11分である。

 8月の中央値も11分でなければならない。

f:id:keimathchem:20210912000739p:plain

8月には太郎さんの通学時間が+5されるので

4月のデータいずれかが+5される。このとき上の図のように11分以下の数に+5分すると, 8月の中央値が11分でなくなってしまう。

また、上の図の青丸に+5をすると範囲が変わってしまう。

以上から,+5してもいい4月のデータ, すなわち, 太郎さんの4月の通学時間は5分, 12分, 14分のいずれか

よって、8月の通学時間は 10分, 17分, 19分・・・答

 

 

21. 鳥取県公立高校入試　

問1

Aの部屋の体積は 1000cm^3

1分で満水になったのだから

　Aへの流量は 1000cm^3/分

 

Aが満水になった後, 水は図のように

Aと隣り合っている部屋に流れる。

※Cの部屋はAの斜めなので流れない

　f:id:keimathchem:20210912022830p:plain

つまり, Bの部屋にはAへの流量の半分が流れ込む。

よって 500cm^3

 

問2

問1の黄色の部屋が満水になった後, 水は図のようにオレンジの部屋に流れる。

　f:id:keimathchem:20210912024216p:plain

よって、Cの部屋にはAへの\frac14×2=\frac12倍の流量で水が流れる。

流量が[tex\frac12]倍ということは、Cに水が入り始めてから, Cが満水になるのにかかる時間は, Aが満水になる時間の2倍である。

よって, Aに水を入れてからかかる時間は

　1+2+2=5分・・・答

 

問3(1)

図の位置の部屋をE, Fとする。

  f:id:keimathchem:20210912031035p:plain

　Aの部屋に水を入れ始めてから5分後にCが満水になり,7分後にE, Fが満水になる。

つまり, 5分後～7分後の2分間は, 図のようにCから溢れた水のみがDに流れる。

　f:id:keimathchem:20210912031126p:plain

この2分間のDへの流量は

Cの流量の \frac 12 倍なので 250 cm^3/分

よって、

　5分後の水量は 0cm^3 (高さ0cm)

　7分後の水量は 500 cm^3(高さ5cm)

である。

 

7分後以降、Fから溢れた水もDに流れる。

　f:id:keimathchem:20210912031830p:plain

このときDへの流量は,

Aの流量の \frac12倍なの　500 cm^3/分

7分後のDの水量は 500 cm^3なので

Dへ入る残りの水量は 500 cm^3

よって, 7分後からDが満水になるのにかかる時間は

　 500 cm^3÷500 cm^3/分=1分

であり、8分後にDが満水になる。

 

以上より

(0, 0), (5, 0), (7, 5), (8, 10), (9, 10)を直線で結んでいけば良い。

だいたい下のようなグラフになる。

　f:id:keimathchem:20210912033249p:plain

 

問3(2)

y=8 cmのとき, Dの水量は 800 cm^3

7分後に　500cm^3の水が入るので

のこり 30cm^3

よって、

　300cm^3÷500 cm^3/分=\frac35 分

ゆえに

　7+\frac35=\frac{38}{5}分・・・答

※もちろん(7, 5), (8, 10)を通る直線の式を出して解いてもよい。

 

 

22. 鹿児島県公立高校入試

楽な解き方はいろいろあるが、工夫なしでゴリゴリ計算していくやり方で解く。

点Aのx座標を t とおくと

　点A (t, 2t^2)

　点B (t+1, 2(t+1)^2)

　点C (t+2,2(t+2)^2

　f:id:keimathchem:20210920103643p:plain

図のように点A, B Cから垂線をおろし、

x軸との交点をそれぞれ点P, Q, Rとする

　△ABCの面積は
　 　台形ACRP－台形ABQP－台形BCRQ

にを計算して求めることができる。

　台形ACRP=(2t^2+2(t+2)^2)×2÷2=4t^2+8t+8

　台形ABQP=(2t^2+2(t+1))×1÷2=2t^2+2t+1

　台形BCRQ=(2(t+1)^2+2(t+2)^2×1÷2=2t^2+6t+5

であるから

　△ABC=4t^2+8t+8-(2t^2+2t+1)-(2t^2+6t+5)

　△ABC=2

よって、△ABCの面積は点Aの位置に関わらず一定である。

 

※

△ABCを点Aが原点に重なるように平行移動して

　点A (t, 2t^2)　　→(0, 0)

　点B (t+1, 2(t+1)^2)]　  →(1, 4t+2)

　点C (t+2,2(t+2)^2]　　→(2,8t+8)

として、計算してもよい

 

23. 千葉県公立高校入試　

点Cの座標を特定できれば、点Dの座標が分かる。

△ABCの面積は平行四辺形ABCDの面積の半分であるというところから攻めていく

点Cの x 座標を t とおく

　点A (-2, 2)

　点B (4,8)

　点C (t,\frac12 t^2)

直線Lの式は y=x+4であるから

△ABCの面積は 6×(t+4-\frac12 t^2)÷2

よって　6×(t+4-\frac12 t^2)÷2=\frac{15}{2}

これを解いて t=3,-1

よって、点Cの座標は

　(3,\frac92), (-1,\frac12)

ABのy座標の差とCDのy座標の差は6で等しいので

点Dのy座標は

　\frac92-6=-\frac32

　\frac12-6=-\frac{11}{2}

 

24. 高知県公立高校入試

重なった部分は以下のように変化する。

f:id:keimathchem:20210920131456p:plain

 

(2)

　重なった部分の面積が最大となるのは、下図のように正方形が、直角三角形の中に完全に埋まっている場合である。

　f:id:keimathchem:20210920131656p:plain

 

下図のとき

 f:id:keimathchem:20210920140335p:plain

△AFD∽△EFGより, △AFDは直角二等辺三角形であり

　AD=DC=5 だから FD=5

　FC=10

よって10秒後にこのような図形となる。

 

次に下図のとき

　f:id:keimathchem:20210920140416p:plain

FC=15　よって15秒後である。

以上より　10≦x≦15・・・答

 

(3)

初めの図の①～④について

②五角形のとき、重なった部分の面積は、

　正方形の面積の半分以上になる。

　つまり、\frac{25}{2}以上となり、

　面積は8となりえない

③正方形のとき、重なった部分の面積は

　正方形そのものなので、面積は8となりえない

 

よって、①のときと④のときのみ考える。

f:id:keimathchem:20210920145606p:plain

BCとEFの交点をHとすると

△EFG∽△HFCだから　

△HFCは直角二等辺三角形

　 FC=xとすると HC=xであり

　　\frac12 x^2=8

が成り立つ。これを解いて

　　x=4

f:id:keimathchem:20210920150203p:plain

ABとEGの交点をIとする。

IG=5で, 長方形AIGDの面積は8だから

　DG=\frac85

よって、

　x=FC=FG+DC-DG=15+5-\frac85

　x=\frac{92}{5}

以上より x=4,\frac{92}{5}・・・答

 

25. 広島県公立高校入試

△BDG∽△FGEであるから

　 DG:GE=5:2

　BD:FG=5:2

△CEF∽△CBDであるから

　CE:EB=2:3

　CF:FD=2:3

DG:GE=5:2より

　△EFD=\frac72△EFG

CF:FD=2:3より

　△CDF=\frac53△EFD

CF:FD=2:3より

　△ABE=\frac32△CDF

以上より

　△ABE=\frac32×\frac53×\frac72△EFG

　△ABE=\frac{35}{4}△EFG

よって S:T=35:4・・・答

 

26. 兵庫県公立高校入試

(3)①

表が1枚とすると

　a=1,4,9

のとき、\sqrt{a}が整数となる。

表が2枚とすると

　a=1×4, 1×9

　a=4×9, 2×8

のとき、\sqrt{a}が整数となる。

以上より　7通り・・・答

 

(3)②

①以外には

表が出ない場合　1通り

表が3枚のとき

　a=1×2×8, 1×4×9,

　a=2×4×8, 2×8×9

表が4枚のとき

　a=1×2×4×8, 1×2×8×9

　a=2×4×8×9

表が5枚のとき

　a=1×2×4×8×9

①と合わせて　16通り

よって、\frac{16}{64}=\frac14・・・答

 

27. 神奈川県公立高校入試

まずはABを通る線について考える

側面の展開図をかくと

f:id:keimathchem:20210920164923p:plain

中心角∠ACA'は

　∠ACA'=\frac39×360＝120°

であるから ∠ACB=60°であり

△ABCは正三角形で　AB=AC=BC=9

また、∠DCB=30であることから

△CBDは　1:2:\sqrt3の直角三角形

よって, CD=\frac92 \sqrt3

 

次にDを出発し一周する線について考える

展開図は、先程の図を2個隣り合わせてかくと

　f:id:keimathchem:20210920165452p:plain

このようになり、求める線分の長さはDD'の長さに等しい。

　∠DCB=30°, ∠BCA'=60°, ∠A'CD'=30°

であるから、∠DCD'=120°である

三角形DCD'を取り出して考える

　f:id:keimathchem:20210920170006p:plain

CからDD'に垂線をおろし、その足をEとする。

∠DCE=60°であるから

△CDEは1:2:\sqrt3の直角三角形

よって、DE=\frac{27}{4}

ゆえに、DD'=\frac{27}{2}・・・答