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数学の解説と練習問題

2次方程式の解と文章題(1)(代入、解から式を作る、重解)(基～標)

解説中3数学 2次方程式方程式標準問題基礎問題

今回は、2次方程式の解に関わる問題を扱う。

解と係数の関係や、判別式はまた今度くわしくまとめるので、

補足は、基礎～標準レベルなら飛ばしてもよい。

前回　←補題・2元2次連立方程式

次回　→解の問題(2)(文字解、解と係数の関係、式の値、整数問題)(難)

　　

3.2. 2次方程式と解

　　3.2.1 解の問題(1)(代入、解から式を作る、直前の形)(基~標)

　　3.2.2 解の問題(2)(解と係数、文字解、式の値、整数問題)(難)

1.解の代入①
2.解の代入②
3.解の代入③
4.解から式を作る①
5.解から式を作る②
6.補題・判別式
7.演習問題
8.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

今回のメインは

　① 代入による解法

　② 解から式を作る

の2パターンについて見ていく。

1.解の代入①

例題01

(1) $x^2+3x+2=0$ の小さい方の解を $a$ , 大きい方の解を $b$ とする。 $ab^2+a^2b$ の値を求めよ。

(2) $x^2-x-1=0$ の小さい方の解を $a$ とする。 $4a^2-4a+5$ の値を求めよ。

解説

　一方を解いて、他方に代入するだけ。

(1)

$x^2+3x+2=0$ は普通に解けそうなので、

$a$ , $b$ も値をもとめられる。

　 $x^2+3x+2=0$

　　 $(x+2)(x+1)=0$

　　 $x=-2,-1$

よって、 $a=-2$ , $b=-1$

これを代入し

　 $ab^2+a^2 b$

　　 $=-2×(-1)^2+(-2)^2×(-1)$

　　 $=-2+(-4)$

　　 $=-6$ ・・・答

(2)解の公式をつかう

　 $x^2-x-1=0$

　　 $x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$

小さい方の解なので、

　 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

あとはこれを $4a^2-4a+5$ に代入するだけ

解答

(1)

　 $x^2+3x+2=0$

　 $(x+2)(x+1)=0$

　 $x=-2,-1$

よって、

　 $a=-2$ , $b=-1$

ゆえに、

　 $ab^2+a^2 b$

　　 $=-6$ ・・・答

(2)

　 $x^2-x-1=0$

　　 $x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$

よって、

　 $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

これを代入し

　 $4a^2-4a+5$

　　 $=(1-\sqrt{5})^2-2(1-\sqrt5)+5$

　　 $=9$ ・・・答

補足　解と係数の関係(難)

　 $ax^2+bx+c=0$ の解を $x=α, β$ とすると

　　① $α+β=-\frac{b}{a}$

　　② $αβ=\frac{c}{a}$

　が成り立つ。

詳しくは「解の問題(2)(難)」の方でまとめる。

この公式を利用すれば簡単に解ける問題もあるので、

覚えておいた方が得ではある。

(1)　別解

$x^2+3x+2=0$ の解 $a,b$ について

解と係数の関係より、 $a+b=-3$ , $ab=2$

　 $ab^2+a^2b$

　　 $=ab(a+b)$

　　 $=2×(-3)$

　　 $=-6$ ・・・答

補足　代入の利用(難)

(2)　別解

　 $x^2-x-1=0$ の解は $a$ であるから

　　 $a^2-a-1=0$ 　

　が成り立つ。これを利用して値を求める

　　 $a^2-a=1$

　　 $4a^2-4a=4$

　なので、

　　 $4a^2-4a+5$

　　　 $=4+5$

　　　 $=9$ ・・・答

　こちらも、詳しくは解の問題(2)(難)の方でまとめる。

練習問題01

(1) $x^2-x-6=0$ の大きい方の解をa, 小さい方の解をbとする。 $a^2-b^2$ の値を求めよ。

(2) $x^2+3x+2=0$ の小さい方の解をaとする。 $a^2+6a+1$ の値を求めよ。

2.解の代入②

例題02

(1) $x^2+5x-7a=0$ の解の1つが $x=2$ のとき、aの値を求めよ。

(2) $x^2+2(a-1)x+(a+1)(a-3)=0$ の解の1つが、 $x=1$ のとき、aの値と他の解を求めよ、ただし、aは正の数。　

(3) $x^2+ax-32=0$ の解の1つが、 $x=a$ のとき、aの値と他の解を求めよ。

解説

　解が与えられている場合、解を元の方程式に代入してもよい。

　これは、連立方程式や1次方程式と変わらない。

(1) 単純に代入するだけで答えがでる。

(2) 代入して出てくるaについての2次方程式を解く

(3) aの値が複数でてくるので、aの値で場合分けする。

(1) 解を代入する

　 $x^2+5x-7a=0$ に $x=2$ を代入すると

　　 $2^2+5×2-7a=0$

　　 $-7a=-14$

　　 $a=2$ 　・・・答

(2)

　 $x=1$ を代入すると

　　 $1+2(a-1)+(a+1)(a-3)=0$

　　 $a^2=4$

　　 $a=±2$

　問題文に「aは正の数」と書いているので

　　 $a=+2$ 　・・・答

　他の解( $x=1$ 以外の解)も出す。

　 $a=+2$ を代入すると

　　 $x^2+2(a-1)x+(a+1)(a-3)=0$

　　 $x^2+2(2-1)x+(2+1)(2-3)=0$

　　 $x^2+2x-3=0$

　　 $(x-1)(x+3)=0$

　　他の解は $x=-3$ ・・・答

(3)

　解が文字でも代入する。

　 $x=a$ を代入すると

　　 $x^2+ax-32=0$

　　 $a^2+a^2-32=0$

　　 $2a^2=32$

　　 $a^2=16$

　　　 $a=±4$

　aの値が二つあるときは、場合分けする

① $a=4$ のとき

　 $x^2+ax-32=0$

　 $x^2+4x-32=0$

　 $(x-4)(x+8)=0$

　　 $x=4,-8$

$x=a＝4$ 以外の解を聞かれているので

　他の解は $x=-8$

② $a=-4$ のとき

　 $x^2+ax-32=0$

　 $x^2-4x-32=0$

　 $(x+4)(x-8)=0$

　　 $x=-4,8$

$x=a＝-4$ 以外の解を聞かれているので

　他の解は $x=8$

①②より、

　 $a=4$ のとき、他の解 $x=-8$

　 $a=-4$ のとき、他の階 $x=8$ 　・・・答

解答

(1)

$x=2$ を代入し

　 $2^2+5×2-7a=0$

　 $a=2$ 　・・・答

(2)

$x=1$ より、

　 $1+2(a-1)+(a+1)(a-3)=0$

　 $a^2=4$

　 $a=+2$ 　(a>0)　・・・答

これを代入し

　 $x^2+2(a-1)x+(a+1)(a-3)=0$

　 $x^2+2x-3=0$

　 $(x-1)(x+3)=0$

　　他の解は $x=-3$ ・・・答

(3)

$x=a$ を代入し

　 $x^2+ax-32=0$

　 $a^2+a^2-32=0$

　 $a^2=16$

　 $a=±4$

① $a=4$ のとき

　　 $x^2+4x-32=0$

　　 $(x-4)(x+8)=0$

　　 $x=4,-8$ 　　他の解は $x=-8$

② $a=-4$ のとき

　　 $x^2-4x-32=0$

　　 $(x+4)(x-8)=0$

　　 $x=-4,8$ 　他の解は $x=8$

①②より、

　 $a=4$ のとき、他の解 $x=-8$

　 $a=-4$ のとき、他の解 $x=8$ 　・・・答

補足　文字解の利用(難)

(2)　別解

$x^2+2(a-1)x+(a+1)(a-3)=0$

を文字で解いてみる。普通に因数分解すれば

　 $x^2+2(a-1)x+(a+1)(a-3)=0$

　 $(x+a+1)(x+a-3)=0$

　 $x=-a-1$ ,　 $-a+3$

となる。この解の一方が、問題文の $x=1$ と一致するから

　① $-a-1=1$ のとき、 $a=-2$ (不適 aは正の数)

　② $-a+3=1$ のとき。 $a=2$

　　このとき、もう一方の解は $x=-a-1$ なので $x=-3$

以上より、

　 $a=2, x=-3$ ・・・答

補足　解と係数の関係(難)

　(1)(3)は、他の解を $b$ とおくと、解と係数の関係で解ける。

(3) 別解

　もう一方の解を $b$ とすると

　　 $a+b=-a$ ・・・①　　 $ab=-32$ ・・・②

　が成り立つ。

　　①より $b=-2a$

　　②に代入し

　　　 $ab=-32$

　　　 $-2a^2=-32$

　　　 $a=±4$

　(a) $a=+4$ のとき、②に代入すると、 $b=-8$

　 (b) $a=-4$ のとき、②に代入すると、 $b=8$

以上より、

　　 $a=4$ のとき、他の解は $x=-8$

　　 $a=-4$ のとき、他の解は $x=8$ 　・・・答

練習問題02

(1) $x^2+6x+5=0$ の小さい方の解が $x^2+2ax+a-5=0$ の解の1つである。aの値を求めよ。

(2) $x^2+ax-a+3=0$ の解の1つは $x^2-12x+20=0$ の小さい方の解の2倍である。aの値を求めよ。

(3) $x+a=2$ の解が $x^2+(a-1)x-a(2a-1)=0$ の解である。aの値を求めよ。

(4) $x^2+2ax-3a+6=0$ の解の1つが $x=3$ で、他の解が $x^2+3x-b=0$ の解である。a,bの値を求めよ。

3.解の代入③

例題03

(1) $x^2+bx+c=0$ が $x=2,3$ を解にもつ、b,cの値を求めよ、

(2) $x^2+bx+c=0$ を $x^2+cx+b=0$ と間違えると解が $x=1,3$ となった。元の正しい方程式の解を求めよ。

(3) $x^2+kx+12=0$ は2つの正の解をもち、一方の解が他方の2倍であった。kの値とこの方程式の解を求めよ。

解説

「解→代入」だから、1つずつ代入し、2つの式をつくって連立すればよい。

(2)間違えた方の式をつかって、b,cの値を出してから、正しい式を解き直す。

(3)一方の解をaとすると、他方の解は2aとおける。これを代入すればよい。

(1)

$x=2$ 、 $x=3$ をそれぞれ代入する。

$x^2+bx+c=0$ について

　 $x=2$ のとき　 $4+2b+c=0$ ・・・①

　 $x=3$ のとき　 $9+3b+c=0$ ・・・②

①と②を連立すれば、 $a,b$ の値が出せる。

　①－②より　

　　 $-5-b=0$

　　 $b=-5$

　①に代入して

　　 $4-10+c=0$

　　 $c=6$

よって、 $b=-5,c=6$ ・・・答

(2)

間違えた方の式と、解について考える。

(1)と同じく代入すると、

　 $x^2+cx+b=0$ について、

　　 $x=1$ より、 $1+c+b=0$ ・・・①

　　 $x=3$ より、 $9+3c+b=0$ ・・・②

　②－①より　

　　 $8+2c=0$

　　 $c=-4$

　①に代入し $b=3$

これで正しい式がわかる。

正しい方程式は

　 $x^2+3x-4=0$

あとはこの式を解けば正しい答えになる

　 $x=4,-1$ ・・・答

(3)

　一方の解をaとすると、他方の解は2aとおける。

文字であろうが、考え方は同じ。

$x^2+kx+12=0$ に代入すると

　 $x=a$ のとき　 $a^2+ak+12=0$ ・・・①

　 $x=2a$ のとき　 $4a^2+2ak+12=0$ ・・・②

これを連立すればよい。

$ak$ の項が邪魔なので、②－①×2をすると

　 $2a^2-12=0$

　 $a^2=6$

　 $a=\sqrt6$ 　(a>0)

これを①に代入し

　 $6+\sqrt6k+12=0$

　 $\sqrt6k=-18$

　 $k=-\frac{18}{\sqrt6}$

　 $k=-3\sqrt6$ ・・・答

また、この方程式の解はa, 2aだから

　 $x=\sqrt6, 2\sqrt6$ ・・・答

なお、この連立方程式は、二元二次方程式である。

これは、2次方程式の解き方(難)の方でまた詳しく学ぶ

補足　解と係数の関係(難)

(1) 別解

　解と係数の関係より

　　 $-b=2+3$ 　 $c=2×3$ 　

　よって、 $b=-5,c=6$

(2) 別解

　解と係数の関係より

　　 $-c=1+3$ , $b=1×3$

　よって、

　　 $b=3$ , $c=-4$

　つまり、元の式は

　　 $x^2+3x-4=0$

　これを解いて、 $x=4,-1$

(3) 別解

　一つの解をaとおくと、他方の解は2a

　解と係数の関係より、

　　 $a+2a=-k$ ・・・①　　 $a×2a=12$ ・・・②

②を解くことで $a=\sqrt6$ 　(a>0)

これを①に代入し $k=-3\sqrt6$

また、解は　 $x=\sqrt6,2\sqrt6$

練習問題03

(1) $ax^2+x+c=0$ の解が $x=1,3$ のとき,a,cの値を求めよ

(2) $x^2+bx+c=0$ を解くのに、Aくんはbを見間違え $x=-1,-2$ 、Bくんはcを見間違え $x=3,-2$ を解とした。定数b,cの値を求めよ。

(3) $x^2+bx+6=0$ の2つの解の比が $2 : 3$ であった。bの値を求めよ。

4.解から式を作る①

例題04

(1) $x^2+bx+c=0$ の解が $x=2,3$ であるとき、b,cの値を求めよ。

(2) $3x^2+bx+c=0$ の解が $x=-2,5$ であるとき、b,cの値を求めよ。

(3) $x$ についての二次方程式 $x^2-nx+15$ の2解がともに正の整数であった。定数nの値を求めよ

解説

$ax^2+bx+c=0$ を因数分解し

　 $a(x-α)(x-β)=0$ の形にできれば、解は $x=α,β$ である。

逆に、

　解が $x=α,β$ ならば、元の2次方程式は $a(x-α)(x-β)=0$ である

$x^2$ の係数(a)を忘れないように気をつけよう。

(1)

例題03のように代入していいが、別のやり方で解く。

　解が $x=α,β$ ならば、元の2次方程式は、 $a(x-α)(x-β)=0$

　解が $x=2,3$ ならば。元の2次方程式は、 $(x-2)(x-3)=0$

※ $x^2+bx+c=0$ より $a=1$

　 $(x-2)(x-3)=0$ を展開すると、

　　 $x^2-5x+6=0$

　この式と $x^2+bx+c=0$ は同じ方程式のはずなので、

　　 $b=-5, c=6$ ・・・答

(2)

$x^2$ の係数に気をつけよう。

$3x^2+bx+c=0$ より $a=3$ だから、

$x=-2,5$ を解に持つ2次方程式は　 $3(x+2)(x-5)=0$

　これを展開し

　　 $3x^2-9x-30=0$

この式は $3x^2+bx+c=0$ と同じはずなので、

　　 $b=-9,c=-30$ ・・・答

(3)

　(1)(2)とは考え方が少し違うが、ここで説明する。

普通、2次方程式を解くには、因数分解を考えた。　

$x^2-nx+15=0$ も15が出るように因数分解されるとしたら

　　　 $(x-1)(x-15)=0$ 　もしくは　 $(x-3)(x-5)=0$

の形になるしか無い。

あとは、この2つの式を展開し $x^2-nx+15=0$ と比較する。

※もちろん $(x+1)(x+15)=0$ は解が負の数になるので考えなくて良い。

　　

解答

(1)

　 $x=2,3$ が解であるなら

　　 $(x-2)(x-3)=0$

　　 $x^2-5x+6=0$

　この式と $x^2+bx+c=0$ は一致するので

　　 $b=-5, c=6$ ・・・答

(2)

　 $x=-2,5$ が解であるから

　　 $3(x+2)(x-5)=0$

　　 $3x^2-9x-30=0$

　この式は $3x^2+bx+c=0$ と一致するので、

　　 $b=-9,c=-30$ ・・・答

(3)

　　 $(x-1)(x-15)=0$ のとき

　　　 $x^2-16x+15=0$ より、 $n=16$

　　 $(x-3)(x-5)=0$ のとき

　　　 $x^2-8x+1,5=0$ より、 $n=8$

　以上より、 $n=8,16$ ・・答

補足　解と係数の関係

(1)別解

　 $x=2,3$ が解なので、解と係数の関係より

　　 $-b=2+3$ , $c=2×3$

　よって、 $b=-5, c=6$ ・・・答

(2)別解

　 $x=-2,5$ が解なので、解と係数の関係より

　　 $-\frac{b}{3}=-2+5$ ,　 $\frac{c}{3}=-2×5$

　よって、 $b=-9,c=-30$ ・・・答

(3)別解

　解を $x=α,β$ とすると

　　 $αβ=15$

　が成り立つ。α,βは正の整数だから

　　 $α=15、β=1$ 　or　 $α=5、β=3$

　ここで、

　　 $n=α+β$ であるから、それぞれ代入し

　 $n=8,16$ ・・・答

練習問題04

(1) $2x^2+bx+c=0$ の解が $x=1,3$ である。b,cの値を求めよ。

(2) $x^2-3x-10=0$ の解にそれぞれ2を加えた値を解にもつ二次方程式を1つ作れ。

(3) $x^2+nx-6=0$ の2解が整数である。定数nの値を求めよ。

5.解から式を作る②

例題05

(1) $x^2+kx+25=0$ の解がただ一つであるとき。kの値を求めよ。

　　(ただし、 $k＞0$ )

(2) $2x^2+bx+c=0$ の解が $x=3$ だけであるとき、b,cの値を求めよ。

(3) $x^2+(a+1)x+a=0$ の解が重解を持つとき定数aの値を求めよ。

解説

　 $ax^2+bx+c=0$ が $a(x-α)^2=0$ の形に因数分解できれば

　 $x=α$ という、重解(ただ一つの解)をもつ

逆に

　 $x=α$ を重解にもつならば、 $a(x-α)^2=0$ の形に因数分解できる。

これも、 $x^2$ の係数(aの値)をつけ忘れないように気をつけよう。

(1)

　 $x^2+kx+25=0$ について、

　25という数に着目すると,この式は

　　 $(x+5)^2=0$

　という形になるとよい。

　展開すると

　　 $x^2+10x+25=0$

　この式は $x^2+kx+25=0$ と同じはずなので、

　　 $k=10$

※ $(x-5)^2=0$ とすると、 $k＜0$ となり不適

(2)

$x^2$ の係数が2であることに注意

　x=3を重解に持つ二次方程式は　 $2(x-3)^2=0$ に因数分解できる。

展開すると、

　　 $2x^2-12x+18=0$

この式は $2x^2+bx+c=0$ と同じはずなので、

　 $b=-12,c=18$ ・・・答

(3)

以下を、テクニックとして覚えてしまってもいい。

　 $x^2$ の係数が1であるとき、

　　 $(xの係数)^2÷4=定数項$

　が成りたてば、重解をもつ

これを利用すると、

　　 $x^2+(a+1)x+a=0$ が重解を持つには

　　　 $\frac{(a+1)^2}{4}=a$

　　　 $(a+1)^2=4a$

　　　 $a^2-2a+1=0$

　　　 $(a-1)^2=0$

　よって、 $a=1$ ・・・答

補足　 $(xの係数)^2÷4=定数項$

　 $x^2$ の係数が1のとき

　　重解を持つ式は $(x+m)^2=0$ の形になる。

　ということは、元の式は

　　　 $x^2+2mx+m^2=0$ 　

　という形である。

　ここで、xの係数と定数項を比較すると、

　　 $(xの係数)^2÷4=定数項$

　が成り立つ。

解答

(1)

　 $x^2+kx+25=0$ が解を1つだけ持つには

　　 $x^2+10x+25=0$

　となればよい。

　よって、 $k=10$

(2)

　x=3を解に持つ二次方程式は

　　 $2(x-3)^2=0$

　　 $2x^2-12x+18=0$

　よって、 $b=-12,c=18$ ・・・答

(3)

　 $\frac{(a+1)^2}{4}=a$

　 $a^2-2a+1=0$

　 $(a-1)^2=0$

　よって、 $a=1$ ・・・答

補足

(1)も(3)の方法で解ける

(1)別解

　 $x^2+kx+25=0$ が重解をもつなら

　 $(xの係数)^2÷4=定数項$ より、

　　 $\frac{k^2}{4}=25$

　　 $k=±10$

　 $k＞0$ より

　　 $k=10$ ・・・答

補足2　解の予測

(1)　別解

$x^2+kx+25=0$ の定数項が25であるから、

　重解は $x=5$ 　

とわかる。

これを $x^2+kx+25=0$ に代入し

　　 $k=±10$ ・・・答

　 $ax^2+bx+c=0$ の重解は $x=-\frac{b}{2a}$ である。

これを利用して解いてもよい

(1)　別解

　　 $x^+kx+25=0$ の重解は $-\frac{k}{2}$

　これを代入し

　　 $\frac{k^2}{4}-\frac{k^2}{2}+25=0$

　　 $k^2=100$

　　 $k=10$ ( $k＞0$ )・・・答

(2)　別解

　　 $2x^2+bx+c=0$ の重解は $x=-\frac{b}{4}$

　解は $x=3$ だから

　　 $-\frac{b}{4}=3$

　　 $b=-12$ ・・・答

　としてbを出しても良い。

(3)別解

　　 $x^2+(a+1)x+a=0$ の重解は $x=-\frac{a+1}{2}$ である

　これを代入すると

　　 $(-\frac{a+1}{2})^2+(a+1)×(-\frac{a+1}{2})+a=0$

　　 $\frac{(a+1)^2}{4}-\frac{(a+1)^2}{2}+a=0$

　　 $(a+1)^2-2(a+1)^2+4a=0$

　　 $a^2-2a+1=0$

　これを解いて $a=1$

補足　文字解

(3)別解

　 $x^2+(a+1)x+a=0$

　 $(x+1)(x+a)=0$

この式の解は $x=-1,-a$

重解を持つには、この解が一致する必要があるので

　 $-a=-1$

よって、 $a=1$

練習問題05

(1) $x^2+6x+k=0$ が重解を持つとき定数kの値を求めよ。

(2) $3x^2+bx+c=0$ が $x=2$ をただひとつの解として持つとき定数b,cの値を求めよ。

(3) $x^2-(k-2)x-3k-2=0$ が重解をもつような定数kの値を求めよ

6.補題・判別式

例題06

(1) $x^2+kx+25=0$ の解がただ一つであるとき。kの値を求めよ。

　(ただし、 $k＞0$ とする。)

(2) $x^2-2x+a=0$ が2つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求めよ。

解説

(1)は例題05と同じ問題だが、以下のような考え方がある。

(1)

　 $x^2+kx+25=0$ を解の公式を使って解くと

　　 $x=\frac{-k±\sqrt{k^2-100} }{2}$

　解が1つになるには、±√　の部分が0だったらよい。

　　 $k^2-100=0$

　　 $k=10$ ( $k＞0$ )・・・答

　この内容を発展させると、以下のことがわかる。

　判別式

　　 $ax^2+bx+c=0$ の解は

　　　　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

　　解の個数は公式の±√　の部分が決めている。

　　だから、ルートの中身 $b^2-4ac$ を調べれば解の個数がわかる

　　　　　 $b^2-4ac＞0$ なら解の個数は2個

　　　　　 $b^2-4ac=0$ なら解の個数は1個(重解)

　　　　　 $b^2-4ac＜0$ なら実数解をもたない。

　　　　

(2)

$x^2-2x+a=0$ が、2つの実数解をもつなら

　 $(-2)^2-4×1×a＞0$

　 $4-4a＞0$

　 $a＜1$ ・・・答

7.演習問題

以下の問いに答えよ

(1) $x^2-4ax+a^2=0$ が $x=1$ を解にもつ。aを求めよ　

(2) $x^2-3x-4=0$ の大きい方の解が、 $x^2+ax+2a-1=0$ の解である。aの値を求めよ。

(3) $\frac12=\frac{a+3}{3}-\frac{2x-1}{6}$ の解が $x^2-4a=5x$ の解である。aの値を求めよ。　

(4) $x^2-8x+a=0$ の解の1つが $x=2$ 　他の解が $x^2+2bx-4b+4=0$ の解である。a,bの値を求めよ。

(5) $ax^2+bx+1=0$ の解が, $x=\frac12, \frac13$ のとき、a,bの値を求めよ

(6) 解が $x=2,5$ である2次方程式を1つ作れ

(7) $x^2+ax+b=0$ を解くとき、A君はxの係数を間違えて $x=-3,2$ と答え、B君は定数項を間違えて $x=-1,2$ と答えた。正しい解を求めよ。　

(8) $x^2+kx+36=0$ が2つの正の整数解をもつとき、定数kの値を求めよ。

(9) $x^2-kx+1=0$ の解がただ一つであるとき。定数kの値を求めよ。

(10) $2x^2+bx+c=0$ の解が $x=1$ だけのとき定数b,cの値を求めよ

(11) $x^2+kx+k=0$ が重解をもつとき定数kの値を求めよ。

(12) 3つの2次方程式

　　 $ax^2+bx+c=0$ ・・・①

　　 $bx^2+cx+a=0$ ・・・②

　　 $cx^2+ax+b=0$ ・・・③

について、①は $x=1$ 、②は $x=2$ を解にもつとき、③の解をすべて求めよ

＜出典:(1)豊島岡女子(3)帝塚山(4)清教学園(7)市川(12)洛南＞

8.解答

練習問題・解答

　※補足の解法は使わない

練習問題01

(1)

　 $x^2-x-6=0$

　 $(x-3)(x+2)=0$

よって、 $a=3,b=-2$

代入して

　 $a^2-b^2=9-4=5$ ・・・答

(2)

　 $(x+1)(x+2)=0$

よって　 $a=-2$

代入して、 $a^2+6a+1=4-12+1=7$ ・・・答

練習問題02

(1)

　 $x^2+6x+5=0$

　 $(x+1)(x+5)=0$

小さい方の解は $x=-5$

これを代入し

　 $x^2+2ax+a-5=0$

　 $25-10a+a-5=0$

　 $a=\frac{20}{9}$ ・・・答

(2)

　 $x^2-12x+20=0$

　 $(x-10)(x-2)=0$

小さい方の解は $x=2$

これを二倍して代入すると

　 $x^2+ax-a+3=0$

　 $16+4a-a+3=0$

　 $a=-\frac{19}{3}$ ・・・答

(3)

　 $x+a=2$ より $x=2-a$

これを代入し

　 $x^2+(a-1)x-a(2a-1)=0$

　 $(2-a)^2+(a-1)(2-a)-a(2a-1)=0$

　 $-2a^2+2=0$

　 $a=±1$ ・・・答

(4)

$x=3$ を代入し

　 $x^2+2ax-3a+6=0$

　 $9+6a-3a+6=0$

　 $a=-5$

つまり、元の方程式を解くと

　 $x^2+2ax-3a+6=0$

　 $x^2-10x+21=0$

　 $(x-7)(x-3)=0$

よって、他の解は $x=7$

これを代入し

　 $x^2+3x-b=0$

　 $49+21-b=0$

　 $b=70$

以上より、 $a=-5,b=70$ ・・・答

練習問題03

(1)

$x=1,3$ をそれぞれ代入すると

　 $a+1+c=0$

　 $9a+3+c=0$

これらを連立すると

　 $a=-\frac14, c=-\frac34$ ・・・答

(2)

A君はbをmと間違えたとする

$x=-1,-2$ をそれぞれ代入し

　　 $x^2+mx+c=0$

　　　 $1-m+c=0$ 2-2m+2c=0

　　　 $4-2m+c=0$

　これらを連立して $c=2$

B君はcをnと間違えたとする

$x=3,-2$ をそれぞれ代入し

　　 $x^2+bx+n=0$

　　　 $9+3b+n=0$

　　　 $4-2b+n=0$

　これらを連立し $b=-1$

以上より、 $b=-1,c=2$ ・・・答

※ちなみに、元の方程式は $x^2-x+2=0$ である。

　この方程式に実数解はない。

(3)

解の比が $2 : 5$ であるから、 $x=2a,3a$ とおける

それぞれを代入し

　 $4a^2+2ab+6=0$ ・・・①

　 $9a^2+3ab+6=0$ ・・・②

①×3－②×2より

　 $-6a^2+6=0$

　 $a=±1$

これを①に代入し、 $b=±5$ ・・・答

　

練習問題04

(1)

解が $x=1,3$ だから、

　 $2(x-1)(x-3)=0$

　 $2x^2-8x+6=0$

この式と $2x^2+bx+c=0$ は一致するので

　 $b=-8,c=6$ ・・・答

(2)

　 $(x-5)(x+2)=0$

　 $x=5,-2$

よって、 $x=7,0$ を解にもつ二次方程式を作ればよい

$x^2$ の係数が1のものを作ると　

　 $x(x-7)=0$

　 $x^2-7x=0$ ・・・答

(3)

　 $(x-1)(x+6)=0$ 　 $(x+1)(x-6)=0$

　 $(x-2)(x+3)=0$ 　 $(x+2)(x-3)=0$

の4パターンある。それぞれの場合についてnを求めると

　 $n=±5,±1$ ・・・答

練習問題05

(1)

　 $(x+3)^2=0$ となればいいので、 $k=9$ ・・・答

(2)

$x=2$ が唯一の解となる方程式は

　 $3(x-2)^2=0$

　 $3x^2-12x+12=0$

これと $3x^2+bx+c=0$ は一致するので

　 $b=-12,c=12$ ・・・答

(3)

　 $(xの係数)^2÷4=定数項$ より

　　 $\frac{(k-2)^2}{4}=-3k-2$

　　 $(k-2)^2=-12k-8$

　　 $k^2-4k+4=-12k-8$

　　 $k^2+8k+12=0$

　　 $(k+2)(k+6)=0$

　　 $k=-2,-6$ ・・・答

演習問題・解答

(1)

$x=1$ を代入し

　 $x^2-4ax+a^2=0$

　 $2-4a+a^2=0$

　 $a^2-4a+2=0$

解の公式より

　 $a=\frac{-4±2\sqrt{2}}{2}$

　 $a=-2±\sqrt2$ ・・・答

(2)

　 $x^2-3x-4=0$

　 $(x-4)(x+1)=0$

大きい方の解は $x=4$

これを代入し　

　 $x^2+ax+2a-1=0$

　 $16+4a+2a-1=0$

　 $6a=-15$

　 $a=-\frac53$ ・・・答

(3)

　 $\frac12=\frac{a+3}{3}-\frac{2x-1}{6}$

　 $3=2(a+3)-(2x-1)$

　 $x=a+2$

これを代入し

　 $x^2-4a=5x$

　 $(a+2)^2-4a=5(a+2)$

　 $a^2-5a-6=0$

　 $(a-6)(a+1)=0$

　 $a=6,-1$ ・・・答　

(4)

　 $x=2$ を代入し

　 $x^2-8x+a=0$

　 $4-16+a=0$

　 $a=12$

よって、元の式は

　 $x^2-8a+12=0$

　 $(x-2)(x-6)=0$

よって他の解は $x=6$

これを代入し

　 $x^2+2bx-4b+4=0$

　 $36+12b-4b+4=0$

　 $b=-5$

以上より、 $a=12$ 、 $b=-5$ ・・・答

(5)

解が, $x=\frac12, \frac13$ であるから、元の2次方程式は

　 $(2x-1)(3x-1)=0$

　 $6x^2-5x+1=0$

これと $ax^2+bx+1=0$ は一致するので

　 $a=6,b=-5$ ・・・答

※代入して連立してもよい。

(6)

$x^2$ の係数が1とすると、解が $x=2,5$ である2次方程式は

　 $(x-2)(x-5)=0$

　 $x^2-7x+10=0$ ・・・答

※ $x^2+bx+c=0$ として代入し、連立してもよい

(7)

A君はxの係数を $m$ と間違えたとすると

$x^2+mx+b=0$ の解が $x=-3,2$ だから、それぞれ代入し

　 $9-3m+b=0$

　 $4+2m+b=0$

これらを連立し、 $b=-6$

B君は定数項を $n$ と間違えたとすると、

$x^2+ax+n=0$ の解が $x=-1,2$ だから、それぞれ代入し

　 $1-a+n=0$

　 $4+2a+n=0$

これらを連立し。 $a=-1$

よって正しい式は、

　 $x^2-x-6=0$

　 $(x-3)(x+2)=0$

よって正しい解は $x=3,-2$ ・・・答　

(8)

$x^2+kx+36=0$ が2つの正の整数解をもつのは

　 $(x-36)(x-1)=0$ 　のとき $k=-37$

　 $(x-18)(x-2)=0$ 　のとき $k=-20$

　 $(x-12)(x-3)=0$ 　のとき $k=-15$

　 $(x-9)(x-4)=0$ 　のとき $k=-13$

　 $(x-6)^2=0$ 　のとき $k=-12$

以上より、 $k=-12,-13,-15,-20,-37$ ・・・答

(9)

　 $(x±1)^2=0$ ]になればよいので、

　 $k=±2$ ・・・答

(10)

　 $2(x-1)^2=0$ になればよいので、

　 $b=-4$ 。 $c=2$ ・・・答

(11)

$(xの係数)^2÷4=定数項$ より

　 $\frac{k^2}{4}=k$

　 $k^2-4k=0$

　 $k(k-4)=0$

　 $k=0,4$ ・・・答

(12)

①に $x=-1$ を代入し

　 $a+b+c=0$

②に $x=2$ を代入し

　 $4b+2c+a=0$

この二つを連立しa,bをcで表すと

　 $a=-\frac23 c$ , $b=-\frac13c$

これを③に代入し

　 $cx^2-\frac23 cx-\frac13 c=0$

全体をcで割って、3倍すると

　 $3x^2-2x-1=0$

これを解いて

　 $x=1,-\frac13$ ・・・答

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