因数分解の工夫(3)(難)(4乗と複二次式・たすき掛け)

前回までの内容でも、難関レベルの問題に対応できると思うが、

今回は前回までで触れていない補足問題を扱う。

　前回　因数分解の工夫と練習問題(2)(標～難)

　次回　展開・因数分解の利用(基)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本(1)(共通因数・公式)(基)

1.2.2 因数分解の基本(2)([tex:x^2]に係数・展開と因数分解)(標)

1.2.3 因数分解の工夫(1)(置き換え・置き換えの難問)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫(2)(組み合わせ・二乗－二乗・最低次数)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫(3)(複二次式・たすき掛け)(難)

1.x4の関わる問題
2.たすき掛け
3.たすき掛けの応用
3.演習問題
4.解答

1.x⁴の関わる問題

例題1　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $x^4-5x^2+6$
(2) $x^4+x^2+1$
(3) $x^4+x^2+1+6xy-9y^2$

解説

$x^4$ が関わる因数分解では、

これまで紹介した方法以外に、以下の解き方がある。

　① $A=x^2$ とおくパターン

　② $x^2$ の項を補うパターン

(1) $x^4-5x^2+6$

① $A=x^2$ とおく。

$x^4=A^2$ となり、次数を下げることができる。

　　　 $x^4-5x^2+6$

　　 $A=x^2$ とおくと

　　　　 $=A^2-5A+6$

　　　　 $=(A-2)(A-3)$

あとはAを元に戻せばよい

(2) $x^4+x^2+1$

この問題では、 $A=x^2$ としても因数分解できない。

そこで、② $x^2$ の項を補うパターンを考える。

例えば、

　 $x^4+x^2+1$ が、もし $x^4+2x^2+1$ だったら

　 $(x^2+1)^2$ の形にできる。

そこで、

　無理やり $x^4+2x^2+1$ が式に出るようにする。

　　　 $x^4+x^2+1$

　　　　 $=x^4+2x^2+1-x^2$

　　　　 $=(x^2+1)^2-x^2$

　　　　 $=( (x^2+1)-x ) ( (x^2+1)+x)$

　　　　 $=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ 　・・・答

このように。 $(　　)^2$ の形ができるように　

$x^2$ の項を足したり引いたりして、式のつじつまを合わせる。

(3) $x^4+x^2+1+6xy-9y^2$

これも発想としては(2)と同じ。

$x^4+x^2+1$ を $(x^2+1)^2$ の形にするため

に $x^2$ を補うと、

　　　 $x^4+x^2+1+6xy-9y^2$

　　　　 $= x^4+2x^2+1-x^2+6xy-9y^2$

前側 $x^4+2x^2+1$ と後ろ側 $-x^2+6xy-9y^2$

を分けて因数分解すると、「2乗－2乗」の形になる。

　　　　 $=(x^2+1)^2-(x-3y)^2$

　　　　 $=( (x^2+1)-(x-3y) )( (x^2+1)+(x-3y) )$

　　　　 $=(x^2+1-x+3y)(x^2+1+x-3y)$

　　　　 $=(x^2-x+3y+1)(x^2+x-3y+1)$ 　・・・答

※　 $x^4+x^2-9y^2+6xy+1$ を因数分解せよ

のように順番がいじられた物が突然出てくると、非常に難しい問題になる。

解答
(1) $x^4-5x^2+6$
　 $=(x^2 )^2-5x^2+6$
　 $=(x^2-2)(x^2-3)$ 　・・・答
(2) $x^4+x^2+1$
　 $=x^4+2x^2+1-x^2$
　 $=(x^2+1)^2-x^2$
　 $=(x^2-x+1)(x^2+x+1$ )　・・・答
(3) $x^4+x^2+1+6xy-9y^2$
　 $=(x^4+2x^2+1)-(x^2-6xy+9y^2)$
　 $=(x^2+1)^2-(x-3y)^2$
　 $=(x^2-x+3y+1)(x^2+x-3y+1)$ 　・・・答

練習問題1　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $x^4-2x^2+1$
(2) $x^4+3x^2-10$
(3) $x^4-13x^2-36$
(4) $x^4+3x^2+4$
(5) $x^4+4y^4$
(6) $x^4-3x^2-3x+9$
(7) $x^4+3x^2-4xy-4y^2+4$
(8) $x^4+3x^2-4xy-4y-4$

2.たすき掛け

例題2-1　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $2x^2+5x-12$
(2) $6x^2+5x-6$

解説

$x^2$ の前の数字は共通因数でくくったりしてきた。

ところが、今回の例題では $x^2$ の係数が取れない。

こういう問題を、高校ではいわゆる「たすき掛け」で解く。

しかし、今回は高校で習うように図を書いたりせずに解く方法を2つ紹介する。

（個人的に手法2の方がおすすめ。）

手法1

　 $ax^2+bx+c$ について

①掛けてac足してbである2数を探す

②この2数をm, nとすると

　　 $ax^2+bx+c$

　　　= $ax^2+mx+nx+c$

　と変形し、共通因数をとる。

例(1)　2x²＋5x－12

　①掛けて2×(－12)=－24 。足して＋5になる2数を探す

　　 $(-3)×(+8)=-24$

　　 $(-3)+(+8)=+5$

　なので、－3と＋8が目的の2数m, n

②これを以下のように共通因数が取れるように変形する

　　 $2x^2+5x-12$

　　　 $=2x^2+8x-3x-12$

あとは、共通因数でそれぞれくくると、

　　　 $=2x(x+4)-3(x+4)$

　　　 $=(x+4)(2x-3)$ ・・・答

手法2

　 $ax^2+bx+c$ について

①掛けてaになる2数を見つけ、m, nとする

②　 $ax^2+bx+c$

　　　　=(mx+　　)(nx+　　)

　ととりあえず書く。

③空所に掛けてcになる数を入れる。

　展開してみて、bxが出れば、それが正解。

例(1) 2x²＋5x－12

①掛けて2になる2数を探す

　もちろんは1×2しか有り得ない(これがm, n)

②とりあえず、以下のように書く

　　 $2x^2+5x-12$

　　　= $(x　　)(2x　　)$

③空所に掛けて－12となる2数を入れていき、

　展開したとき＋5xが出る物を探す

　　✕　 $(x+1)(2x-12)$ = $2x^2-10x-12$

　　✕　 $(x+3)(2x-4)$ = $2x^2+2x-12$

　　✕　 $(x-3)(2x+4)$ = $2x^2-2x-12$

　　◯　 $(x+4)(2x-3)$ = $2x^2+5x-12$

　もちろん、いちいち全部展開しなくても、xの項の部分だけ計算すればよい。

　慣れると空所に入る数値が大体わかるようになったりする。

　　　 $2x^2+5x-12$

　　　　 $=(x+4)(2x-3)$ ・・・答

　こちらの手法はほとんど「たすき掛け」と変わらない

解答

今回は手法1のやり方の解答を記す

(1) $2x^2+5x-12$

　　 $=2x^2+8x-3x-12$

　　 $=2x(x+4)-3(x+4)$

　　 $=(x+4)(2x-3)$ ・・・答

(2) $6x^2+5x-6$ 　

　　 $=6x^2-4x+9x-6$
　　 $=2x(3x-2)+3(3x-2)$
　　 $=(2x+3)(3x-2)$ 　・・・答

3.たすき掛けの応用

例題2-2　以下の式を因数分解せよ(難)

(1) $x^2-(a+3)x+3a$
(2) $2x^2+(3y-5)x+(y+1)(y-3)$
(3) $(2a-b)(a+b)-2ab-a+b$

＜出典:(3) ラ・サール＞

解説

文字が関わってきても、前節の手法1、2と同様の手順でよい。

(3)は後にして、(1)と(2)を見てみよう。

手法1で解くと
(1) $x^2-(a+3)x+3a$

　掛けて $3a$ , 足して $-(a+3)$ となる2数探す

　 $-3$ と $-a$ が該当する2数なので

　　 $x^2-(a+3)x+3a$

　　　 $=x^2-3x-ax+3a$
　　　 $=(x-3)x-(x-3)a$
　　　 $=(x-3)(x-a)$ 　・・・答

(2) $2x^2+(3y-5)x+(y+1)(y-3)$

　掛けて $2(y-1)(y-3)$ 、足して $3y-5$ となる2数は

　 $2(y-3)$ と $(y-1)$ なので

　　 $2x^2+(3y-5)x+(y+1)(y-3)$
　　　 $=2x^2+2(y-3)x+(y+1)x+(y+1)(y-3)$
　　　 $=2x(x+y-3)+(y+1)(x+y-3)$
　　　 $=(2x+y+1)(x+y-3)$ 　・・・答

　(2)のように、 $(y+1)$ や $(y-3)$ の形を崩さずに、

そのままの形にして2数を探すとよい。

手法2で解くと

(1) $x^2-(a+3)x+3a$

　掛けて1になるのは1×1しか無いので

　　 $=(x　　)(x　　)$

　と書いておく。

　　次に、空所に掛けて $3a$ となる2数を入れ、

　展開したときに $-(a+3)x$ がでるようにする。

　今回の場合パターンが非常に少ない

　　✕　 $=(x+3)(x+a)$

　　◯　 $=(x-3)(x-a)$

よって

　　 $x^2-(a+3)x+3a$

　　　 $=(x-3)(x-a)$ ・・・答

(2) $2x^2+(3y-5)x+(y+1)(y-3)$

　掛けて2になるのは1×2しかないので

　　 $=(x　　)(2x　　)$

　と書いておく。

　　次に、展開して、 $+(3y-5)x$ が出るように空所を補充する。

　このとき $(y+1)$ や $(y-3)$ の形を崩さないで入れる。

　このため、パターン数がすくない。

　　✕　 $=(x+(y+1) )(2x+(y-3) )$

　　✕　 $=(x-(y+1) )(2x-(y-3) )$

　　◯　 $=(x+(y-3) )(2x+(y+1) )$

　　✕　 $=(x-(y-3) )(2x-(y-1) )$

よって

　　　 $2x^2+(3y-5)x+(y+1)(y-3)$

　　　　 $=(x+(y-3) )(2x+(y+1) )$

　　　　 $=(x+y-3)(2x+y+3)$ ・・・答

(5)の解き方

例題2-2の他の問題と同じように手法1で解くと

(5) $(2a-b)(a+b)-2ab-a+b$
　　 $=2a^2-ab-b^2-a+b$
　　 $=2a^2-(b+1)a-b(b-1)$
　　 $=2a^2-2ab+(b-1)a-b(b-1)$
　　 $=2a(a-b)+(b-1)(a-b)$
　　 $=(a-b)(2a+b-1)$ 　・・・答

もちろん手法2でも解ける。

※別解1

例題2-1だけの知識でも解ける

　 $(2a-b)(a+b)-2ab-a+b$
　　 $=2a^2-ab-b^2-a+b$
　　 $=(2a+b)(a-b)-(a-b)$
　　 $=(a-b)(2a+b-1)$ 　・・・答

※別解2

組み合わせの工夫までの知識でも解くことができる

　 $(2a-b)(a+b)-2ab-a+b$
　　 $=2a^2-ab-b^2-a+b$
　　 $=a^2-b^2+a^2-ab-a+b$
　　 $=(a+b)(a-b)+a(a-b)-(a-b)$
　　 $=(a-b)(a+b+a-1)$
　　 $=(a-b)(2a+b-1)$ 　・・・答

このように、学校の教科書に乗っていないような特殊な解き方を知らなくとも、工夫次第で解ける。

練習問題2　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $2x^2-7x+5$
(2) $3x^2+10xy+3y^2$
(3) $6x^2-x-1$
(4) $4x^2-4xy-3y^2$
(5) $x^2+(a-5)x-5a$
(6) $2x^2+(3a-5)x+a(a-3)$
(7) $x^2-(a+2)x-(2a+1)(a-1)$

3.演習問題

演習問題1　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $x^4-5x^2+4$
(2) $x^4-10x^2+9$
(3) $x^4+5x^2 y^2 +9y^4$
(4) $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2 )-15x^2 y^2$
(5) $x^4+x^2 y-5x^2-4y+4$ 　　
(6) $x^4-3x^2-2xy-y^2+1$

＜出典:(2)城西大学附属川越 (4)ラ・サール (5)東大寺学園＞

演習問題2　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $2x^2-7x+3$
(2) $3x^2-10x+8$
(3) $4x^2+4xy-3y^2$
(4) $6x^2+x-12$
(5) $(2x^2+3)^2-2x(2x^2+3)-35x^2$ 　
(6) $2(2x+y)^2-(x+2y)(2x+y)-(x+2y)^2$ 　
(7) $x^2+(a-2)x-4(a+2)$
(8) $a^2+(b+2)a-(b+1)(2b+3)$
(9) $a^2 b-a^2 c+ab^2-ac^2+b^2 c-bc^2$ 　

＜出典:(5)灘高校(6)洛南高校 (9)明治大学付属明治＞

4.解答

練習問題1　
(1) $x^4-2x^2+1$
　 $=(x^2-1)^2$
　 $=(x-1)^2 (x+1)^2$ 　・・・答
(2) $x^4+3x^2-10$
　 $=(x^2-2)(x^2+5)$ 　・・・答
(3) $x^4-13x^2-36$
　 $=x^4-12x^2-36-x^2$
　 $=(x^2-6)^2-x^2$
　 $=(x^2-x-6)(x^2+x-6)$
　 $=(x+2)(x-3)(x-2)(x+3)$ 　・・・答
(4) $x^4+3x^2+4$
　 $=x^4+4x^2+4-x^2$
　 $=(x^2+2)^2-x^2$
　 $=(x^2-x+2)(x^2+x+2)$ 　・・・答
(5) $x^4+4y^4$
　 $=x^4+4x^2 y^2+4y^4-4x^2 y^2$
　 $=(x^2+2y^2 )^2-4x^2 y^2$
　 $=(x^2-2xy+2y^2 )(x^2+2xy+2y^2)$ ・・・答
(6) $x^4-3x^2-3x+9$
　 $=x^2 (x-3)-3(x-3)$
　 $=(x-3)(x^2-3)$ 　・・・答
(7) $x^4+3x^2-4xy-4y^2+4$
　 $=x^4+4x^2+4-x^2-4xy-4y^2$
　 $=(x^2+2)^2-(x+2y)^2$
　 $=(x^2-x-2y+2)(x^2+x+2y+2)$ 　・・・答
(8) $x^4+3x^2-4xy-4y-4$
　 $=-4xy-4y+ x^4+3x^2-4$
　 $=-4y(x+1)+(x^2-1)(x^2+4)$
　 $=-4y(x+1)+(x+1)(x-1)(x^2+4)$
　 $=(x+1)( (x-1)(x^2+4)-4y) )$
　 $=(x+1)(x^3-x^2+4x-4y-4)$ 　・・・答
練習問題2　
(1) $2x^2-7x+5$
　 $=(x-1)(2x-5)$ 　・・・答
(2) $3x^2+10xy+3y^2$
　 $=(x+3y)(3x+y)$ 　・・・答
(3) $6x-x-1$
　 $=(2x-1)(3x+1)$ 　・・・答
(4) $4x^2-4xy-3y^2$
　 $=(2x+y)(2x-3y)$ 　・・・答
(5) $x^2+(a-5)x-5a$
　 $=(x-5)(x+a)$ 　・・・答
(6) $2x^2+(3a-5)x+a(a-3)$
　 $=(2x+a)(x+a-3)$ 　・・・答
(7) $x^2-(a+2)x-(2a+1)(a-1)$
　 $=(x+a-1)(x-2a-1)$ 　・・・答
演習問題1　
(1) $x^4-5x^2+4$
　　 $=(x^2-1)(x^2-4)$
　　 $=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$ 　・・・答
(2) $x^4-10x^2+9$
　　 $=(x^2-1)(x^2-9)$
　　 $=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$ 　・・・答
(3) $x^4+5x^2 y^2 +9y^4$
　　 $=x^4+6x^2 y^2+9y^4-x^2 y^2$
　　 $=(x^2+3y^2 )-x^2 y^2$
　　 $=(x^2-xy+3y^2 )(x^2+xy+3y^2)$ 　・・・答
(4) $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2 )-15x^2 y^2$
　　 $=(x^2-4y^2 )(x^2+4y^2 )-15x^2 y^2$
　　 $=x^4-15x^2 y^2-16y^4$
　　 $=(x^2-16y^2 )(x^2+y^2)$
　　 $=(x-4y)(x+4y)(x^2+y^2)$ 　・・・答
(5) $x^4+x^2 y-5x^2-4y+4$
　　 $=x^2 y-4y+x^4-5x^2+4$
　　 $=(x^2-4)y+(x^2-4)(x^2-1)$
　　 $=(x^2-4)(x^2+y-1)$
　　 $=(x-2)(x+2)(x^2+y-1)$ 　・・・答
(6) $x^4-3x^2-2xy-y^2+1$
　　 $=x^4-2x^2+1-x^2-2xy-y^2$
　　 $=(x^2-1)^2-(x+y)^2$
　　 $=(x^2-x-y-1)(x^2+x+y-1)$ 　・・・答
演習問題2
(1) $2x^2-7x+3$
　　 $=(x-3)(2x-1)$ 　・・・答
(2) $3x^2-10x+8$
　　 $=(x-2)(3x-4)$ 　・・・答
(3) $4x^2+4xy-3y^2$
　　 $=(2x-y)(2x+3y)$ 　・・・答
(4) $6x^2+x-12$
　　 $=(2x+3)(3x-4)$ 　・・・答
(5) $(2x^2+3)^2-2x(2x^2+3)-35x^2$
　　 $=(2x^2-7x+3)(2x^2+5x+3)$
　　 $=(2x-1)(x-3)(2x+1)(x+2)$
　　 $=(x+2)(x-3)(2x+1)(2x-1)$ 　・・・答
(6) $2(2x+y)^2-(x+2y)(2x+y)-(x+2y)^2$
　　 $=( (2x+y)-(x+2y) )( 2(2x+y)+(x+2y) )$
　　 $=(x-y)(5x+4y)$ 　・・・答
(7) $x^2+(a-2)x-4(a+2)$
　　 $=(x-4)(x+a+2)$ 　・・・答
(8) $a^2+(b+2)a-(b+1)(2b+3)$
　　 $=(a-b-1)(a+2b+3)$ ・・・答
(9) $a^2 b-a^2 c+ab^2-ac^2+b^2 c-bc^2$
　 $=(b-c) a^2+(b^2-c^2 )a+bc(b-c)$
　 $=(b-c) a^2+(b-c)(b+c)a+bc(b-c)$
　 $=(b-c)(a^2+(b+c)a+bc)$
　 $=(b-c)(a+b)(a+c)$
　 $=(a+b)(b-c)(c+a)$ 　・・・答