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数学の解説と練習問題

少し複雑な展開問題(計算・分数)(標)

解説中3数学展開標準問題式の計算

今回は標準レベル(公立高校レベル)向けの少し複雑な問題を扱う。

前回→展開公式と練習問題(基)

次回→展開の工夫と練習問題 (標)

関連記事

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開(標)(計算・分数)

1.1.3.展開の工夫(1)(標)(置き換え・マイナスでくくる)

1.1.4.展開の工夫(2)(難)(順番の工夫・因数分解の利用)

1.内部に分数がある場合
2.複雑な展開
3.分数の関わる複雑な展開
演習問題
解答

1.内部に分数がある場合

例題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x-\frac12)(x-\frac13)$

(2) $(\frac x2+\frac32)^2$

(3) $(\frac x3-\frac4y)(\frac x3+\frac4y)$

解説

分数がついていようが、展開公式の通り計算する。

解答

(1) $(x-\frac12)(x-\frac13)$

$=x^2+(-\frac12-\frac13))x+\frac12 × \frac13$

$=x^2+(-\frac36-\frac26)x+\frac16$

$=x^2-\frac56 x+\frac16$ 　・・・答

(2) $(\frac x2+\frac32)^2$

$=\frac{x^2}{4}+2×\frac x2 × \frac32+(\frac32)^2$

$=\frac{x^2}{4}+-\frac{3}{2} x+\frac94$ 　・・・答

(3) $(\frac x3-\frac4y)(\frac x3+\frac4y)$

$=(\frac x3)^2-(\frac4y)^2$

$=\frac {x^2}9-\frac{16}{y^2}$ 　・・・答

練習問題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x-\frac32)(x+\frac34)$

(2) $(x-\frac12)(x+\frac25)$

(3) $(\frac12 x-\frac34)(\frac12 x-\frac32)$

(4) $(x+\frac12)^2$

(5) $(\frac 32 x-\frac14)^2$

(6) $(x+\frac1x)^2$

(7) $(2x-\frac25)(2x+\frac25)$

2.複雑な展開

例題02　以下の式を計算せよ

(1) $3(x-2)(x+6)$

(2) $(x-3)(x+5)-(x-4)(x+2)$

(3) $2(x-2)^2+3(2x-1)(2x+3)$

解説

計算の順番に注意

　1.( )( )を展開処理。

　2.分配法則を用いる。

(1) $3(x-2)(x+6)$

　1.展開公式を先に計算する。

　この時、カッコを残したままにする。

　　 $3(x-2)(x+6)$

　　　　 $=3(x^2+4x-12)$

　2.分配法則を用いる。

　　　　 $=3(x^2+4x-12)$

　　　　 $=3x^2+12x-36$

(2) $(x-3)(x+5)-(x-4)(x+2)$

　1.展開公式を先に計算する。

　　 $(x-3)(x+5)-(x-4)(x+2)$

　　　　 $=(x^2+2x-15)-(x^2-2x-8)$

　2.カッコをとる。(－1を分配法則で処理)

　　　　 $=(x^2+2x-15)-(x^2-2x-8)$

　　　　 $=x^2+2x-15-x^2+2x+8$

　後は普通に計算すればよい。

(3) $2(x-2)^2+3(2x-1)(2x+3)$

　1.展開公式を先に計算する。

　　 $2(x-2)^2+3(2x-1)(2x+3)$

　　　　 $=2(x^2-4x+4)+3(4x^2+4x-3)$

　2.分配法則を用いる。

　　　　 $=2(x^2-4x+4)+3(4x^2+4x-3)$

　　　　 $=2x^2-8x+8+12x^2+12x-9$

　後は普通に計算すればよい。

　

解答

(1) $3(x-2)(x+6)$

　　 $=3(x^2+4x-12)$

　　 $=3x^2+12x-36$ 　・・・答

(2) $(x-3)(x+5)-(x-4)(x+2)$

　　 $=(x^2+2x-15)-(x^2-2x-8)$

　　 $=x^2+2x-15-x^2+2x+8$

　　 $=4x-7$ 　・・・答

(3) $2(x-2)^2+3(2x-1)(2x+3)$

　　 $=2(x^2-4x+4)+3(4x^2+4x-3)$

　　 $=2x^2-8x+8+12x^2+12x-9$

　　 $=14x^2+4x-1$ 　・・・答

練習問題02　以下の式を計算せよ

(1) $(x+4)(x+3)-(x-2)(x+2)$

(2) $(x+3)^2+(x-3)(x+5)$

(3) $(3-x)(3+x)-(x+2)^2$

(4) $2(x-4)(x+4)+3(x-1)^2$

(5) $3(x-1)(x+1)-4(x+3)(x-4)$

3.分数の関わる複雑な展開

例題03　以下の式を計算せよ

(1) $\frac{(x-2)(x-3)}{2}-\frac{(x-3)(x+3)}{3}$

(2) $\frac{2(x+1)(x+2)}{4}-(x+1)^2$

解説

もちろん通分を行う。

中2で習った多項式の分数計算を思い出そう。

(1) $\frac{(x-2)(x-3)}{2}-\frac{(x-3)(x+3)}{3}$

　1.通分する。

　　 $\frac{(x-2)(x-3)}{2}-\frac{(x-3)(x+3)}{3}$

　　　　　 $=\frac{3(x-2)(x-3)}{6}-\frac{2(x-3)(x+3)}{6}$

2.先ほどと同じく、( )( )を処理してから分配

　　　　　 $=\frac{3(x^2-5x+6)}{6}-\frac{2(x^2-9)}{6}$

　　　　　 $=\frac{(3x^2-15x+18)}{6}-\frac{(2x^2-18)}{6}$

　後は普通に計算すればよい

解答

(1) $\frac{(x-2)(x-3)}{2}-\frac{(x-3)(x+3)}{3}$

　　　 $=\frac{3(x-2)(x-3)}{6}-\frac{2(x-3)(x+3)}{6}$ 　　　

　　　 $=\frac{3(x^2-5x+6)}{6}-\frac{2(x^2-9)}{6}$

　　　 $=\frac{(3x^2-15x+18)}{6}-\frac{(2x^2-18)}{6}$

　　　 $=\frac{(3x^2-15x+18)-(2x^2-18)}{6}$

　　　 $=\frac{3x^2-15x+18-2x^2+18}{6}$ 　

　　　 $=\frac{x^2-15x+36}{6}$ 　・・・答

(2) $\frac{2(x+1)(x+2)}{4}-(x+1)^2$

　　　 $=\frac{2(x+1)(x+2)}{4}-\frac{4(x+1)^2}{4}$

　　　 $=\frac{2(x^2+3x+2}{4}-\frac{4(x^2+2x+1)}{4}$

　　　 $=\frac{(2x^2+6x+4)}{4}-\frac{(4x^2+8x+4)}{4}$

　　　 $=\frac{(2x^2+6x+4)-(4x^2+8x+4)}{4}$

　　　 $=\frac{2x^2+6x+4-4x^2-8x-4)}{4}$

　　　 $=\frac{-2x^2-2x}{4}$

　　　 $=\frac{-x^2-x}{2}$ ( $-\frac{x^2+x}{2}$ )・・・答

( $\frac{-2x^2-x}{2}$ や $\frac{-x^2-2x}{2}$ は約分ミス)

練習問題03　以下の式を計算せよ。

(1) $\frac{(x+5)(x-4)}{4}-\frac{(x-1)(x+1)}{2}$

(2) $\frac{(x-2)^5}{5}-\frac{(x+1)^2}{3}$

(3) $\frac{(x-3)(x+3)}{2}+(x+2)^2$

(4) $\frac{(x-3)(x-5)}{3}-2(x+2)(x-3)$

演習問題

演習問題　以下の式を計算せよ

(1) $(x-\frac23)(x+\frac52)$

(2) $(\frac x3+\frac13)^2$

(3) $(x-6)(x+8)-(x-7)(x+9)$

(4) $2(x-1)^2+3(x-3)(x+3)$

(5) $2(x-\frac12)^2-4(x-\frac12)(x+\frac12)$

(6) $(x-1)^2-(x+5)(x-5)+2(x+3)(x+4)$

(7) $\frac{(x-4)(x+6)}{3}-\frac{(x-2)(x-1)}{2}$

(8) $\frac{3(x-4)(x+2)}{4}-(x+2)(x-2)$

解答

練習問題01　

(1) $(x-\frac32)(x+\frac34)$

　　　　 $=x^2-\frac34 x-\frac98$ 　・・・答

(2) $(x-\frac12)(x+\frac25)$

　　　　 $=x^2-\frac{1}{10}x-\frac15$ 　・・・答

(3) $(\frac12 x-\frac34)(\frac12 x-\frac32)$

　　　　 $=\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{8}x+\frac98$ 　・・・答

(4) $(x+\frac12)^2$

　　　　 $=x^2+x+\frac14$ 　・・・答

(5) $(\frac 32 x-\frac14)^2$

　　　　 $=\frac{9}{4}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{16}$ 　・・・答

(6) $(x+\frac1x)^2$

　　　　 $=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ 　・・・答

(7) $(2x-\frac25)(2x+\frac25)$

　　　　 $=4x^2-\frac{4}{25}$ 　・・・答

練習問題02　

(1) $(x+4)(x+3)-(x-2)(x+2)$

　　　　 $=(x^2+7x+12)-(x^2-4)$

　　　　 $=x^2+7x+12-x^2+4$

　　　　 $=7x+16$ 　・・・答

(2) $(x+3)^2+(x-3)(x+5)$

　　　　 $=(x^2+6x+9)+(x^2+2x-15)$

　　　　 $=2x^2+8x-6$ 　・・・答

(3) $(3-x)(3+x)-(x+2)^2$

　　　　 $=(9-x^2)-(x^2+4x+4)$

　　　　 $=9-x^2-x^2-4x-4$

　　　　 $=-2x^2-4x+5$ 　・・・答

(4) $2(x-4)(x+4)+3(x-1)^2$

　　　　 $=2(x^2-16)+3(x^2-2x+1)$

　　　　 $=2x^2-32+3x^2-6x+3$

　　　　 $=5x^2-6x-29$ 　・・・答

(5) $3(x-1)(x+1)-4(x+3)(x-4)$

　　　　 $=3(x^2-1)-4(x^2-x-12)$

　　　　 $=3x^2-3-4x^2+4x+48$

　　　　 $=-x^2+4x+45$ 　・・・答

練習問題03

(1) $\frac{(x+5)(x-4)}{4}-\frac{(x-1)(x+1)}{2}$

　　　　 $=\frac{(x+5)(x-4)-2(x-1)(x+1)}{4}$

　　　　 $=\frac{(x^2+x-20)-2(x^2-1)}{4}$ 　　　　　　　　　　　　

　　　　 $=\frac{x^2+x-20-2x^2+2}{4}$

　　　　 $=\frac{-x^2+x-18}{4}$ 　・・・答

(2) $\frac{(x-2)^2}{5}-\frac{(x+1)^2}{3}$

　　　　 $=\frac{3(x-2)^2-5(x+1)^2}{15}$

　　　　 $=\frac{3(x^2-4x+4)-5(x^2+2x+1}{15}$

　　　　 $=\frac{3x^2-12x+12-5x^2-10x-5}{15}$

　　　　 $=\frac{-2x^2-22x+7}{15}$ 　・・・答

(3) $\frac{(x-3)(x+3)}{2}+(x+2)^2$

　　　　 $=\frac{(x-3)(x+3)+2(x+2)^2}{2}$

　　　　 $=\frac{x^2-9+2x^2+8x+8}{2}$

　　　　 $=\frac{3x^2+8x-1}{2}$ 　・・・答

(4) $\frac{(x-3)(x-5)}{3}-2(x+2)(x-3)$

　　　　 $=\frac{(x-3)(x-5)-6(x+2)(x-3)}{3}$

　　　　 $=\frac{x^2-8x+15-6x^2+6x+36}{3}$

　　　　 $=\frac{-5x^2-2x+51}{3}$ 　・・・答

演習問題　

(1) $(x-\frac23)(x+\frac52)$

　　　　 $=x^2-\frac{11}{6}x+\frac53$ 　・・・答

(2) $(\frac x3+\frac13)^2$

　　　　 $=\frac {x^2}{9}+\frac{2x}{9}+\frac19$ 　・・・答

(3) $(x-6)(x+8)-(x-7)(x+9)$

　　　　 $=x^2+2x-48-x^2-2x+63$

　　　　 $=15$ 　・・・答

(4) $2(x-1)^2+3(x-3)(x+3)$

　　　　 $=2x^2-4x+2+3x^2-27$

　　　　 $=5x^2-4x-25$ 　・・・答

(5) $2(x-\frac12)^2-4(x-\frac12)(x+\frac12)$

　　　　 $=2x^2-2x+\frac12-4x^2+1$

　　　　 $=-2x^2-2x+\frac32$ 　・・・答

(6) $(x-1)^2-(x+5)(x-5)+2(x+3)(x+4)$

　　　　 $=x^2-2x+1-x^2+25+2x^2+14x+24$

　　　　 $=2x^2+12x+50$ 　・・・答

(7) $\frac{(x-4)(x+6)}{3}-\frac{(x-2)(x-1)}{2}$

　　　　 $=\frac{2(x-4)(x+6)-3(x-2)(x-1)}{6}$

　　　　 $=\frac{2x^2+4x-48-3x^2+9x-6}{6}$

　　　　 $=\frac{-x^2+13x-54}{6}$ 　・・・答

(8) $\frac{3(x-4)(x+2)}{4}-(x+2)(x-2)$

　　　　 $=\frac{3(x-4)(x+2)-4(x+2)(x-2)}{4}$

　　　　 $=\frac{3x^2-6x-24-4x^2+16}{4}$

　　　　 $=\frac{-x^2-6x-8}{4}$ 　・・・答

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式と練習問題(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開と練習問題(標)

1.1.3.展開の工夫と練習問題(1)(標)

1.1.4.展開の工夫と練習問題(2)(難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本と練習問題(基)

1.2.2 因数分解の基本と練習問題(2)(標)

1.2.3 因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫と練習問題(2)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

1.3展開と因数分解の利用

　　1.3.1 式の利用と練習問題(基)

　　1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

　　1.3.3 式の利用と練習問題(難)