ページコンテンツ

数学の解説と練習問題

展開の工夫と(2)(難)(順番の工夫・因数分解の利用)

解説中3数学展開発展問題式の計算

今回は難関レベルの展開の典型的なパターンを見ていこう。

なお、高校生以上の場合、今回紹介する問題は基礎問題なので、確実にできるようにした方がよい。

←前回　展開の工夫と練習問題(1)(標)

→次回　因数分解の基本と練習問題(基)

関連記事

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開(標)(計算・分数)

1.1.3.展開の工夫(1)(標)(置き換え・マイナスでくくる)

1.1.4.展開の工夫(2)(難)(順番の工夫・因数分解の利用)

1.順番を工夫する問題(1)
2.順番を工夫する問題(2)
3.因数分解を利用する問題
演習
解答

1.順番を工夫する問題(1)

例題01

(1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

(2) $(x-y)^2 (x+y)^2$

解説

展開していく順番を工夫する。

(1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

　公式で展開できるように、順番を入れ替える

　　 $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

　　　 $=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$

　　　 $=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$

　　　 $=(x^2)^2-(y^2)^2$

　　　 $=x^4-y^4$ 　・・・答

(2) $(x-y)^2 (x+y)^2$

　 $(x-y)$ と $(x+y)$ が2個ずつある。

　よって、以下のようにする

　　 $(x-y)^2 (x+y)^2$

　　　 $=(x-y)(x+y) × (x-y)(x+y)$ 　

　　　 $=(x^2-y^2)^2$

　あとは普通に展開する。

解答

(1) $(x+y)(x^2+y^2)(x-y)$

　　 $=(x+y)(x-y)(x^2+y^2)$

　　 $=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$

　　 $=x^4-y^4$ 　・・・答

(2) $(x-y)^2 (x+y)^2$

　　 $=( (x-y)(x+y) )^2$ 　

　　 $=(x^2-y^2)^2$

　　 $=x^4-2x^2 y^2+y^4$ 　・・・答

練習01 以下の式を展開せよ

(1) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$

(2) $(x-3)^2(x+3)^2$

2.順番を工夫する問題(2)

例題02　以下の式を展開せよ

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(2) $x(x+1)(x-2)(x-3)$

解説

これも順番を考える。

このタイプの問題は、和が同じになるペアをつくる

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

　　　 $=(x+1)(x+4)×(x+2)(x+3)$ (和が5になるペア)

　　　 $=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$ 　(これで同じ部分ができた)

　　 $A=x^2+5x$ とおく

　　　 $=(A+4)(A+6)$

　　　 $=A^2+10A+24$

　あとはAを元に戻す。

(2) $x(x+1)(x-2)(x-3)$

　一番前のxはx+0と考えて、和が同じペアをつくる

　　 $x(x+1)(x-2)(x-3)$

　　　 $=x(x-2)×(x+1)(x-3)$ 　(和が-2になるペア)

　　　 $=(x^2-2x)(x^2-2x-3)$

　 $A=x^2-2x$ とおく

　　　 $=A(A-3)$

　あとは展開してAを元に戻す

解答

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

　　 $=(x+1)(x+4)×(x+2)(x+3)$

　　 $=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$ 　

$A=x^2+5x$ とおく

　　 $=(A+4)(A+6)$

　　 $=A^2+10A+24$

　　 $=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24$

　　 $=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24$

　　 $=x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ 　・・・答

(2) $x(x+1)(x-2)(x-3)$

　　 $=x(x-2)×(x+1)(x-3)$ 　

　　 $=(x^2-2x)(x^2-2x-3)$

$A=x^2-2x$ とおく

　　 $=A(A-3)$

　　 $=A^2-3A$

　　 $=(x^2-2x)^2-3(x^2-2x)$

　　 $=x^4-4x^3+4x^2-3x^2+6x$

　　 $x^4-4x^3+x^2+6x$ 　・・・答

練習02　以下の式を展開せよ

(1) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

(2) $x(x-1)(x+2)(x+3)$

3.因数分解を利用する問題

例題03　以下の計算をせよ

(1) $(x+2y)^2+(x+2y)(x-3y)+(x+2y)(x+3y)$

(2) $(x-1)^2+2(x-1)(x+3)+(x+3)^2$

解説

普通は、因数分解を学習してから挑戦する内容だが、ここで紹介しておく。

一通り因数分解をやってから戻ってこよう。　→因数分解

(1) $(x+2y)^2+(x+2y)(x-3y)+(x+2y)(x+3y)$

　すべての項に(x+2y)があるので、共通因数としてくくりだそう

　　　 $(x+2y)^2+(x+2y)(x-3y)+(x+2y)(x+3y)$

　　　　 $=(x+2y)( (x+2y+(x-3y)+(x+3y) )$

　後ろのカッコ内部を計算し

　　　　 $=(x+2y)(3x+2y)$

　　　　 $=3x^2+2xy+6xy+6y^2$

　　　　 $=3x^2+8xy+6y^2$ 　・・・答

(2) $(x-1)^2+2(x-1)(x+3)+(x+3)^2$

　 $A=x-1, B=x+3$ とおくと、わかりやすい

　　　 $(x-1)^2+2(x-1)(x+3)+(x+3)^2$

　　　　 $=A^2+2AB+B^2$ 　　(因数分解できる形)

　　　　 $=(A+B)^2$

　　　　 $=(x-1+x+3)^2$

　　　　 $=(2x+2)^2$

　　　　 $=4x^2+8x+4$ 　・・・答

　慣れれば、A, Bを置かずにできる。

　下の解答では、置き換えなしで解いている

解答

(1) $(x+2y)^2+(x+2y)(x-3y)+(x+2y)(x+3y)$

　　　 $=(x+2y)( (x+2y+(x-3y)+(x+3y) )$

　　　 $=(x+2y)(3x+2y)$

　　　 $=3x^2+8xy+6y^2$ 　・・・答

(2) $(x-1)^2+2(x-1)(x+3)+(x+3)^2$

　　　 $=( (x-1)+(x+3) )^2$

　　　 $=(2x+2)^2$

　　　 $=4x^2+8x+4$ 　・・・答

練習03

(1) $(x+1)(x+2)-(x+1)(x-2)+(x-1)(x+2)-(x-1)(x-2)$

(2) $(x+3)^2-5(x+3)+6$

(3) $9(x-2)^2-(5x+8)^2$

演習

演習問題　以下の計算をせよ。

(1) $(x+3)^2(x-3)^2$

(2) $(x+2)(x+4)(x-4)(x-6)$

(3) $(x+5)^2-(x-3)(x+5)+(x-2)(x+5)$

(4) $(x+2y)(x+5y)(x-2y)(x-5y)$

(5) $(x+3)^2-16(x-3)^2$

(6) $(x+3)^2-(x-2)(x+3)+2(x-4)$

解答

練習01

(1) $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$

　　　 $=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$

　　　 $=(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)$

　　　 $=(x^4-1)(x^4+1)$

　　　 $=x^8-1$ 　・・・答

(2) $(x-3)^2(x+3)^2$

　　　 $=( (x-3)(x+3) )^2$

　　　 $=(x^2-9)^2$

　　　 $=x^4-18x^2+81$ 　・・・答

練習02　

(1) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

　　　 $=(x-1)(x-3)×(x+2)(x-6)$

　　　 $=(x^2-4x+3)(x^2-4x-12)$

　 $A=x^2-4x$ とおく　　　

　　　 $=(A+3)(A-12)$

　　　 $=A^2-9A-36$

　　　 $=(x^2-4x)^2-9(x^2-4x)-36$

　　　 $=x^4-8x^3+7x^2+36x-36$ 　・・・答

(2) $x(x-1)(x+2)(x+3)$

　　　 $=x(x+2)×(x-1)(x+3)$

　　　 $=(x^2+2x)(x^2+2x-3)$

　 $A=x^2+2x$ とおく

　　　 $=A(A-3)$

　　　 $=A^2-3A$

　　　 $=(x^2+2x)^2-3(x^2+2x)$

　　　 $=x^4+4x^3+x^2-6x$ 　・・・答

練習03

(1) $(x+1)(x+2)-(x+1)(x-2)+(x-1)(x+2)-(x-1)(x-2)$

　　　 $(x+1)(x+2-(x-2) )+(x-1)(x+2 -(x-2) )$

　　　 $=4(x+1)+4(x-1)$

　　　 $=8x$ 　・・・答

(2) $(x+3)^2-5(x+3)+6$

　　　 $=( (x+3)-2 )( (x+3)-3 )$

　　　 $=x(x+1)$

　　　 $=x^2+x$ 　・・・答

(3) $9(x-2)^2-(5x+8)^2$

　　　 $=( 3(x-2)-(5x+8) )( 3(x-2)+(5x+8) )$

　　　 $=(-2x-14)(8x+2)$

　　　 $=-16x^2-116x-28$ 　・・・答

演習

(1) $(x+3)^2(x-3)^2$

　　　 $=( (x+3)(x-3) )^2$

　　　 $=(x^2-9)^2$

　　　 $=x^4-18x^2+81$ 　・・・答

(2) $(x+2)(x+4)(x-4)(x-6)$

　　　 $=(x+2)(x-4)(x+4)(x-6)$

　　　 $=(x^2-2x-8)(x^2-2x-24)$

　　　 $=(x^2-2x)^2-32(x^2-2x)+192$

　　　 $=x^4-4x^3-28x^2-64x+192$ 　・・・答

(3) $(x+5)^2-(x-3)(x+5)+(x-2)(x+5)$

　　　 $(x+5)( (x+5)-(x-3)+(x-2) )$

　　　 $(x+5)(x+6)$

　　　 $x^2+11x+30$ 　・・・答

(4) $(x+2y)(x+5y)(x-2y)(x-5y)$

　　　 $=(x+2y)(x-2y)(x+5y)(x-5y)$

　　　 $=(x^2-4y^2)(x^2-25y^2)$

　　　 $=x^4-29x^2 y^2+100y^4$ 　・・・答

(5) $(x+3)^2-16(x-3)^2$

　　　 $=( (x+3)-4(x-3) )( (x+3)+4(x+3) )$

　　　 $=-15(x-5)(x+3)$

　　　 $=-15x^2+30x+225$ 　・・・答

　　　　※ $(-3x+15)(5x+15)$ からそのまま展開しても良い

(6) $(x+3)^2-(x-2)(x+3)+2(x-4)$

　　　 $=( (x+3)-2)( (x+3)-(x-4) )$

　　　 $=7(x+1)$

　　　 $=7x+7$ ・・・答

　　　　※思いつくのが難しいなら、そのまま展開しても良い

関連記事

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式と練習問題(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開と練習問題(標)

1.1.3.展開の工夫と練習問題(1)(標)

1.1.4.展開の工夫と練習問題(2)(難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本と練習問題(基)

1.2.2 因数分解の基本と練習問題(2)(標)

1.2.3 因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫と練習問題(2)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

1.3展開と因数分解の利用

　　1.3.1 式の利用と練習問題(基)

　　1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

　　1.3.3 式の利用と練習問題(難)