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数学の解説と練習問題

2019年(H31)大阪府公立高校問題(C問題)・解説

2019年度公立高校解説高校入試過去問解説データベース

生存報告を兼ねて、作りやすい入試問題の解説を上げておく。

私生活がね...忙しいの...

2次関数の続きはちょっとまってください。

問題・解答　→http://www.pref.osaka.lg.jp/kotogakko/gakuji-g3/h31gakken_ippan.html(大阪府教育庁）

大問1
大問2
大問3

全体として、昨年より更に簡単になったように思う。

大問1

間違えられない問題ばかりなので、計算ミスに気をつける。

(1)

いろんな解き方があると思うが、

与式を平方完成するのがオーソドックスか

$x^2-10x+2$

　 $=(x-5)^2-23$

　 $=(-2\sqrt{3})^2-23$

　 $=-11$

(2)

　 $x-y+1=-2y$ 、 $3x+7=-2y$

この2つを連立すれば良い。

　 $x-y+1=-2y$ 　→　 $x+y=-1$ ・・・①

　 $3x+7=-2y$ 　→　 $3x+2y=-7$ ・・・②

②－①×2より

　 $x=-5$

これを、①に代入して

　 $y=-4$

(3)

$A=a+2b$ と置くとわかりやすい

　 $(a+2b)^2+a+2b-2$

　　 $=A^2+A-2$

　　 $=(A+2)(A-1)$

　　 $=(a+2b+2)(a+2b-1)$

(4)

平方根の大小比較は、すべて根号の中に入れて比較する。

　 $\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt2=\sqrt{32}$

　 $5.5=\sqrt{5.5^2}=\sqrt{30.25}$

よって　オが正解

　 $5.5＜\sqrt{31}＜\frac{8}{\sqrt{2}}$

(5)

$\frac{2b}{a}$ の最大値は $12$ だからそれ以下の素数で考える。

　2になるとき $a=b$ になればよい

　　(tex:(a.b)=(1,1)(2,2)....(6,6)] の6パターン

　3になるとき

　　 $(a,b)=(2,3)(4,6)$ の2パターン

　5になるとき

　　 $(a,b)=(2,5)$ の1パターン

　7にはならない

　11にはならない

以上より

　 $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$

(6)

母集団における黒い碁石の数の割合と、

標本における黒い碁石の数の割合が等しい。

　黒色の碁石の数 $x$ 個

　白色の碁石の数 $y$ 個

とする。

黒い碁石の割合は

　 $\frac{x}{x+y}$

標本調査から、黒い碁石の割合は

　 $\frac{32}{40}=$

よって、

　 $\frac{x}{x+y}=\frac{32}{40}$ ・・・①

一方、白い碁石を100個加えた場合も同様に

　 $\frac{x}{x+y+100}=\frac{28}{40}$ ・・・②

①、②を連立して

　 $x=560,y=140$

よって黒い碁石は560個

(7)

とりあえず

　連続する奇数だから　 $a=2n+1$ [b=2n+3]・・・①

$b^2-a^2$ が100の倍数であるから

　 $b^2-a^2=100k$ ( $k$ は整数)・・・②

とおけるのはすぐに分かる。

あとは、②式を変形して①式を代入する方向で計算していく　

　 $b^2-a^2=100k$

　 $(b-a)(b+a)=100k$

①を代入し

　 $2(4n+4)=100k$

　 $n+1=25k$

　 $n=25k-1$

これを①に代入すれば

　 $a=50k-1$ , $b=50k+1$

aもbも100未満だから、 $k=1$ でなければならない

よって、 $(a,b)=49,51$

(8)

長さが等しいことが条件で与えられている問題は

長さを $t$ で表し、方程式を立てればよい。

まずは　 $DE,AB,EC,CF$

を文字で表すことを目標に計算していく

f:id:keimathchem:20190518191439p:plain

DCと $y軸$ の交点をGとする

ABはAの $y$ 座標がわかればよいから

　 $AB=3t+2$

ここで $GE=OB=t$ , $DE=AB$ だから

　 $DG=DE-EE$

　　 $=AB-OB$

　　 $=2t+2$

f:id:keimathchem:20190518191507p:plain

放物線の対称性より　 $DG=GC=2t+2$ だから

　 $EC=GC-GE$

　　 $=DG-OE$

　　 $=(2t+2)-t$

　　 $=t+2$

一方,Cの $x$ 座標はGCの長さと等しいので

　 $C(2t+2,\frac{1}{8} (2t+2)^2$

よって、

　 $CF=,\frac{1}{8} (2t+2)^2$

ここで、 $EC=CF$ より

　 $t+2=\frac{1}{8} (2t+2)^2$

これを解いて

　 $t=\sqrt3$

大問2

大阪Cの図形問題にしては易しい

(2)円があると角度を証明しやすい、よって底角が等しいことを証明し、△FOCが二等辺三角形であることを示す。(3)①角度が等しいところがたくさんある→相似な図形を探す②前の問題で相似を利用したので、相似＋面積＝面積比から攻める。

(1)

　 $弧AB=円の円周×\frac{中心角}{360}$ なので

　　 $弧AB=2×4×π×\frac{a}{360}$

　　　 $=\frac{a}{2}$

(2)

詳細は解答の証明を見てほしい

簡単に書くと

　三角形ACDで内角と外角の関係から

　　 $∠FCO=∠CAD+∠CDA$

　　　 $=2∠CAD$ (△ACDは二等辺三角)

　中心角と円周角の関係より

　　 $∠FOC=2∠CAD$ (弧CE)

だから　 $∠FCO=∠FOC$

という流れで証明していく。

(3)

①

△OAC∽△FOCを利用すればよい。

　 $AC:OC=OC:FC$

　 $3:2=4:FC$

　 $FC=\frac83$

②

f:id:keimathchem:20190518194921p:plain

△OAC∽△FOCだからその面積比は

$△OAC:△FOC=9:4$

よって

　 $△AOF:△FOC=5:4$

また、Oは中点だから

　 $△ABO=△OAC$

　 $△ABO:△FOC=9:5$

ゆえに

　 $△ABC:△AOF=18:5$

△ABCで三平方の定理を使えば

　 $AB=2\sqrt7$

と求められるから

　 $△ABC=2\sqrt7×6÷2=6\sqrt7$

よって

　 $△AOF=△ABC×\frac{18}{5}$

　　 $=\frac{5\sqrt{7}}{3}$

大問3

おそらく最後の問題が一番難しい。

(2)②のように計算しにくい形の体積問題は、分けて考える。

なお、断頭三角柱の公式を使えば、計算が楽になる。

立体の切断に関わる公式は、難関受験者ならまとめて置こう。

(1)

①

f:id:keimathchem:20190522163315p:plain

　台形ABEDを取り出して考える。

　図の赤い線A'A, B'Bが、△AEBの高さである。

　台形ABEDは等脚台形なので、

　　 $A'D=B'E=1$

　三平方の定理より

　　 $BE^2=B'E^2+B'B^2$

　　 $8^2=1+B'B^2$

　　　 $B'B=3\sqrt{7}$

　よって△AEBの面積は

　　 $3×3\sqrt{7}×\frac{1}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{2}$

②

f:id:keimathchem:20190522164735p:plain

HG//AEだから

　△HDG∽ADE

よって、 $HD:AD=2:5$

$AD=8$ だから

　 $AH=8×\frac35=\frac{24}{5}$

③

いろいろな解き方があるが、面積から高さを逆算する方法で解く。

手順としては

　1.　△ACDの面積から、△ACHの面積を出す。

　2.　△ACHの面積とACからIHを出す。

△ACDについて、AからCDに垂線AJを下ろす。

三平方の定理より

　 $AD^2=AJ^2+JD^2$

　 $AJ=2\sqrt{15}$

よって、△ACDの面積は

　 $△ACD=CD×AJ÷2＝4\sqrt{15}$

f:id:keimathchem:20190522173112p:plain

前の問題から $AH:HD=3:2$ なので

　 $△ACH:△ACD=3:5$

ゆえに

　 $△ACH=△ACD×\frac35$

よって

　 $IH=△ACH÷AD×2$

　　　 $=4sqrt{15}×\frac35÷8×2$

　　　 $=\frac{3\sqrt{15}}{5}$

(2)

①

　AEを利用して、相似を2回使う方法もあるが、

　個人的にはAGを結んで平行四辺形を使うほうが好き

f:id:keimathchem:20190522174153p:plain

AGを結ぶと、AGEBは平行四辺形になる。

よって、 $LK=3$

また、△AJL∽△ADGなので

　 $JL:2=2:8$

　 $JL=\frac12$

よって、

　 $JK=3+\frac12=\frac72$

②

下図のように分けて考える。

f:id:keimathchem:20190522183449p:plain

体積を求めるには、JKと底面の距離＝立体の高さが欲しい。

f:id:keimathchem:20190525140813p:plain

図のように、ANQBが長方形になるようにABーCDEFを分ける

(1)① より、

　 $AN=3\sqrt{7}$

また、△AFNは二等辺三角形だから

　 $LN=4$

△ALNは直角三角形だから

　 $AL^2=AN^2-LN^2$

　 $AL=\sqrt{59}$

△ALN∽△OMN,　△ADN∽△AJOなので

　 $AL:OM=AN:ON=AD:JD$

つまり

　 $AL:OM=4:3$

　　 $OM=\frac{3}{4}\sqrt{59}$

これJKと底面CDEF間の距離となる。

よって

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この図形の体積は

　水色の部分

　　 $\frac{3}{4}×4×\frac{3}{4}\sqrt{59}×\frac13×2$

　　　 $=\frac{3}{2} \sqrt{59}$

　黄色部分

　　 $4×\frac{3}{4} \sqrt{59}×\frac12×\frac72$

　　　 $=\frac{21}{4} \sqrt{59}$

よって、全体の体積はこれらの和だから

　　 $\frac{27}{4} \sqrt{59}$

※断頭三角柱の公式

f:id:keimathchem:20190525145439p:plain

三角柱を図のように、2箇所で切断したとき

元の三角柱の底面の面積をSとすると

図のオレンジ部分の体積Vは

　 $V=S×\frac{x+y+z}{3}$