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数学の解説と練習問題

平方根の計算への準備(平方根の性質・有理化) (基)

解説中3数学平方根基礎問題計算問題数と式不等式

一つの記事にまとめると長くなってしまうので、準備と計算で分けた。

ということで、今回は平方根の計算のための準備をしていこう。

前回　平方根の基礎(基)

今回　平方根の計算(基)

　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

2.2 計算への準備と平方根の性質(基)

　2.3 平方根の計算

　　2.3.1 平方根の計算と四則計算・展開・式の値(基)

　　2.3.2 平方根の計算・展開・有利化・式の決定標～難)　

1.平方根の乗法、除法
2.平方根の性質②
3.分母の有理化
4.解答

1.平方根の乗法、除法

　 $a＞0,b＞0$ であるとき　

　　① $\sqrt a × \sqrt b= \sqrt{ab}$ 　　　例 $\sqrt2×\sqrt7=\sqrt{14}$

　　② $a\sqrt b × c \sqrt d = ac\sqrt{bd}$ 　　例 $2\sqrt3×4\sqrt5=8\sqrt{15}$

　　③ $\frac{\sqrt a }{ \sqrt b }=\sqrt{ \frac{a}{b} }$ 　　　　　　例 $\frac{\sqrt{15} }{ \sqrt 5 }=\sqrt{ \frac{15}{5} }=\sqrt3$

　　掛け算も割り算も、中同士、外同士で計算する。

　　中同士、外同士で約分だってできる。

　　

　　公式だけ見せられても意味がわからないと思うので、

　　以下の例題で確認していこう。

例題01　以下の計算をせよ

(1) $\sqrt2×\sqrt3$ 　(2) $-\sqrt6×\sqrt{ \frac{7}{3} }$ 　(3) $2\sqrt3 × 3\sqrt5$

(4) $\sqrt{98}÷\sqrt7$ 　(5) $\frac{ 2\sqrt{18} }{4\sqrt3}$ 　(6) $\frac{ \sqrt{54} }{3}$

解説

中同士、外同士で計算するとおぼえておこう。

(1) $\sqrt2×\sqrt3$

　中身同士を普通に掛ければよい。

　　 $\sqrt2×\sqrt3$

　　　 $=\sqrt{2×3}$

　　　 $=\sqrt6$ 　・・・答

(2) $-\sqrt6×\sqrt{ \frac{7}{3} }$

　　 $=-\sqrt{ 6×\frac{7}{3} }$

　　 $=-\sqrt{14}$ ・・・答

(3) $2\sqrt3 × 3\sqrt5$

　外同士、中同士で掛ける

　　 $2\sqrt3 × 3\sqrt5$

　　　 $=(2×3) \sqrt{3×5}$

　　　 $=6\sqrt{15}$ ・・・答

(4) $\sqrt{98}÷\sqrt7$

　中身同士で割り算する

　　 $\sqrt{98}÷\sqrt7$

　　　 $=\sqrt{98÷7}$

　　　 $=\sqrt{14}$ ・・・答

(5) $\frac{ 2\sqrt{18} }{4\sqrt3}$

　中同士、外同士で約分してよい

　　 $\frac{ 2\sqrt{18} }{4\sqrt3}$

　　　 $=\frac{ \sqrt{6} }{2}$ ・・・答

(6) $\frac{ \sqrt{54} }{3}$

　分母も分子も根号をつけて、ルートの中同士で約分する

　　 $\frac{ \sqrt{54} }{3}$

　　　 $=\frac{ \sqrt{54} }{\sqrt{9} }$

　　　 $=\sqrt{6}$ ・・・答

解答

(1) $\sqrt2×\sqrt3$

　　　 $=\sqrt6$ 　・・・答

(2) $-\sqrt6×\sqrt{ \frac{7}{3} }$

　　　 $=-\sqrt{14}$ ・・・答

(3) $2\sqrt3 × 3\sqrt5$

　　　 $=6\sqrt{15}$ ・・・答

(4) $\sqrt{98}÷\sqrt7$

　　　 $=\sqrt{14}$ ・・・答

(5) $\frac{ 2\sqrt{18} }{4\sqrt3}$

　　　 $=\frac{ \sqrt{6} }{2}$ ・・・答

(6) $\frac{ \sqrt{54} }{3}$

　　　 $=\frac{ \sqrt{54} }{\sqrt{9} }$

　　　 $=\sqrt{6}$ ・・・答

練習問題01　以下の計算をせよ

(1) $\sqrt5 × \sqrt2$ 　(2) $\sqrt3×\sqrt7×\sqrt2$ (3) $\sqrt{15}× \frac{\sqrt2}{\sqrt3}×\sqrt7$ 　

(4) $3\sqrt3×4\sqrt5$ 　(5) $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt3}$ 　(6) $\frac{\sqrt{24}}{2}$

2.平方根の性質②

$a＞0,b＞0$ であるとき　

　 $\sqrt{a^2 b}=a\sqrt b$

　例 $\sqrt{18}=\sqrt{2×3^2}=3\sqrt2$

　　 $\sqrt{72}=\sqrt{2×2^2×3^2}=6\sqrt2$

中身の数を素因数分解して出す方法が一般的。

例題02

　次の数を $a\sqrt b$ の形に直せ。ただしbはできるだけ小さい自然数とする。

　　(1) $\sqrt{18}$ (2) $\sqrt{125}$ (3) $\sqrt{300}$ (4) $\sqrt{588}$

解説

素因数分解を行い、ペアになった数を根号の外、

ペアにならなかった数を根号の中に入れる。

(1)と(3)で詳しく見よう

f:id:keimathchem:20180609080632j:plain

よって

(1) $\sqrt{18}$

　　 $=3\sqrt{2}$ ・・・答

(3) $\sqrt{300}$

　　 $=2×5\sqrt{3}$

　　 $=10\sqrt{3}$ ・・・答

解答

(1) $\sqrt{18}$

　　 $=\sqrt{3^2×2}$

　　 $=3\sqrt{2}$ ・・・答

(2) $\sqrt{125}$

　　 $=\sqrt{5^2×5}$

　　 $=5\sqrt{5}$ ・・・答

(3) $\sqrt{300}$

　　 $=\sqrt{2^2×5^2×3}$

　　 $=2×5\sqrt{3}$

　　 $=10\sqrt{3}$ ・・・答

(4) $\sqrt{588}$

　　 $=\sqrt{2^2×7^2×3}$

　　 $=2×7\sqrt{3}$

　　 $=14\sqrt{3}$ ・・・答

補足　一応確認しておく。

　 $5\sqrt{18}$

　　　 $=5\sqrt{3^2×2}$

　　　 $=5×3\sqrt{2}$

　　　 $=15\sqrt{2}$ ・・・答

　元々ある5と、ルートから出てくる3は掛け算する。

練習問題02

　次の数を $a\sqrt b$ の形に直せ。ただしbはできるだけ小さい自然数とする。

(1) $\sqrt8$ (2) $\sqrt{45}$ (3) $\sqrt{192}$ (4) $\sqrt{320}$ 　(5) $\sqrt{864}$

例題03　次の数を $\sqrt a$ の形になおせ

(1) $3\sqrt3$ (2) $\frac13 \sqrt{63}$ (3) $\frac{2\sqrt{27}}{3}$ (4) $\frac{2\sqrt{55}}{5\sqrt2}$

解説

　例題02の逆をする

　根号の外にある数字は、中に入れるときは二乗して入れる。

(1) $3\sqrt3$

　　 $=\sqrt{3^2×3}$

　　 $=\sqrt{27}$ ・・・答

(2) $\frac13 \sqrt{63}$

　分数も二乗して中にいれ、掛け算する

　 $\frac13 \sqrt{63}$

　　 $=\sqrt{ \frac19 ×63}$

　　 $=\sqrt{7}$ ・・・答

(3) $\frac{2\sqrt{27}}{3}$

　書き方が異なるだけで、(2)と同じ。

　 $\frac{2\sqrt{27}}{3}$

　　 $=\frac{2}{3}\sqrt{27}$

　　 $=\sqrt{ \frac49 ×27}$

　　 $=\sqrt{12}$ ・・・答

(4) $\frac{2\sqrt55}{5\sqrt2}$

　　 $=\frac{\sqrt{4×55} }{ \sqrt{25×2} }$

　約分をして

　　 $=\frac{ \sqrt{22} }{ \sqrt{5} }$

　　 $=\sqrt{ \frac{22}{5} }$ ・・・答

解答

(1) $3\sqrt3$

　　 $=\sqrt{27}$ ・・・答

(2) $\frac13 \sqrt{63}$

　　 $=\sqrt{7}$ ・・・答

(3) $\frac{2\sqrt{27}}{3}$

　　 $=\sqrt{12}$ ・・・答

(4) $\frac{2\sqrt{55}}{5\sqrt2}$

　　 $=\frac{ \sqrt{22} }{ \sqrt{5} }$

　　 $=\sqrt{ \frac{22}{5}}$ ・・・答

練習問題03 次の数を $\sqrt a$ の形になおせ

(1) $5\sqrt2$ (2) $4\sqrt2$ (3) $\frac{1}{2} \sqrt{52}$ (4) $\frac{3\sqrt{20}}{2\sqrt3}$

3.分母の有理化

　分母の有理化＝分母にある根号を、その数の大きさを変えずに外すこと

　例題を見て、やり方を確認しよう。

例題04　次の数の分母を有理化せよ

(1) $\frac{1}{\sqrt5}$ 　(2) $\frac{6}{ \sqrt3 }$ 　(3) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}$ 　(4) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt{45}}$ 　

解説

　分子と分母両方に、分母にあるルートを掛けると有理化できる。

(1) $\frac{1}{\sqrt5}$

　分母は $\sqrt{5}$ なので、分子と分母に $\sqrt{5}$ を掛ける。

　　 $\frac{1}{\sqrt5}$

　　　 $=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt5×\sqrt{5}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ・・・答

(2) $\frac{6}{ \sqrt3 }$

　分母が $\sqrt3$ なので、分子と分母に $\sqrt3$ を掛ける

　　 $\frac{6}{ \sqrt3 }$

　　　 $=\frac{6×\sqrt3}{ \sqrt3×\sqrt3 }$

　　　 $=\frac{6×\sqrt3}{3}$

　　約分できるので

　　　 $=2\sqrt3$ ・・・答

(3) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}$

　ルートの部分だけ見ればよい

　分母に $\sqrt3$ があるので、分子と分母に $\sqrt3$ を掛ける

　　 $\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}$

　　　 $=\frac{\sqrt2×\sqrt3}{2\sqrt3×\sqrt3}$

　　　 $=\frac{\sqrt6}{2×3}$

　　　 $=\frac{\sqrt6}{6}$ ・・・答

(4) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt{45} }$

　次回でも大事になることだが、

　 $a\sqrt b$ の形になおせる場合は、直してから計算したほうがよい。

　　 $\frac{\sqrt2}{2\sqrt{45}}$

　　　 $=\frac{\sqrt2}{6\sqrt{5}}$

　分母に $\sqrt5$ があるので、分子と分母に $\sqrt5$ を掛ける

　　　 $=\frac{\sqrt2×\sqrt{5}}{6\sqrt{5}×\sqrt{5}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{10}}{6×5}$

　　　 $=\frac{\sqrt{10}}{30}$ ・・・答

解答

(1) $\frac{1}{\sqrt5}$

　　　 $=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt5×\sqrt{5}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ・・・答

(2) $\frac{6}{ \sqrt3 }$

　　　 $=\frac{6×\sqrt3}{ \sqrt3×\sqrt3 }$

　　　 $=2\sqrt3$ ・・・答

(3) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}$

　　　 $=\frac{\sqrt2×\sqrt3}{2\sqrt3×\sqrt3}$

　　　 $=\frac{\sqrt6}{6}$ ・・・答

(4) $\frac{\sqrt2}{2\sqrt{45}}$

　　　 $=\frac{\sqrt2}{6\sqrt{5}}$

　　　 $=\frac{\sqrt2×\sqrt{5}}{6\sqrt{5}×\sqrt{5}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{10}}{30}$ ・・・答

練習問題04　次の数の分母を有理化せよ

(1) $\frac{2}{\sqrt7}$ (2) $\frac{2}{\sqrt2}$ (3) $\frac{15}{4\sqrt5}$ (4) $\frac{2\sqrt3}{\sqrt{125}}$

4.解答

練習問題01　

(1) $\sqrt5 × \sqrt2$

　　 $=\sqrt{10}$ ・・・答

(2) $\sqrt3×\sqrt7×\sqrt2$

　　 $=\sqrt{42}$ ・・・答

(3) $\sqrt{15}× \frac{\sqrt2}{\sqrt3}×\sqrt7$ 　

　　 $=\sqrt{70}$ ・・・答

(4) $3\sqrt3×4\sqrt5$

　　 $=12\sqrt{15}$ ・・・答

(5) $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt3}$

　　 $=\sqrt{14}$ ・・・答

(6) $\frac{\sqrt{24}}{2}$

　　 $=\sqrt6$ ・・・答

練習問題02

(1) $\sqrt8$

　　 $=2\sqrt2$ ・・・答

(2) $\sqrt{45}$

　　 $=3\sqrt5$ ・・・答

(3) $\sqrt{192}$

　　 $=8\sqrt3$ ・・・答

(4) $\sqrt{320}$

　　 $=8\sqrt5$ ・・・答

(5) $\sqrt{864}$

　　 $=12\sqrt6$ ・・・答

練習問題03

(1) $5\sqrt2$

　　 $=\sqrt{50}$ ・・・答

(2) $4\sqrt2$

　　 $=\sqrt{32}$ ・・・答

(3) $\frac{1}{2} \sqrt{52}$

　　 $=\sqrt{13}$ ・・・答

(4) $\frac{3\sqrt{20}}{2\sqrt3}$

　　 $=\sqrt{15}$ ・・・答

練習問題04　

(1) $\frac{2}{\sqrt7}$

　　 $=\frac{2×\sqrt7}{\sqrt7×\sqrt7}$

　　 $=\frac{2\sqrt7}{7}$ ・・・答

(2) $\frac{2}{\sqrt2}$

　　 $=\frac{2×\sqrt2}{\sqrt2×\sqrt2}$

　　 $=\frac{2\sqrt2}{2}$

　　 $=\sqrt2$ ・・・答

(3) $\frac{15}{4\sqrt5}$

　　 $=\frac{15×\sqrt5}{4\sqrt5×\sqrt5}$

　　 $=\frac{15\sqrt5}{4×5}$

　　 $=\frac{3\sqrt5}{4}$ ・・・答

(4) $\frac{2\sqrt3}{\sqrt{125}}$

　　 $=\frac{2\sqrt3}{5\sqrt{5}}$

　　 $=\frac{2\sqrt3×\sqrt{5}}{5\sqrt{5}×\sqrt{5}}$

　　 $=\frac{2\sqrt{15}}{25}$ ・・・答

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