因数分解の基本(1)(基)(共通因数・公式)

今回は基本的な因数分解を練習しよう。

　因数分解とは「多項式を、より簡単な多項式や単項式の積で表すこと」である。

ざっくり言うと展開の逆をしていくことになる。

例えば、

　　 $(x+2)(x+4)$ を展開せよ　　　答 $x^2+6x+8$

　　 $x^2+6x+8$ を因数分解せよ　　答 $(x+2)(x+4)$

このように逆を考えていく。

2.共通因数

例題　以下の式を因数分解せよ

(1) $ab+5b$
(2) $9ab-6bc$
(3) $ab^2+a^2 b+ab$

解説

分配法則の逆を考える

　 $a(x+y)=ax+ay$ 　(分配法則)

つまり、これの逆は　

　 $ax+ay=a(x+y)$ 　(因数分解)

といっても、意味がわからない。

一応やり方としては、以下のようになる。

共通因数のくくりかた

　1.各項を掛け算で表す

　2.同じ部分(共通因数)を探す

　3.共通因数を( )の前、残りを( )の中に入れる

具体的に考えてみよう。

(1) $ab+5b$

　まず、全部掛け算にして書いてみよう

　　ab+5b

　　　=a×b+5×b

　 $ab$ にも $5b$ にも, $b$ が入っている。

　この共通因数 $b$ を( )の前につけ、

　( )の中に余り物(青い部分)を入れる

　　ab+5b

　　　=a×b+5×b

　　　=b(a+5)　・・・答

(2) $9ab-6bc$

　 $9ab$ にも $-6bc$ にも, bが入っている。

　でも。 $9ab-6bc=b(9a-6c)$ とするのは誤り

　実は、数字も考えないといけない。

　9は3×3、6は2×3だから、以下のようになる。　

　 9ab－6bc

　　　=3×3×a×b－2×3×b×c

　　　=3b(3a－2c)　・・・答

(3) $ab^2+a^2 b+ab$

　全部の項に $ab$ が入っている。

　　 $ab^2+a^2 b+ab=ab(b+a+1)$ 　・・・答

　+abの項は共通因数でくくると+1になる。(1×a×bと考えている)

解答

(1) $b^2+5b=b(b+5)$ 　・・・答
(2) $9ab-6bc=3b(3a-2c)$ 　・・・答
(3) $ab^2+a^2 b+ab=ab(b+a+1)$ ・・・答

練習問題01

(1) $a^2+6a$
(2) $a^2+a$
(3) $4ab+6b$
(4) $2a+4ab$
(5) $2abc+4ab^2+6a^2 b$
(6) $a^2 b+3ab^2-ab$

3.公式による因数分解

公式

1. $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

2. $x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$

3. $x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$

4. $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$

つまり、展開公式を逆に考えている。

3.1 公式1　 $x^2+(a+b)x+ab$

例題02　以下の式を因数分解せよ
(1) $x^2+5x+6$
(2) $x^2-3x-18$
(3) $x^2+xy-12y^2$
(4) $x^2-4xy+3y^2$

解説

　足して真ん中の項の係数、

　掛けて第三項の係数

になる2数を見つける。

(1) $x^2+5x+6$

　x²+5x+6　

　足して+5　掛けて+6　になる2数を探す

　そのような数は、+2と+3である。

　こうして見つけた数字(+2, +3)を、

　以下のようにxの後ろに付ける

　　x²+5x+6

　　　　＝(x+2)(x+3)　・・・答

(2) $x^2-3x-18$

　x²-3x-18

　足して-3、掛けて-18になる二つの数を探す

　　(-6)+(+3)=-3　　(-6)×(+3)=-18

　よって以下のようになる

　　x²-3x-18＝(x-6)(x+3)　・・・答

解答

(1) $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ 　・・・答
(2) $x^2-3x-18=(x-6)(x+3)$ 　・・・答
(3) $x^2+xy-12y^2=(x-3y)(x+4y)$ 　・・・答
(4) $x^2-4xy+3y^2=(x-y)(x-3y)$ 　・・・答

練習問題02-1　以下の式を因数分解せよ。
(1) $x^2+9x+20$
(2) $x^2-3x-28$
(3) $x^2+2x-15$
(4) $x^2-7x+12$

練習問題02-2　以下の式を因数分解せよ
(1) $x^2+14x+24$
(2) $x^2-10x-56$
(3) $x^2-6x-216$
(4) $x^2-23x+120$

3.2 公式2,3　 $x^2±2ax+a^2$

例題03　以下の式を因数分解せよ

(1) $x^2+10x+25$
(2) $x^2-6xy+9y^2$
(3) $4x^2+12x+9$

解説

前と後ろの数値が、何かの二乗だった場合

この公式が使える可能性がある。

具体的に見てみよう。

(1) $x^2+10x+25$

　 f:id:keimathchem:20190708160857p:plain

　このように、

　　　一番前は x の二乗。

　　　一番うしろが 5 の二乗である。

　になっている。これらの数字を( 　)²に入れる。

　　　x²+10x+25 ＝ (x+5)²　・・・答

　※真ん中の項の $10ｘ$ が「2×前×後ろ」になっているか確認する。

　　違っていた場合、公式1の方法で解いた方がよい。

(2) $x^2-6xy+9y^2$

　真ん中の項がマイナスであることに注意して

　　x²-6xy+9y²

　　　　　　=(x-3y)²　・・・答

(3) $4x^2+12x+9$

　　　4x²+12x+9

　　　　　　＝(2x+3)²　・・・答

補足

　公式1と同様に考えても解ける

　　例　 $x^2+10x+25$ 　←足して10、掛けて25を探す

　　　　　 $=(x+5)(x+5)$ 　←このままだと✕

　　　　　 $=(x+5)^2$

解答

(1) $x^2+10x+25=(x+5)^2$ 　・・・答
(2) $x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2$ 　・・・答
(3) $4x^2+12x+9=(2x+3)^2$ 　・・・答

練習問題03　以下の式を因数分解せよ
(1) $x^2-8x+16$
(2) $x^2+16xy+64y^2$
(3) $4x^2+28x+49$
(4) $9x^2-30xy+25y^2$

3.3 公式4　 $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$

例題04　以下の式を因数分解せよ

(1) $x^2-9$
(2) $81-4x^2$

解説

　真ん中の無いパターンは大体, 公式4でなんとかなる

(1) $x^2-9$

　 f:id:keimathchem:20190708161525p:plain

このように、2乗－2乗になっている場合

以下のようになる。

　　x²- 9 ＝ (x-3)(x+3)　・・・答

解答
(1) $x^2-9=(x-3)(x+3)$ 　・・・答
(2) $81-4x^2=(9-2x)(9+2x)$ 　・・・答

練習問題04

(1) $x^2-64$
(2) $x^2-121$
(3) $-9x^2+49$
(4) $x^2 y^2-1$

4.演習問題

演習問題　以下の式を因数分解せよ
(1) $3x^2-x$
(2) $2xy+6y^2+4y$
(3) $3xy+4xy^2+5x^2 y$
(4) $x^2-4x+4$
(5) $x^2+6xy+8y^2$
(6) $x^2-49$
(7) $x^2+2x-63$
(8) $x^2-x-2$
(9) $x^2+18xy+81y^2$
(10) $25x^2-1$
(11) $x^2-8x+12$
(12) $36-4x^2$
(13) $9x^2-24x+16$

5.解答

練習問題01

(1) $a^2+6a=a(a+6)$ 　・・・答
(2) $a^2+a=a(a+1)$ 　・・・答
(3) $4ab+6b=2b(2a+3)$ 　・・・答
(4) $2a+4ab=2a(1+2b)$ 　・・・答
(5) $2abc+4ab^2+6a^2 b=2ab(c+2b+3a)$ 　・・・答
(6) $a^2 b+3ab^2-ab=ab(a+3b-1)$ 　・・・答

練習問題02-1

(1) $x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$ 　・・・答

(2) $x^2-3x-28=(x+4)(x-7)$ 　・・・答

(3) $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$ 　・・・答

(4) $x^2-7x+12=(x-4)(x-3)$ 　・・・答

練習問題02-2

(1) $x^2+14x+24=(x+2)(x+12)$ 　・・・答

(2) $x^2-10x-56=(x-14)(x+4)$ 　・・・答

(3) $x^2-6x-216=(x-18)(x+12)$ 　・・・答

(4) $x^2-23x+120=(x-15)(x-8)$ 　・・・答

練習問題03
(1) $x^2-8x+16=(x-4)^2$ 　・・・答
(2) $x^2+16xy+64y^2=(x+8y)^2$ 　・・・答
(3) $4x^2+28x+49=(2x+7)^2$ 　・・・答
(4) $9x^2-30xy+25y^2=(3x-5y)^2$ 　・・・答

練習問題04

(1) $x^2-64=(x-8)(x+8)$ 　・・・答
(2) $x^2-121=(x-11)(x+11)$ 　・・・答
(3 $-9x^2+49=(7-3x)(7+3x)$ 　・・・答
(4) $x^2 y^2-1=(xy-1)(xy+1)$ 　・・・答

演習問題

(1) $3x^2-x=x(3x-1)$ 　・・・答
(2) $2xy+6y^2+4y=2y(x+3y+2)$ 　・・・答
(3) $3xy+4xy^2+5x^2 y=xy(3+4y+5x)$ 　・・・答
(4) $x^2-4x+4=(x-2)^2$ 　・・・答
(5) $x^2+6xy+8y^2=(x+2y)(x+4y)$ 　・・・答
(6) $x^2-49=(x-7)(x+7)$ 　・・・答
(7) $x^2+2x-63=(x-7)(x+9)$ 　・・・答
(8) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ 　・・・答
(9) $x^2+18xy+81y^2=(x+9y)^2$ 　・・・答
(10) $25x^2-1=(5x-1)(5x+1)$ 　・・・答
(11) $x^2-8x+12=(x-6)(x-2)$ 　・・・答
(12) $36-4x^2=(6-2x)(6+2x)$ 　・・・答
(13) $9x^2-24x+16=(3x-4)^2$ 　・・・答