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数学の解説と練習問題

2019(H31)年度公立高校入試・正答率が低い難問①

2019年度公立高校解説中3数学解説その他データベース高校入試過去問

今回は、2019年度の公立入試問題の中で、正答率が低かった問題を詳紹介する。

なお、2019年度9月1日現在、正答率が公式に発表され、問題がインタネット上で公開されているもののみ扱う。

marhchem.hatenablog.com

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1.秋田県入試大問5-2 正答率0.0％
1.秋田県入試大問5-1 正答率0.0％
3.栃木県入試大問6 正答率0.2％
4.滋賀県入試大問3 正答率0.2%
5.高知県入試(A) 大問5 正答率0.5%
6.高知県入試(A) 大問6 正答率0.5％

1.秋田県入試大問5-2 正答率0.0％

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解答・解説

(1) 正答率 43.9%

(2) 正答率 2.5%

(3) $x$ 正答率 0.6%

　 $y$ 正答率 0.0%

(1)

　 $x=4$ のとき、P,QはそれぞれAB,AC上にある。

　右図のように△ABCを取り出し、QからABへ垂線QRを引く

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△APQの面積は、底辺AP, 高さQRと考えればよい。

△ARQは∠A=60°の直角三角形だから

　 $QR=4\sqrt3$

よって、△APQの面積は

　 $y=4×4\sqrt3÷2=8\sqrt3$ ・・・答

(2)

　 $10≦x≦15$ のとき、点P,QはそれぞれBF,AD上にある。

　右図のように、正方形ABFDを取り出して考える。

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△APQの面積は、底辺AQ,高さDFと考えればよい。

　A→C→D→Qまでの道のりが $2x$

　A→C→D→Aまでの道のりが $30$

だから

　 $AQ=30-2x$

よって、△APQの面積は

　 $y=(30-2x)×10÷2$

　 $y=150-10x$

$y=24$ のとき

　 $24=150-10x$

　　 $x=\frac{63}{5}$ ・・・答

(3)

　 $15≦x≦20$ のとき、点P,QはそれぞれBF, AB上にある。

「CQ+QMの和が最小になるとき」というのは、

点Cから、線分ABを経由し、点Mまでの最短距離を考えればよい。

最短距離の問題は、対象な点をとって直線で結ぶ方法をよく使う。

今回は、ABについて点Mと対象な点M'をとり、CM'を結べばよい。

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右図で、△AQC∽△BQM'だから

　 $AQ:QB=AC:BM'$

　 $AQ:QB=2:1$

つまりQは、 $AB=10$ を $2:1$ に内分する

よって、 $AQ=\frac{20}{3}$

点QはA→C→D→A→Qと移動するから

　移動距離は $30+\frac{20}{3}$

点Qは毎秒2cmずつ移動するから

　 $x=(30+\frac{20}{3})÷2=\frac{55}{3}$ ・・・答

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△APQの面積は、底辺AQ,高さBPと考えればよい。

点Pは $\frac{55}{3}$ $cm$ 分移動するから

　 $BP=\frac{55}{3}-10=\frac{25}{3}$

よって、△APQの面積は

　 $y=\frac{20}{3}×\frac{25}{3}÷2=\frac{250}{9}$ ・・・答

1.秋田県入試大問5-1 正答率0.0％

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解答・解説

(1) 正答率 54.9%

(2) 正答率 5.5％

(3) $x$ 　正答率0.8％

　 $y$ 　正答率0.0％

(1)

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$x=6$ のとき、点PはAB上にある。

△AFPの面積は、底辺AP、高さBFと考えて

　 $y=6×10÷2=30$ $cm$ ・・・答

(2)

$y$ を $x$ の式で表し、そこに $y=24$ を代入する。

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$10≦x≦20$ のとき、点PはBF上にある。

△AFPの面積は、底辺PF、高さABと考えればよい。

　A→B→Pまでの道のりが $x$

　A→B→Fまでの道のりが $20$

なので、

　 $PF=20-x$

よって、

　 $y=10×(20-x)÷2$

　 $y=100-5x$

$y=24$ より

　 $24=100-5x$

　　 $x=\frac{76}{5}$ ・・・答

(3)

「長さの和が最小＝最短距離の問題」

BP+PMの和が最小になるときは、左図のように、

点Bから、線分FGを経由し点Mまでの最短距離を考えればよい。

このような、空間図形上の最短距離問題は、

右図のように、展開図にするのが定石

f:id:keimathchem:20190907115800p:plain

A→B→F→Pまでの移動距離を求めれば、 $x$ の値がわかる

そのために、 $FP$ や $PG$ の長さを求めたい。

右図で、△MPG∽△MBCだから、

　 $PG:BC=MG:MC$

　 $PG:10=5:15$

　　 $PG=\frac{10}{3}$

よって、点Pの移動距離は

　 $x=30-\frac{10}{3}=\frac{80}{3}$ ・・・答

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△AFPの面積は、底辺PF, 高さAFと考えればよい。

　 $PF=\frac{20}{3}$

　 $AF=10\sqrt{2}$

よって

　 $y=10\sqrt{2}×\frac{20}{3}÷2=\frac{100\sqrt{2}}{3}$ ・・・答

3.栃木県入試大問6 正答率0.2％

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解答・解説

　(1) 正答率 69.8％

　(2) 正答率 43.9％

　(3) 正答率 4.9%

　(4) 正答率 0.2%

円盤に書かれた数字と、円盤の枚数について考える。

　　　 f:id:keimathchem:20190907144831p:plain

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(1)

3と書かれた円盤は $2(m-2)+2(n-2)$ 枚

よって、 $m=4,n=5$ のとき

　 $10$ 枚　・・・答

(2)

　 $m=5,n=6$ のとき

　　2と書かれた円盤　4枚

　　3と書かれた円盤　14枚

　　4と書かれた円盤　12枚

　よって,

　　 $2×4+3×14+4×12=98$ ・・・答

(3)

　 $m=n=x$ のとき、円盤に書かれた数字の合計は

　　 $2×4+3×4(x-2)+4×(x-2)^2$

　　　 $=4x^2-4x$

よって、

　　 $4x^2-4x=440$

　　 $x^2-x-110=0$

　　 $(x-11)(x+10)=0$

　 $x＞3$ より

　　　 $x=11$ ・・・答

(4)

新しい文字 $a,b$ が導入され、その値が問われている。

よって、

　① 長方形の面積

　② 4と書かれた円盤の数

この2つをを $a,b$ で表せられないか考える。

① 長方形の面積

　 $m=a+1$ より、 $a=m-1$ で、

　長方形の縦の長さは、 $2(m-1)$ $cm$

　だから、

　　長方形の縦の長さは $2a$

　同様に、

　　長方形の横の長さは $2b$

　よって、

　　長方形の面積は $4ab$ と表される。

　ゆえに、

　　 $4ab=780$

　　 $ab=195$

　 $a,b$ は3以上の自然数( $b＞a$ )だから

　195の約数を考えることで、 $a,b$ の値がわかる。

　　 f:id:keimathchem:20190907154056p:plain

② 4と書かれた円盤の数

　 $(m-2)(n-2)$

　　 $=(a-1)(b-1)$

　　 $=ab-(a+b)+1$

$ab=195$ だから

　　 $196-(a+b)$

これが最大になるには、 $a+b$ の値が最小になればよい。

そのような $a,b$ の値は①のときの表より

　　 $a=13,b=15$ ・・・答

このときの、円盤に書かれた数字の合計は

　　 $196-(13+15)=168$ ・・・答

4.滋賀県入試大問3 正答率0.2%

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解答・解説

(1) 正答率 15.8%

(2) 角度正答率 29.3%

　選択問題と説明正答率 15.3%

(3) 正答率 0.2%

(1)

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△OBC∽△OADより

$BC:AD=2:3$ なので $OB:OA=2:3$

よって、 $OA;AB=3:1$

③のコップは $AB=16.5$ だから

　 $r=OA=16.5×3=49.5$ ・・・答

(2)

コップ②は9回転で円Oを1周(360°)回る

よって、コップ②は1回転で円Oを

　　 $360÷9=40°$ 回る

よって、 $∠AOS=40°$ ・・・答

回転数を $m$ 、∠AOSの角度を $y$ とすると

同様に考えて

　 $y=\frac{360}{m}$

となる。つまり、 $y$ と $m$ は反比例の関係となり、

$m$ の値を大きくすると、 $y$ の値は小さくなる。

よって、選択肢はイ・・・答

(3)

　円Oの円周÷円Pの円周＝コップの回転数

という関係がある。それぞれを求めていこう

f:id:keimathchem:20190907164222p:plain

(1)と同様に考えると
　 $OA:x＝a:a-b$

　 $OA=\frac{ax}{a-b}$

よって、円Oの円周は

　 $\frac{2πax}{a-b}$

一方で、円Pの円周は

　 $πa$

よって、回転数 $m$ について

　 $m=:\frac{2πax}{a-b}÷πa$

　 $m=\frac{2x}{a-b}$ ・・・答

※ 本問では関係式を聞かれているので、

　 $x=\frac{(a-b)m}{2}$

でも正解になる。

5.高知県入試(A) 大問5 正答率0.5%

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解答・解説

(1) 正答率56.9%

(2) 正答率10.1%

(3) 正答率0.5%

はっきり言ってそんなに難しくない。

計算がややこしかったかもしれないが、工夫すれば楽できる。

(1)

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Aの座標は $(2,4)$

Bの座標はAと対象だから $(-2,4)$

OCはAから $x$ 軸におろした垂線の2倍

つまり、Cの座標は $(0,8)$ ・・・答

(2)

平行四辺形の面積を2等分する直線は

平行四辺形の対角線の交点を通る

ひし形は平行四辺形の1種であるから、

同様のことが言える。

　ひし形の対角線の交点はOCの中点だから

　　 $(0,4)$

　よって、

　　 $(0,4),(3,0)$ を通る直線の式を出せばよい

　よって、

　　 $y=-\frac{4}{3}x+4$ ・・・答

(3)

点Dの座標を求める。

正方形の面積がわかれば、ODの長さがわかる。

ひし形の面積は「対角線×対角線÷2」で出せるから

　 $ひし形OACB=8×4÷2=16$

よって正方形の面積 $x$ は

　 $25:64=x:16$

よって、

　 $x=\frac{16×25}{64}$

正方形の面積は $OD^2$ で求められるから

　 $OD^2=\frac{16×25}{64}$

ADと $x$ 軸の交点をEとする。

△ODEは直角三角形だから、三平方の定理より

　 $DE^2=OD^2-OE^2$

　 $DE^2=\frac{16×25}{64}-4$

　　 $DE=\frac32$

よって、 $D(2,-\frac32)$

これを $y=ax^2$ に代入し $a$ の値を求めて

　 $y=-\frac38$ ・・・答

6.高知県入試(A) 大問6 正答率0.5％

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解答・解説

(1)　正答率5.9% (部分点19.0％)

(2)　正答率0.5%

それほど難しくない。

(1)

　∠ABC=∠DAFをいうのが難しかったのだろう。

　　　∠ACB=∠DAC=90°

　　よって、BC//AD

　　錯角より、∠ABC=∠DAF

　とすると、公式の解答より楽に示せる。

(2)

　(1)より△ABC∽△DAFだから

　　 $BC:AF=AB:DA$

　　 $6:AF=10:8$

　　 $AF=4.8$

　△AED∽BECだから

　　 $AE:BE=8:6=4:3$

　つまり、点EはABを4:3に内分する点

　よって、 $AE=\frac{40}{7}$

　ゆえに、

　　 $FE=AE-AF$ 　

　　 $EF=\frac{40}{7}-4.8=\frac{32}{35}$ ・・・答