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平方根の補充問題(難)(絶対値と平方根、係数?問題)

今回は、前回までで触れられなかった平方根の問題をあつかう。

 

前回←平方根の利用(範囲を満たす平方根)

次回→2次方程式の解き方(基)

 

2.4 平方根の利用

  2.4.1 整数・自然数になるようにする(標~難)

  2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

  2.4.3 不等式と平方根(標~難)

  2.4.4 平方根の補充問題(難)

 

 

補充問題1 計算の練習(難)

前回より難しい計算問題を練習しよう。

 

補充問題01 以下の計算をせよ。

(1) (2-2\sqrt3)^2-4(1-2\sqrt3-2\sqrt2)

 

(2) \frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2-(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)}{\sqrt{20}} 

 

(3) \frac{8\sqrt5+\sqrt30}{\sqrt{23^2-7^2}}+\frac{\sqrt{204}-\sqrt{34} }{ \sqrt51}

 

(4) (\sqrt2-3\sqrt6)(\sqrt3+5\sqrt6)-(\frac{2}{\sqrt3}+3\sqrt6)(\frac{3}{\sqrt2}-5\sqrt6)

 

(5) (-2\sqrt2)^3×(\frac{1}{\sqrt2+1})^2÷\frac{(3\sqrt2)^2}{\sqrt{50}}+\frac{(2\sqrt6-4\sqrt3)^2}{3} 

 

(6) \frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{\sqrt3}-\frac{(\sqrt6+2\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}{\sqrt8-\sqrt18} 

 

(7) \frac13(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2+3)-\frac{\sqrt21+\sqrt6}{\sqrt3}

 

(8) \frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{\sqrt{12}}

 

(9) (\sqrt7+\sqrt5)^2 (\sqrt7-\sqrt5)^2+(\sqrt3+\sqrt2)^2 (\sqrt3-\sqrt2)^2

 

(10) (\sqrt3+\sqrt2)^8 (\sqrt3-\sqrt2)^{10}

 

(11) \frac{(\sqrt3+1)^2}{3\sqrt2-2\sqrt3}×\frac{(2\sqrt3-2)^2}{3\sqrt2 +\sqrt3}

 

<出典: (1)開成 (2)成蹊 (3)函館ラ・サール(4)東大寺 (5)大阪星光 (6)早稲田実業 (8)ラ・サール  (9)市川 (11)城北>

 

解答・解説

(1)普通に全部展開して計算していく。

  (2-2\sqrt3)^2-4(1-2\sqrt3-2\sqrt2)

  =16-8\sqrt3-4+8\sqrt3+8\sqrt2

  =12+8\sqrt2・・・答

 

(2)分母はあとにして、とりあえず分子を計算していく

 \frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2-(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)}{\sqrt{20}} 

  =\frac{5+2\sqrt6-5}{2\sqrt{5}}

  = \frac{2\sqrt6}{2\sqrt{5}}

  =\frac{\sqrt{30}}{5}・・・答

 

(3)左側の項の分母23^2-7^2を先に考えていく。

 これは、展開・因数分解の計算への利用で学んだ。

 \frac{8\sqrt5+\sqrt{30}}{\sqrt{23^2-7^2}}+\frac{\sqrt{204}-\sqrt{34} }{ \sqrt{51}}

  =\frac{ 8\sqrt5+\sqrt{30} }{ \sqrt{ (23+7)(23-7) } } +\frac{\sqrt{204}-\sqrt{34} }{ \sqrt{51}}

  =\frac{8\sqrt5+\sqrt{30}}{4\sqrt{30}}+\frac{\sqrt{204}-\sqrt{34} }{ \sqrt{51}}

約分して

  =\frac{8+\sqrt6}{4\sqrt{6}}+\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2} }{ \sqrt3}

有理化して

  =\frac{8\sqrt6+6}{24}+\frac{6-\sqrt{6} }{3}

  =\frac{8\sqrt6+6}{24}+\frac{48-8\sqrt{6} }{24}

  =\frac94・・・答

 

(4)有理化のタイミングは、お好みでかまわない

 前からゴリゴリと分配していくと

  (\sqrt2-3\sqrt6)(\sqrt3+5\sqrt6)-(\frac{2}{\sqrt3}+3\sqrt6)(\frac{3}{\sqrt2}-5\sqrt6)

  =(\sqrt6+10\sqrt3-9\sqrt2-90)-(\frac{6}{\sqrt6}-10\sqrt2+9\sqrt3-90)

  =\sqrt2+\sqrt3・・・答

 

(5)これも前からゴリゴリと計算していく

 (-2\sqrt2)^3×(\frac{1}{\sqrt2+1})^2÷\frac{(3\sqrt2)^2}{\sqrt{50}}+\frac{(2\sqrt6-4\sqrt3)^2}{3} 

  =-16\sqrt2(3-2\sqrt2)×\frac{5\sqrt2}{18}+(24-16\sqrt2)

  =\frac{-80(3-2\sqrt2)}{9}+24-16\sqrt2

  =\frac{-24+16\sqrt2}{9}・・・答

 

 (6)とりあえず右の項から手をつけてみる。

 \frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{\sqrt3}-\frac{(\sqrt6+2\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}{\sqrt8-\sqrt{18}} 

  =\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{\sqrt3}-\frac{2+2\sqrt3}{2\sqrt2-3\sqrt2} 

  =\frac{2\sqrt6+3\sqrt2}{\sqrt3}-\frac{2+2\sqrt3}{-\sqrt2} 

有理化すると

  =\frac{6\sqrt2+3\sqrt6}{3}-\frac{2\sqrt2+2\sqrt6}{-2} 

  =2\sqrt2+\sqrt6+\sqrt2+\sqrt6

   =3\sqrt2+2\sqrt6・・・答

 

(7)(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2+3)の部分の展開を工夫する。

 \frac13(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2+3)-\frac{\sqrt21+\sqrt6}{\sqrt3}

  =\frac13\{(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)+3(\sqrt7+\sqrt2)\}-(\sqrt7+\sqrt2)

  =\frac13(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)+(\sqrt7+\sqrt2)-(\sqrt7+\sqrt2)

  =\frac13(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)

  =\frac53・・・答

 

(8)まずは約分。分子はA=\sqrt2+\sqrt3とおいて計算しても良い。

この解答はAと置かないで計算する。

 \frac{\sqrt2(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{\sqrt{12}}

  =\frac{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{\sqrt{6}}

  =\frac{(\sqrt2+\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2}{\sqrt{6}}

  =\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}

  =2・・・答

 

(9) 展開の工夫(2)(難)の例題01(2)と同じように考える。

 (\sqrt7+\sqrt5)^2 (\sqrt7-\sqrt5)^2+(\sqrt3+\sqrt2)^2 (\sqrt3-\sqrt2)^2

  =\{(\sqrt7+\sqrt5)(\sqrt7-\sqrt5)\}^2+\{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)\}^2

  =2^2+1^2

  =5・・・答

 

(10) 

  (\sqrt3+\sqrt2)^8 (\sqrt3-\sqrt2)^{10}

  =\{(\sqrt3+\sqrt2) (\sqrt3-\sqrt2)\}^8  (\sqrt3-\sqrt2)^2

  =1^8×(\sqrt3-\sqrt2)^2

  =5-2\sqrt6・・・答

 

(11)初手で有理化しなくても、そのまま掛け算すれば計算しやすい。

 \frac{(\sqrt3+1)^2}{3\sqrt2-2\sqrt3}×\frac{(2\sqrt3-2)^2}{3\sqrt2 +\sqrt3}

  =\frac{(\sqrt3+1)^2 (2\sqrt3-2)^2}{(3\sqrt2-2\sqrt3)(3\sqrt2 +\sqrt3)}

 分子は4でくくると計算しやすい。

  =\frac{4(\sqrt3+1)^2 (\sqrt3-1)^2}{(3\sqrt2-2\sqrt3)(3\sqrt2 +\sqrt3)}

  =\frac{4 \{ (\sqrt3+1)(\sqrt3-1) \}^2}{(3\sqrt2-2\sqrt3)(3\sqrt2 +\sqrt3)}

ここまで変形して計算すると

  =\frac{4×2^2 }{3(4-\sqrt6)}

  =\frac{16(4+\sqrt6)}{3(16-6)}

  =\frac{32+8\sqrt6}{15}・・・答 

 

補充問題2 \sqrt{A^2}の問題(難)

中学生は覚えなくていいが、難しい書き方をすると

 \sqrt{A^2}=|A|={\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A (A>0) \\  -A (A<0) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }

  例 ①A=2のとき、\sqrt{A^2}=\sqrt{2^2}=2 

    ②A=-2のとき、\sqrt{A^2}=\sqrt{(-2)^2}=-(-2)=2

 

とりあえず、まずは解き方がわかればいいので、

以下の問題と解説をみていこう。

 

補充問題02-1 以下の数の根号を外せ。

 (1) \sqrt{(π-1)^2}

 (2) \sqrt{(3-π)^2}

 <出典:(2)大阪教育大付属天王寺

 

解答・解説

このタイプの問題は、

 ①二乗されている数が「正の数」か「負の数」かを考える

 ②正の数なら、二乗されている数そのままが答え

 ③負の数なら、二乗されている数に-1を掛ける

 

(1)\sqrt{(π-1)^2}

 二乗されているπ-1は明らかに正の数

 よって、そのままだから

  \sqrt{(π-1)^2}=π-1・・・答

 

(2) \sqrt{(3-π)^2}

 二乗されている3-πは明らかに負の数

 よって、-1をかけて

  \sqrt{(3-π)^2}=-(3-π)=π-3・・・答

 


補充問題02-2

(1)以下の計算をせよ。

 ① \sqrt{(3-π)^2}+\sqrt{(5-π)^2}

 ② \sqrt{ (\frac{13}{17}-\frac{21}{13})^2}+\sqrt{ (\frac{31}{17}-\frac{21}{13})^2}

(2) a>3のとき\sqrt{9-6a+a^2}を簡単にせよ。

<出典: (1)②西大和>

 

解答・解説

(1)

 ①3-π<0,  5-π>0なので

  \sqrt{(3-π)^2}+\sqrt{(5-π)^2}

   =-(3-π)+(5-π)

   =2・・・答

 

 ②\frac{13}{17}-\frac{21}{13}<0, \frac{31}{17}-\frac{21}{13}>0なので

  \sqrt{ (\frac{13}{17}-\frac{21}{13})^2}+\sqrt{ (\frac{31}{17}-\frac{21}{13})^2}

   =-(\frac{13}{17}-\frac{21}{13})+(\frac{31}{17}-\frac{21}{13})

   =\frac{18}{17}・・・答

  このようにすれば、通分して計算しなくて済むので楽。

 

(2)

 \sqrt{9-6a+a^2}

  =\sqrt{ (3-a)^2 }

 ここで、3-aの正負を調べる

 a>3より。3-a<0なので、

   =-3+a・・・答

 

 

補充問題03 

補充問題03 

(1) a+b\sqrt5=4+2\sqrt5のとき整数a, bの値を求めよ。

(2) (a+b-2)\sqrt3=a-b+3のとき有理数a, bの値を求めよ。 

(3) (a-2\sqrt2)(4+3\sqrt{2})=\sqrt2bが成り立つ。整数a,bの値を求めよ。

(4) (a+b\sqrt3)^2=31+12\sqrt3が成り立つ。正の整数a, bの値を求めよ。

<出典:(3) 法政大高(4)青山学院 >

 

解答・解説

 a+b\sqrt x=c+d\sqrt xのとき a=c, b=d が成り立つ

  特に a+b \sqrt x =0のとき

     a+b\sqrt x = 0+0\sqrt x

  と考えると、a=b=0 である

 

難関高校入試で出題されることがあるので、

覚えておいたほうがいい。

 

(1)

 a+b\sqrt5=4+2\sqrt5

左右を比較して、

 a=4, b=2・・・答

 

(2)

 (a+b-2)\sqrt3=a-b+3

これを

 0+(a+b-2)\sqrt3=(a-b+3)+0\sqrt3

と考えると

 a+b-2=0

 a-b+3=0

これを連立し、a=-\frac12, b=\frac52・・・答

  

(3)

 展開して整理する

  (a-2\sqrt2)(4+3\sqrt{2})=\sqrt2b

  (4a-12)+(3a-8)\sqrt{2}=0+b\sqrt{2}

 左右を比較し

  4a-12=0

  3a-8=b

 よって、a=3,b=1・・・答

 

 

(4)

 展開して整理しよう。

 (a+b\sqrt3)^2=31+12\sqrt3

 (a^2+3b^2)+2ab\sqrt3=31+12\sqrt3

左右を比較すると

 a^2+3b^2=31

 2ab=12

これを、普通に連立しようとすると、難しい

今回, a,bは整数なので整数問題の知識で解こう。

  2ab=12

  ab=6

正の整数a, bを掛けて6になるということは

  a=1, b=6 a=6, b=1

  a=2, b=3 a=3, b=2

しかない。この内、a^2+3b^2=31を満たすのは

 a=2, b=3・・・答

 

 

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