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数学の解説と練習問題

2次方程式の解き方(3)(たすき掛け、係数が平方根、文字係数)(難)

解説中3数学 2次方程式発展問題方程式

今回は2次方程式の解き方の発展問題を扱う。

前回　←2次方程式の解き方と練習問題(2)(標)

次回　→2次方程式の解き方(補足)(二元二次連立方程式)(難)

解き方の前回　←

3.1 2次方程式の解き方

　　3.1.1 基本的な2次方程式の解き方(1)(基)

　　3.1.2 2次方程式のの解き方(2)(展開・置き換え・二乗利用)(標)

　　3.1.3 2次方程式の解き方(3)(たすき掛け、係数が平方根、文字係数)(難)

　　3.1.4 補題・2元2次連立方程式

0.標準レベルの復習
1.たすき掛け
2.係数に平方根がある場合
3.文字係数・文字解
4.特殊計算
5.練習問題解答

今回はこちらの因数分解の知識が必要

　→因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

0.標準レベルの復習

まずは、これまでの復習をしよう。

問題　次の2次方程式を解け

(1) $2x(x-3)=(x+8)(x-3)$

(2) $(4x-1)^2=x(15x+4)$

(3) $2(x-1)^2=(x+3)(x+1)$

(4) $(2x-3)^2-2(2x-3)=35$

(5) $(3x-1)^2-6=5(1-3x)$

(6) $x^2-1=\frac14 (x+1)(2x-1)-0.75(x-1)$

(7) $(3x+2)(x-5)-6=(x-1)^2+(x+3)(x-1)$

(8) $3(x+2)^2=2(x+2)(x+5)-(x+2)(x-2)$

(9) $-\frac{x^2+2x+4}{2}=x^2+x-3$

(10) $\frac{(2x+3)(x+6)}{3}-\frac{x^2+13x+4}{2}=1$

＜出典: (1)成城学園 (2)函館ラ・サール (3)須磨学園 (4)中央大 (5)京都女子 (7)市川 (8)大阪教育付属中野 (9)函館ラ・サール (10)中央大＞

解答

(1) $2x(x-3)=(x+8)(x-3)$

　 $2x^2-6x=x^2+5x-24$

　 $x^2-11x+24=0$

　 $(x-3)(x-8)=0$

　　 $x=3,8$ ・・・答

(2) $(4x-1)^2=x(15x+4)$

　 $16x^2-8x+1=15x^2+4x$

　 $x^2-12x+1=0$

　　 $x=6±\sqrt{35}$ ・・・答

(3) $2(x-1)^2=(x+3)(x+1)$

　 $2x^2-4x+2=x^2+4x+3$

　 $x^2-8x-1=0$

　　 $x= 4±\sqrt{17}$ ・・・答

(4) $(2x-3)^2-2(2x-3)=35$

　 $(2x-3)^2-2(2x-3)-35=0$

　 $\{(2x-3)-7\} \{(2x-3)+5\}=0$

　 $(2x-10)(2x+2)=0$

　 $(x-5)(x+1)=0$

　　 $x=5,-1$ ・・・答

(5) $(3x-1)^2-6=5(1-3x)$

　 $(3x-1)^2+5(3x-1)-6=0$

　 $\{ (3x-1)+6\} \{(3x-1)-1\}$

　 $(3x+5)(3x-2)=0$

　　 $x=-\frac53, \frac23$ ・・・答

(6) $x^2-1=\frac14 (x+1)(2x-1)-0.75(x-1)$

　 $4(x^2-1)=(x+1)(2x-1)-3(x-1)$

　 $4x^2-4=2x^2+x-1-3x+3$

　 $2x^2+2x-6=0$

　 $x^2+x-3=0$

　　 $x=\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$ ・・・答

(7) $(3x+2)(x-5)-6=(x-1)^2+(x+3)(x-1)$

　 $3x^2-13x-16=x^2-2x+1+x^2+2x-3$

　 $x^2-13x-14=0$

　 $(x-14)(x+1)=0$

　　 $x=14, -1$ ・・・答

(8) $3(x+2)^2=2(x+2)(x+5)-(x+2)(x-2)$

　 $3x^2+12x+12=2x^2+14x+20-x^2+4$

　 $2x^2-2x-12=0$

　 $x^2-x-6=0$

　 $(x-3)(x+2)=0$

　　 $x=3,-2$ ・・・答

(9) $-\frac{x^2+2x+4}{2}=x^2+x-3$

　 $x^2+2x+4=-2x^2-2x+6$

　 $3x^2+4x-2=0$

　　 $x=\frac{-2±\sqrt{10}}{3}$ ・・・答

(10) $\frac{(2x+3)(x+6)}{3}-\frac{x^2+13x+4}{2}=1$

　 $2(2x+3)(x+6)-3(x^2+13x+4)=6$

　 $4x^2+30x+36-3x^2-39x-12-6=0$

　 $x^2-9x+18=0$

　 $(x-3)(x-6)=0$

　　 $x=3,6$ ・・・答

1.たすき掛け

例題01　以下の2次方程式を解け

(1) $2x^2+x-3=0$

(2) $6x^2-11x+3=0$

(3) $x^2-\frac72 x-2=0$

解説

たすき掛けを利用して因数分解しよう。　※以前のたすき掛けはこちら

慣れれば解の公式よりも早く計算できる。

(1) $2x^2+x-3=0$

　 $(2x+3)(x-1)=0$

　　 $x=-\frac32, 1$ ・・・答

(2) $6x^2-11x+3=0$

　 $(2x-3)(3x-1)=0$

　　 $x=\frac32,\frac13$ ・・・答

(3) $x^2-\frac72 x-2=0$

　 $2x^2-7x-4=0$

　 $(2x+1)(x-4)=0$

　　 $x=-\frac12,4$ ・・・答

解答

(1) $x=-\frac32, 1$ ・・・答

(2) $x=\frac32,\frac13$ ・・・答

(3) $x=-\frac12,4$ ・・・答

練習問題01

(1) $2x^2+11x+14=0$

(2) $6x^2-x-12=0$ 　

(3) $(5x-1)(x+2)=(x+3)(x+7)-20$ 　

＜出典 :(2)西武学園文理(3)大阪教育付属平野＞

2.係数に平方根がある場合

例題02　以下の2次方程式を解け

(1) $x^2+3\sqrt2 x+4=0$

(2) $x^2+ (2\sqrt3-4)x+(3-2\sqrt3)=0$

(3) $x^2-4\sqrt{5}x+20=0$

(4) $2\sqrt2 x^2-2\sqrt3 x-\sqrt6=0$

(5) $(\sqrt2+2)x^2+x+\sqrt2-2=0$

解説

係数に根号があっても普段どおり因数分解する。

$x^2$ の係数を整数にしたほうが、やりやすい。

(3)は $\sqrt2$ , (4)は $(\sqrt2+1)$ をかけてるとよい。

(1)

　　 $x^2+3\sqrt2 x+4=0$

　足して $3\sqrt2$ 　掛けて $4$ である2数を探す

　　 $(x+\sqrt2)(x+2\sqrt2)=0$

　このように、普段どおり因数分解すればよい。

　

(2)

　 $x^2+ (2\sqrt3-4)x+(3-2\sqrt3)=0$

少しややこしいが、同じ考え方で解ける。

足して $2\sqrt3-4$ 。掛けて $3-2\sqrt3$ となる2数を求める。

　 $(x-1)(x+2\sqrt3-3)=0$

(3)

(1)(2)と同じようにしてもいいが、

　 $x^2-4\sqrt{5}x+20=0$

　 $x^2-2\sqrt{20}x+20=0$

　 $(x-\sqrt{20})^2=0$

とすると、二乗の公式 $(　　)^2$ であることが分かりやすい。

(4)

すべての項に $\sqrt3$ を掛けて、

　 $\sqrt3 x^2 -x-2\sqrt3=0$

　 $3x^2-\sqrt3 x -6=0$

　 $(3x-2\sqrt3)(x+\sqrt3)=0$

とするとよい。

なお、 $x^2$ の係数を整数にせずにたすき掛けしてもよい。

　 $\sqrt3 x^2 -x-2\sqrt3=0$

　 $(\sqrt3 x+2)(x-\sqrt3)=0$

もちろん、答えは有利化する必要がある。

(5)

すべての項に $\sqrt2-2$ を掛けて

　 $(\sqrt2+2)x^2+x+\sqrt2-2=0$

　 $-2x^2+(\sqrt2-2)x+(\sqrt2-2)^2=0$

　 $2x^2-(\sqrt2-2)x-(\sqrt2-2)^2=0$

　 $(2x+\sqrt2-2) \{ x-(\sqrt2-2) \} =0$

としたほうがやりやすい

なお、いきなりたすき掛けして、

$(\sqrt2+2)x^2+x+\sqrt2-2=0$

$\{ (\sqrt2+1)x+\sqrt2 \} \{\sqrt2x+(1-\sqrt2) \}=0$

とできるが、かなり難しい。

解答

(1)

　 $x^2+3\sqrt2 x+4=0$

　 $(x+\sqrt2)(x+2\sqrt2)=0$

　　 $x=-\sqrt2, -2\sqrt2$ ・・・答

(2)

　 $x^2+ (2\sqrt3-4)x+(3-2\sqrt3)=0$

　 $(x-1)(x+2\sqrt3-3)=0$

　　 $x=1,3-2\sqrt3$ ・・・答

(3)

　 $x^2-4\sqrt{5}x+20=0$

　 $x^2-2\sqrt{20}x+20=0$

　 $(x-\sqrt{20})^2=0$

　　 $x=2\sqrt5$ ・・・答

(4)

　 $\sqrt3 x^2 -x-2\sqrt3=0$

　 $3x^2-\sqrt3 x -6=0$

　 $(3x-2\sqrt3)(x+\sqrt3)=0$

　　 $x=\frac{2\sqrt3}{3},-\sqrt3$ ・・・答

(5)

　 $(\sqrt2+2)x^2+x+\sqrt2-2=0$

　 $2x^2-(\sqrt2-2)x-(\sqrt2-2)^2=0$

　 $(2x+\sqrt2-2)(x-\sqrt2+2)=0$

　　 $x=\frac{2-\sqrt2}{2}, \sqrt2-2$ ・・・答

補足　解の公式

例題 $x^2+\sqrt3 x-1=0$ を解け

　係数に平方根があっても、解の公式を使ってよい。

解答

　解の公式より

　　 $x=\frac{-\sqrt3±\sqrt{7}}{2}$

補足　二重根号(中学範囲外)

　また、二重根号は以下の公式で外せる

　　 $\sqrt{(a+b)±2\sqrt{ab}}=\sqrt a ± \sqrt b$

例題　 $x^2+\sqrt6 x-\sqrt2=0$ を解け

解答　解の公式より

　　 $x=\frac{-\sqrt6±\sqrt{6+4\sqrt2}}{2}$

　　　 $=\frac{-\sqrt6±\sqrt{6+2\sqrt8}}{2}$

　　　 $=\frac{-\sqrt6±(2+\sqrt2}{2})$

　　　 $=\frac{-\sqrt6+2+\sqrt2}{2},\frac{-\sqrt6-2-\sqrt2}{2}$ ・・・答

練習問題02 以下の2次方程式を解け

(1) $x^2-(\sqrt2-2)x-2\sqrt2=0$

(2) $x^2+(1-\sqrt2-\sqrt3)x+\sqrt6-\sqrt2=0$

(3) $\sqrt2 x^2+4x+2\sqrt2=0$

(4) $(x-1)^2-4\sqrt3(x-1)+12=0$

(5) $(\sqrt3-1)x^2+(5-\sqrt3)x+2\sqrt3=0$

＜出典 (1) 慶応 (2)慶応 (3)立命 (4)清陵＞

3.文字係数・文字解

例題03 以下のxについての2次方程式を解け。(aは定数)

(1) $x^2+4ax+3a^2=0$

(2) $x^2+(3+3a)x+2a(a+3)=0$

(3) $x^2+7x+a^2-a-12=0$ 　

(4) $(x+3a)^2-3x-9a+2=0$

解説

文字が入っていようが $(　)(　)=0$ の形に因数分解すればよい。

例えば、

　 $(x-2)(2x-3)=0$ の解は $x=2$ , $\frac32$ である

これと同様に考えれば

　 $(x-a)(ax-2)=0$ の解は $x=a$ , $\frac2a$ になる

(1)

　普段どおり、足して4a 、掛けて $3a^2$ となる2数を探す

　　 $x^2+4ax+3a^2=0$

　　 $(x+a)(x+3a)=0$

　よって、 $x=-a,-3a$ 　・・・答

(2)

　同様に、足して $3+3a$ 　掛けて $2a(a+3)$

　　 $x^2+(3+3a)x+2a(a+3)=0$

　　 $(x+2a)(x+a+3)=0$

(3)

　後ろ側だけを先に因数分解

　　 $x^2+7x+a^2-a-12=0$

　　 $x^2+7x+(a+3)(a-4)=0$

　　 $(x+a+3)(x-a+4)=0$

(4)

　同じカタマリを見つける方法　※以前紹介したものはこちら

　　 $(x+3a)^2-3x-9a+2=0$

　　 $(x+3a)^2-3(x+3a)+2=0$

　 $A=x+3a$ とおいて

　　 $A^2-3A+2=0$

　　 $(A-1)(A-2)=0$

　Aを元に戻して

　　 $(x+3a-1)(x+3a-2)=0$

解答

(1)

　 $x^2+4ax+3a^2=0$

　 $(x+a)(x+3a)=0$

　　 $x=-a,-3a$ ・・・答

(2)

　 $x^2+(3+3a)x+2a(a+3)=0$

　 $(x+2a)(x+a+3)=0$

　　 $x=-2a,-a-3$ ・・・答

(3)

　 $x^2+7x+a^2-a-12=0$

　 $x^2+7x+(a+3)(a-4)=0$

　 $(x+a+3)(x-a+4)=0$

　　 $x=-a-3,a-4$ ・・・答

(4)

　 $(x+3a)^2-3x-9a+2=0$

　 $(x+3a)^2-3(x+3a)+2=0$

　 $(x+3a-1)(x+3a-2)=0$

　　 $x=-3a+1,-3a+2$ ・・・答

補足

例題　xについての方程式 $ax^2+(a+3)x+3=0$ を解け

赤字に注目。2次方程式とは言ってない。

だから、 $x^2$ が消えて1次方程式になる場合を別に計算する必要がある。

解答

　 $a=0$ のとき

　　 $ax^2+(a+3)x+3=0$

　　 $3x+3=0$

　　　 $x=-1$

　 $a≠0$ のとき

　　 $ax^2+(a+3)x+3=0$

　　 $(ax+3)(x+1)=0$

　　　 $x=\frac3a, -1$

以上より、

　 $a=0$ のとき $x=-1$

　 $a≠0$ のとき $x=\frac3a, -1$ ・・・答

練習問題03-1 以下のxについての2次方程式を解け。

(1) $(x-a+1)(x+a-1)=0$

(2) $(2x-a)^2=6x-3a+4$

(3) $x^2+(2a-1)x+a^2-a-6=0$

＜出典: (2)関西学院＞

練習問題03-2

a>0,b>0で $a^2-b^2-a-b=0$ が成り立つとき、 $a^2+b^2-2ab-a+b$ の値をもとめよ。

＜出典: 早稲田実業＞

4.特殊計算

例題04　実数a.bについて、 $a*b=a(a+b)$ とする。

　例えば

　 $3*4=3×(3+4)=21$

　　 $(3*4)*5=21*5=21×(21+5)=546$

(1) $2*(1*3)$ を計算せよ

(2) $a*(2*a)=(a+2)*(a-1)$ を解け

解説

特殊な計算方法が問題文で提示されているパターン

$a*b=a(a+b)$ にひとつずつ当てはめていこう。

(1) $2*(1*3)$

もちろん、カッコがあるので、 $(1*3)$ の部分を先に処理する。

　 $(1*3)=1×(1+3)=4$

なので、

　 $2*(1*3)$

　　 $=2*4$

　　 $=2×(2+4)$

　　　 $=12$ ・・・答

(2)

文字のまま計算してみよう。

　左辺 $a*(a*2)$

　　　　 $=a*(2a+4)$

　　　　 $=a(3a+4)$

　右辺 $(a+2)*(a-1)$

　　　　 $=(a+2)(2a+1)$

以上より、

　 $a*(2*a)=(a+2)*(a-1)$

は

　 $a(3a+4)=(a+2)(2a+1)$

となる。これを解けばよい。

解答

(1)

　 $2*(1*3)$

　　 $=2*( 1×(1+3) )$

　　 $=2*4$

　　 $=2×(2+4)$

　　　 $=12$ ・・・答

(2)

　 $a*(2*a)=(a+2)*(a-1)$

　 $a*(2a+4)=(a+2)(2a+1)$

　 $a(3a+4)=(a+2)(2a+1)$

　 $a^2-a-2=0$

　 $(a-2)(a+1)=0$

　　 $a=2,-1$ ・・・答

練習問題04　

(1) 2つの実数a,bについて、 $a★b=ab+a+b$ とする。 $x★(x+2)=9$ を満たすxの値をもとめよ。

(2) 自然数xを5で割った余りを $＜x＞$ で表す。 $＜x＞^2-5＜x＞+6=0$ を満たす2桁の自然数xのうち最大の数をもとめよ。

(3) 正の数xの整数部分を $＜x＞$ とする。 $＜x＞^2-2＜x＞-3=0$ を満たすxの範囲を不等号で表わせ。

5.練習問題解答

練習問題01

(1)

　 $2x^2+11x+14=0$

　 $(x+2)(2x+7)=0$

　　 $x=-2,-\frac72$ ・・・答

(2)

　 $6x^2-x-12=0$

　 $(2x-3)(3x+4)=0$

　　 $x=\frac32,-\frac43$ ・・・答　

(3)

　 $(5x-1)(x+2)=(x+3)(x+7)-20$

　 $5x^2+9x-2=x^2+10x+1$

　 $4x^2-x-3=0$

　 $(x-1)(4x+3)=0$

　　 $x=1,-\frac34$ ・・・答

練習問題02

(1)

　 $x^2-(\sqrt2-2)x-2\sqrt2=0$

　 $(x-\sqrt2)(x+2)=0$

　　 $x=\sqrt2,-2$ ・・・答

(2)

　 $x^2+(1-\sqrt2-\sqrt3)x+\sqrt6-\sqrt2=0$

　 $(x-\sqrt2)(x-\sqrt3+1)=0$

　　 $x=\sqrt2,\sqrt3-1$ ・・・答

(3)

　 $\sqrt2 x^2+4x+2\sqrt2=0$

　 $2x^2+4\sqrt2 x+4=0$

　 $x^2+2\sqrt2x+2=0$

　 $(x+\sqrt2)^2=0$

　　 $x=-\sqrt2$ ・・・答

(4)

　 $(x-1)^2-4\sqrt3 (x-1)+12=0$

$A=x-1$ とすると、

　 $A^2-4\sqrt3A+12=0$

　 $(A-2\sqrt3)^2=0$

　 $(x-1-2\sqrt3)^2=0$

　　 $x=1+2\sqrt3$ ・・・答

(5) $(\sqrt3-1)x^2+(5-\sqrt3)x+2\sqrt3=0$

　 $2x^2+(\sqrt3+1)(5-\sqrt3)x+2\sqrt3(\sqrt3+1)=0$

　 $x^2+(2\sqrt3+1)x+(3+\sqrt3)=0$

　 $(x+\sqrt3)(x+\sqrt3+1)=0$

　　 $x=-\sqrt3,-\sqrt3-1$ ・・・答

練習問題03-1

(1)

　 $(x-a+1)(x+a-1)=0$

　　 $x=a-1,-a+1$ ・・・答

(2)

　 $(2x-a)^2=6x-3a+4$

　 $(2x-a)^2-3(2x-a)-4=0$

　 $(2x-a-4)(2x-a+1)=0$

　　 $x=\frac{a+4}{2},\frac{a-1}{2}$ ・・・答

(3)

　 $x^2+(2a-1)x+a^2-a-6=0$

　 $x^2+(2a-1)x+(a-3)(a+2)=0$

　 $(x+a-3)(x+a+2)=0$

　　 $x=-a+3,-a-2$ ・・・答

練習問題03-2

まずは条件の式を解こう

　 $a^2-b^2-a-b=0$

　 $(a+b)(a-b)-(a+b)=0$

　 $(a+b)(a-b-1)=0$

よって、① $a+b=0$ 、② $a-b-1=0$

①はa>0,b>0という条件に不適なので、②のみを考える。

　 $a^2+b^2-2ab-a+b$

　　 $=(a-b)^2-(a-b)$

　　 $=(a-b)(a-b-1)$

$a-b-1=0$ を代入すると

　　 $=(a-b)×0$

　　 $=0$ ・・・答

練習問題04　

(1)

　 $x★(x+2)=9$

　 $x(x+2)+x+(x+2)=9$

　 $x^2+4x-5=0$

　 $(x-1)(x+5)=0$

　　 $x=1,-5$ ・・・答

(2)

　 $＜x＞^2-5＜x＞+6=0$

　 $(＜x＞-2)(＜x＞-3)=0$

よって、① $＜x＞=2$ 、② $＜x＞=3$

　①5で割って余り2の数　2桁で最も大きいのは　97

　②5で割って余り3の数　2桁で最も大きいのは　98

ゆえに、最大の数は 98・・・答

(3)

　 $＜x＞^2-2＜x＞-3=0$

　 $(＜x＞-3)(＜x＞+1)=0$

xは正の整数だから、 $＜x＞=-1$ は不適。

よって、 $＜x＞=3$

整数部分が3なので、

　　 $3≦x＜4$ ・・・答

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