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数学の解説と練習問題

平方根の基本(基)(平方根とは)

解説中3数学平方根計算問題数と式基礎問題

今回から、平方根について学んでいこう

前回　式の計算の利用(難)

次回　計算への準備(基)

　

　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

2.2 計算への準備と平方根の性質(基)

　2.3 平方根の計算

　　2.3.1 平方根の計算と四則計算・展開・式の値(基)

　　2.3.2 平方根の計算・展開・有利化・式の決定標～難)　

1.初めに
2.平方根と根号
3.平方根の性質①
4.正誤問題
5.大小関係
6.解答

1.初めに

2乗の値をまず覚えよう

　 $11^2=121$ 　 $12^2=144$

　 $13^2=169$ 　 $14^2=196$

　 $15^2=225$ 　 $16^2=256$

このあたりまで覚えておけば大丈夫だ。

2.平方根と根号

　2乗すると $a$ になる数を、 $a$ の平方根という

　　例　9の平方根は ±3　(±を忘れない)

　　　　25の平方根は ±5

　9の平方根を考えてみる。

　2乗して9になる数は $3$ と $-3$

　9の平方根は $+3, -3$ の2つある。

　まとめて $±3$ と答える。(±は「プラスマイナス」と読む)

②根号

　2乗すると $a$ になる数を、 $±\sqrt{a}$ と表現してよい

　　例　7の平方根は、 $±\sqrt{7}$

　　　　11の平方根は、 $±\sqrt{11}$

　7の平方根を考えよう。
　2乗して7になる数字は思いつかない。
　そこで、7の平方根を $±\sqrt{7}$ とする。

　 $\sqrt{　}$ を根号といい、ルートと読む

　2乗の元が思いつかないなら、 $\sqrt{　}$ をつければ良い。

例題01　次の数の平方根を答えよ。

　(1) $225$ (2) $0.01$ (3) $0$ (4) $-4$

　(5) $5$ (6) $12$ (7) $0.4$

解説

(1) 255

　2乗して255になるのは、15だったから

　±15が答えになる。

(2) 0.01

　2乗して0.01になるのは、0.1である、。

　よって、±0.1が答え

(3) 0

　2乗して0になるのは、0

　よって0が答え。

(4) -4

　2乗してマイナスになる数は存在しない。

　よって平方根も存在しない。

　だから、「ない」と答える。

　「実数ではない」でもよい。

(5) 5

　2乗して5になる数は思いつかない。

　こういう時は根号をつかって、

　 $±\sqrt{5}$ とする。

(6) 12

　思いつかないので、 $±\sqrt{12}$

(7) 0.4

　 $±0.2$ はダメ。 $±0.2$ は二乗すると $0.04$ になってしまう。

　2乗して0.4になる数は思いつかないので、 $±\sqrt{0.4}$

平方根を振り返ってみよう。

　2乗するとaになる数を、aの平方根という

　　①a>0のとき、aの平方根は $±\sqrt{a}$

　　②0の平方根は0

　　③a<0のとき、aの平方根はない(実数ではない)

解答

　±を忘れないように気をつけよう。

(1) $±15$ (2) $±0.1$ (3) $0$

(4) ない (5) $±\sqrt{5}$ (6) $±\sqrt{12}$

(7) $±\sqrt{0.4}$

練習問題01　次の数の平方根を求めよ

(1) $196$ (2) $125$ (3) $8$

(4) $0.9$ (5) $169$ (6) $0$

3.平方根の性質①

平方根の性質①

a>0とする。

　① $\sqrt{a^2}=a$ 　　　　　　例 $\sqrt{169}=\sqrt{13^2}=13$

　② $-\sqrt{a^2}=-a$ 　　　　例 $-\sqrt{4}=-\sqrt{2^2} =-2$

　③ $\sqrt{(-a)^2 }=a$ 　　　　例 $\sqrt{(-7)^2 }=7$

　④ $-\sqrt{(-a)^2 }=-a$ 　　例 $-\sqrt{(-2)^2 }=-2$

　⑤ $(\sqrt{a})^2=a$ 　　　　　例 $(\sqrt{13})^2=13$

　⑥ $(-\sqrt{a})^2=a$ 　　　　例 $\sqrt{(-27)^2}=27$

根号を外すとき、±をつけない。

二乗と $\sqrt{　}$ が打ち消し合うイメージで考えるとよい。

また、マイナスの扱いに気をつけよう。

例題02　次の数を、根号を使わずに表せ

(1) $\sqrt{144}$ 　(2) $-\sqrt{81}$ 　(3) $\sqrt{\frac{64}{121}}$

(4) $\sqrt{(-16)^2}$ 　(5) $-\sqrt{(-7)^2}$ 　(6) $(-\sqrt{12})^2$

解説

(3) $\sqrt{\frac{64}{121}}$

　 $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{8}{11}$

(4) $\sqrt{(-16)^2}$

　マイナスも二乗されるので、答えにマイナスをつけない。

(5) － $\sqrt{(-7)^2}$

　二乗されないマイナスがあるので、答えにマイナスを付ける。

解答

根号を外すときは、±をつけない。

(1) $12$ 　(2) $-9$ 　(3) $\frac{8}{11}$

(4) $4$ 　(5) $-7$ 　(6) $12$

練習問題02　次の数を、根号を使わずに表せ

(1) $\sqrt{64}$ (2) $\sqrt{ \frac{9}{16}}$ (3) $\sqrt{(-5)^2}$ (4) $-\sqrt{5^2}$ (5) $-(-\sqrt3)^2$

4.正誤問題

例題03

次の文中の下線部が正しいなら◯、誤っているなら正しく書き換えよ。

(1) 9の平方根は、3

(2) 0の平方根は、0

(3) -121の平方根は、±11

(4) $\sqrt{169}$ を根号を使わずに表すと、±13である。

(5) $(-\sqrt5)^2$ は負の数である。

解説

　定期テストで見かける問題。

　とくに、±が必要か否か、0の平方根、負の数の平方根

　の3つがよく狙われる

。

(1)平方根を求める問題には±を付ける

(2)正しい。

(3)マイナスの数に平方根はない

(4)根号を外すとき、±は必要ない

(5)マイナスが二乗される。よって正の数

解答

(1) $±3$ (2)◯ (3)ない (4)13 (5)正の数

練習問題03　次の文中の下線部が正しいなら◯、誤っているなら正しく書き換えよ

(1) 0.4の平方根は±0.2

(2) $\sqrt{81}$ を混合を使わずに表すと $±9$

(3) $\sqrt{(-4)^2}$ は4

(4) $\sqrt{-(-2)^2}$ は実数ではない

(5) 0の平方根はない

(6) $-(-\sqrt{2})^2$ は負の数

5.大小関係

　 $a ＞ b ＞ 0$ のとき、

　　　 $\sqrt{a} ＞ \sqrt{b}$ が成り立つ。

　つまり、根号の中身の大小と、平方根の大小は一致する。

　だから、 $\sqrt{10}$ と $\sqrt{15}$ では、根号の中身だけ比較して、

　　　 $\sqrt{10} ＜ \sqrt{15}$

　である。

例題03　つぎの数の大小を、不等号を使って表わせ

(1) $\sqrt3$ , $\sqrt5$

(2) $-\sqrt{12}$ , $-\sqrt{13}$

(3) $5$ , $\sqrt{24}$

(4) $-4$ , $-\sqrt{12}$

(5) $-\sqrt{13}$ , $-3$ , $-\sqrt{18}$ , $-4$

解説

　すべて $\sqrt{　}$ に入れて考える。

　マイナスがついているときは気をつけよう。

　

(3) $5$ , $\sqrt{24}$

　すべての数を根号を使って表すと

　　 $\sqrt{25}$ 　　 $\sqrt{24}$

　 $\sqrt{25}$ の方が大きいので

　　 $5＞\sqrt{24}$ 　・・・答

(4) $-4$ , $-\sqrt{12}$

　すべての数を根号を使って表すと

　　 $-\sqrt{16}$ 　　 $-\sqrt{12}$

　マイナスがついているので、 $-16＜-12$

　よって、 $-\sqrt{12}$ のほうが大きい

　　 $-4＜-\sqrt{12}$ 　・・・答

(5) $-\sqrt{13}$ , $-3$ , $-\sqrt{18}$ , $-4$

　すべての数を根号を使って表すと

　　 $-\sqrt{13}$ , $-\sqrt{9}$ , $-\sqrt{18}$ , $-\sqrt{16}$

　よって、

　　 $-\sqrt{9}$ ＞ $-\sqrt{13}$ ＞ $-\sqrt{16}$ ＞ $-\sqrt{18}$

　もとに戻して、

　　 $-3＞-\sqrt{13}＞-4＞-\sqrt{18}$ 　・・・答

※全部の数を二乗して比べても良い

解答

(1) $\sqrt3＜\sqrt5$ (2) $-\sqrt{12}＞-\sqrt{13}$

(3) $5＞\sqrt{24}$ (4) $-4＜-\sqrt{12}$

(5) $-3＞-\sqrt{13}＞-4＞-\sqrt{18}$

練習問題04　次の数の大小を不等号を使って表わせ

(1) $\sqrt5$ , $2$

(2) $\sqrt{15}$ , $\sqrt{13}$ , $4$

(3) $-\sqrt{23}$ , $-5$ , $-\sqrt{26}$

(4) $-\sqrt{ \frac{1}{2} }$ , $-\sqrt{ \frac{1}{5} }$ , $-\frac{1}{2}$

6.解答

練習問題01　

(1) $±14$

(2) $±\sqrt{125}$

(3) $±\sqrt8$

(4) $±\sqrt{0.9}$

(5) $±13$

(6) $0$

練習問題02　

(1) $8$

(2) $\frac{3}{4}$

(3) $5$

(4) $-5$

(5) $-3$

練習問題03　

(1) $±\sqrt{0.4}$

(2) 9

(3) ◯

(4) ◯

(5) 0

(6) ◯

練習問題04　次の数の大小を不等号を使って表わせ

(1) $\sqrt5＞2$

(2) $\sqrt{13}＜\sqrt{15}＜4$

(3) $-\sqrt{23}＞-5＞-\sqrt{26}$

(4) $-\sqrt{ \frac{1}{2} }＜-\frac{1}{2}＜-\sqrt{\frac{1}{5}}$

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