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数学の解説と練習問題

平方根の利用(1) (整数・自然数になるようなn) (標~難)

中3数学解説平方根標準問題発展問題整数問題数と式

今回は平方根の利用問題を見ていく。

特に詰まりやすいところなので、ゆっくりとやっていこう。

前回←平方根の計算(標～難)

次回→平方根の利用(2)整数部分小数部分(標~難)

2.4 平方根の利用

　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　2.4.4 平方根の補充問題(難)

1.ルートが整数になるようなnの値①
2. ルートが整数になるようなnの値②
3.整数になるようなnの値③(難)
4.演習問題
5.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

今回学ぶタイプの問題には以下の3パターンの解き方がある。

　①1つずつチェックしていく。

　②素因数分解して、ペアを作る

　③ $\sqrt{　}=m$ とおく

それぞれ見ていこう。

1.ルートが整数になるようなnの値①

例題01

(1) $\sqrt{50-n}$ が自然数となる自然数nすべてもとめよ

(2) $\sqrt{32-n}$ が整数となる自然数nすべてもとめよ　

(3) $\sqrt{91-5n}$ が整数となる自然数nの個数を求めよ　

(4) $\sqrt{175-25n}$ が整数となるような自然数nをすべて求めよ

＜出典: (3)桐光学園 (4)西大和＞

解説

ルートの中が二乗の数0, 1, 4, 9,・・(平方数という)ならばルートを外せる。

一つずつ当てはめて検討していけばよい。整数と自然数の違いに気をつけよう。

(1)

　 $\sqrt{50-n}$ の中身, $50-n$ が平方数ならよい

　小さい順に検討する

　　 $50-n=1$ のとき、 $n=49$

　　 $50-n=4$ のとき、 $n=46$

　　 $50-n=9$ のとき、 $n=41$

　　 $50-n=16$ のとき、 $n=34$

　　 $50-n=25$ のとき、 $n=25$

　　 $50-n=36$ のとき、 $n=14$

　　 $50-n=49$ のとき、 $n=1$

これ以上はnがマイナスになるので検討しなくてよい。

以上より、 $n=1, 14,25,34,41,46,49$ ・・・答

(2)

問題文に気をつけよう。

　 (1)は $\sqrt{50-n}$ が自然数となる

　(2)は $\sqrt{32-n}$ が整数となる

という違いがある。

中高の数学では自然数は0を含まず、整数は0を含む

だから(1)は $50-n=1$ から検討したが、

今回は、 $32-n=0$ から検討を始める必要がある。

　　 $32-n=0$ のとき、 $n=32$

　　 $32-n=1$ のとき、 $n=31$

　　 $32-n=4$ のとき、 $n=28$

　　 $32-n=9$ のとき、 $n=23$

　　 $32-n=16$ のとき、 $n=16$

　　 $32-n=25$ のとき、 $n=7$

以上より、

　 $n=7,16,23,28,31,32$ ・・・答

(3)

　これも一つずつ検討していけばいい。

　　 $91-5n=0$ 　nが分数になるので✕

　　 $91-5n=1$ 　のとき、 $n=18$

　　　　　・

　　　　　・

　　 $91-5n=81$ 　のとき、 $n=2$

これで求められたnの数を数えればよい。

※楽にするには

　91－(平方数)が5の倍数にならなければ、nは分数になる

　5の倍数となるのは、1の位が1か6になる平方数(1,16,36,81)のとき

　これだけチェックすればよい。　

　しかも、nの具体的な値は聞かれていないので、

　検討しなくとも、4個と即答できる。

　ただ、慣れるまでは全部試して構わない

補足

(3)nに0, 1, 2, 3・・・と代入し

平方数がでるか確認していってもよい。

　　 $n=0$ のとき、 $91-5n=91$ 　✕

　　 $n=1$ のとき、 $91-5n=86$ 　✕

　　 $n=2$ のとき、 $91-5n=81$ 　◯

　　　　　・

　　　　　・

　　 $n=18$ のとき、 $91-5n=1$ 　◯

こちらでは、 $n=18$ まで検討する必要があって面倒。

(4) $\sqrt{175-25n}$

　 $175-25n=0$

　 $175-25n=1$

と順番に計算していくのは面倒。

今回は25でくくって、5をルートの外に出せるので

　　 $=5\sqrt{7-n}$

として、7-nが平方数になる場合を検討すると圧倒的に早く解ける。

※25nが比較的すぐに大きな値になるから、(3)の補足のように、くくらずにn=0, 1, 2・・・と代入していっても、そんなに大変ではない。

解答

(1)

　　 $50-n=1$ のとき、 $n=49$

　　 $50-n=4$ のとき、 $n=46$

　　 $50-n=9$ のとき、 $n=41$

　　 $50-n=16$ のとき、 $n=34$

　　 $50-n=25$ のとき、 $n=25$

　　 $50-n=36$ のとき、 $n=14$

　　 $50-n=49$ のとき、 $n=1$

以上より、 $n=1, 14,25,34,41,46,49$ ・・・答

(2)

　　 $32-n=0$ のとき、 $n=32$

　　 $32-n=1$ のとき、 $n=31$

　　 $32-n=4$ のとき、 $n=28$

　　 $32-n=9$ のとき、 $n=23$

　　 $32-n=16$ のとき、 $n=16$

　　 $32-n=25$ のとき、 $n=7$

以上より、

　 $n=7,16,23,28,31,32$ ・・・答

(3)

　 $91-5n=1$ 　のとき、 $n=18$

　 $91-5n=16$ 　のとき、 $n=15$

　 $91-5n=36$ 　のとき、 $n=11$

　 $91-5n=81$ 　のとき、 $n=2$

以上より4個・・・答

(4)

　 $\sqrt{175-25n}$

　　 $=5\sqrt{7-n}$

　 $7-n=0$ のとき、 $n=7$

　 $7-n=1$ のとき、 $n=6$

　 $7-n=4$ のとき、 $n=3$

以上より、 $n=3, 6, 7$ ・・・答

練習問題01

(1) $\sqrt{48-n}$ が自然数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

(2) $\sqrt{26-n}$ が整数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

(3) $\sqrt{80-4n}$ が整数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

(4) $\sqrt{120-4n}$ が自然数となるような自然数nの値をすべて求めよ。

＜出典:(4) 帝塚山＞

2. ルートが整数になるようなnの値②

例題02-1

(1) $\sqrt{54n}$ が整数となる自然数nのうち最も小さい値を求めよ。　

(2) $\sqrt{12n}$ が整数となる自然数nのうち小さい順に3つ求めよ　

(3) $\sqrt{725ab}$ が最小の整数となるように自然数a, bを定める。a,bの組をすべて求めよ。

解説

今回の問題は、nに自然数を入れたとき、ルートが取れればいい。

では、どんな時にルートが取れるか？

例えば、

　① $\sqrt{36}$ は $\sqrt{36}=6$ となりルートが取れる。

　② $\sqrt{18}$ は $\sqrt{18}=3\sqrt2$ となりルートが取れない

中身を素因数分解してどう違うか見よう。

f:id:keimathchem:20180704162241p:plain

つまり、すべての素因数にペアが存在すればルートを外せる。

だから、

「ルートの中を素因数分解し、すべての素因数にペアが出来るようにnを調節する」

とよい。

(1) $\sqrt{54n}$

　とりあえず素因数分解して、ペアを調べると

　　 f:id:keimathchem:20180704162855p:plain

2と3にペアがない。

$\sqrt{54n}$ が整数になるには、

nが彼ら(2と3)のペアになってあげる必要がある

よって、

　 $n=2×3=6$ ・・・答

確認してみよう。

f:id:keimathchem:20180704163941p:plain

このように $n=2×3$ を入れてみると、ちゃんと全部ペアになってる。

補足

今回は「最小のn」を求める問題であるから,

解説の通り, $n=6$ でよい。

じゃあ、それ以外の $n$ の値は何か?

例えば $n$ の値が

　 $n=2×3×1^2=6$ ,　　　

　 $n=2×3×2^2=24$

　 $n=2×3×3^2=54$

　　　　︙

だとしても、ルートの中の素因数が全でペアを作れ,

$\sqrt{54n}$ は整数となる。

つまり、 $\sqrt{54n}$ が整数となる自然数nは

平方数 $k^2$ を使って

　 $n=2×3×k^2$ (kは自然数)

と, 表すことができる。

$k^2=1$ のときが、最小の自然数nである。

これを確認する問題が次の(2)の問題である。

(2) $\sqrt{12n}$

中身を素因数分解すると

　 $\sqrt{2×2×3×n}$

nが3とペアになればいいので、

　 $n=3k^2$ とおける。

小さい順に

　 $k=1$ のとき　 $n=3$

　 $k=2$ のとき　 $n=3×2^2$

　 $k=3$ のとき　 $n=3×3^2$

よって、 $n=3, 12, 27$ ・・・答

(3) $\sqrt{725ab}$

中身を素因数分解すると。

　 $=\sqrt{5×5×29×ab}$

$ab=29$ であればすべての素因数にペアが出来る。

よって

　 $a=1, b=29$ と $a=29, b=1$ ・・・答

解答

(1) $\sqrt{54n}=\sqrt{2×3×3^2×n}$

　よって、 $n=6$ ・・・答

(2) $\sqrt{12n}=\sqrt{2×2×3×n}$

　よって、 $n=3, 12, 27$ ・・・答

(3) $\sqrt{725ab}=\sqrt{5×5×29×ab}$

　よって、 $ab=29$

　このようになるa,bの組は

　 $a=1, b=29$ と $a=29, b=1$ ・・・答

例題02-2

(1) $\sqrt{\frac{72n}{5}}$ が自然数となるような整数nのうち最も小さい値を求めよ。

(2) $\frac{\sqrt{3n}}{2}$ の値が自然数となるような2桁の整数nをすべて求めよ。

(3) $\sqrt{\frac{180}{n}}$ が自然数となるような整数nをすべて求めよ。

解説

考え方は同じ

ルートの中身の素因数が全てペアになるように、nを調節する。

約分の要素が入っているパターン

(1) $\sqrt{\frac{72n}{5}}$

とりあえず素因数分解すると

　 $=\sqrt{ \frac{2×2×2×3×3×n}{5} }$

2が一つ余ってペアになっていない。

よって、nは2とペアになる必要がある。

また、分母の5を約分で消さなけれなならないので、nは5の倍数である

以上より、 $n=2×5=10$ ・・・答

確認してみよう。

f:id:keimathchem:20180704172048p:plain

このように分母の5が約分で消えて、

ルートの中身が全部ペアになっている。

(2) $\frac{\sqrt{3n}}{2}$

すべてルートの中に入れて考えよう。

　 $=\sqrt{\frac{3n}{4}}$

nは3とペアになり、分母4を約分出来る数である。

今回は最小の値だけ聞かれているわけではないので、

例題02-1(2)のように考えると、

　 $n=3×4＝12$ ◯

　 $n=3×4×2^2=48$ ◯

　 $n=3×4×3^2=108$ 3桁になる✕

ゆえに、 $n=12, 48$ ・・・答

(3) $\sqrt{\frac{180}{n}}$

　同じく中身を素因数分解して

　　 $=\sqrt{\frac{2×2×3×3×5}{n}}$

5がペアになっていない。

この5をnが約分で消せればよいので

　 $n=5$

これで、2と3のペアだけをルートの中に残せる。

これだけが答えではない。

　 $n=2^2×5=20$ 　ルートの中に3のペアだけ残る

　 $n=3^2×5=45$ 　ルートの中に2のペアだけ残る

　 $n=2^2×3^2×5=180$ 　 $\sqrt1=1$ となる

これらも解答である。

解答

(1) $\sqrt{\frac{72n}{5}}$

　　 $=\sqrt{\frac{2×2×2×3×3×n}{5}}$

よって、 $n=2×5=10$ ・・・答

(2) $\frac{\sqrt{3n}}{2}$

　　 $=\sqrt{\frac{3n}{4}}$

よって、 $n=12, 48$ ・・・答

(3) $\sqrt{\frac{180}{n}}$

　　 $=\sqrt{\frac{2×2×3×3×5}{n}}$

これが自然数となるのは

　 $n=5$

　 $n=2^2×5=20$

　 $n=3^2×5=45$

　 $n=2^2×3^2×5=180$

以上より、 $n=5,20,45,180$ ・・・答

練習問題02

(1) $\sqrt{75n}$ が整数となる自然数nのうち最小の値を求めよ。

　また,そのときの $\sqrt{75n}$ の値を求めよ。

(2) $\sqrt{20n}$ が整数となる自然数nのうち小さい順に3つ求めよ。

(3) $\sqrt{ \frac{54n}{5} }$ が整数となるような最も小さい自然数nの値を求めよ。

(4) $\sqrt{\frac{540}{n}}$ が整数となる自然数nは何個あるか。

(5) k,nは自然数とする。 $\sqrt{28k}=n$ を満たすkの最小値を求めよ。

(6) $m=1×2×・・・×10$ とする。kを自然数とし、 $\sqrt{ \frac{m}{k} }$ が自然数となるとき、 $\sqrt{ \frac{m}{k} }$ の最大値を求めよ。

＜出典: (4)明治大付属中野と帝塚山高 (6)明治大付属明治＞

3.整数になるようなnの値③(難)

例題03-1(難)

(1) $\sqrt{189(85-a)}$ が自然数となる自然数aを求めよ。　

(2) $\sqrt{476-7a}$ が整数となる正の整数aは何個あるか・

(3) $\sqrt{\frac{84-3a}{2}}$ が自然数となるような自然数aをすべて求めよ。　

＜出典:(2)西武学園文理(3)青雲＞

解説

　例題1(3)と違い、共通因数でくくれるが、ルートの外に出せない。

　この場合、例題02の考え方を使う。

　つまり、素因数のペアを作る。

(1)

$85-a=N$ とおくと分かりやすい

　 $\sqrt{189(85-a)}$

　　 $= \sqrt{189N}$

これは例題02と同じように解ける。

　　 $=\sqrt{3×3×3×7×N}$

3と7にペアがいないので、Nは3と7の積を含み、

最小のNとは言われていないので、

　 $N=3×7×k^2$

とおける。(kは自然数)

$k$ の値が小さい順に

　 $k=1$ のとき、 $N=3×7×1^2$ 　

　　このとき、 $a=64$ 　　

　 $k=2$ のとき、 $N=3×7×2^2$ 　

　　このとき、 $a=1$

　aが自然数でなくなるので $k=3$ 以降は考えなくて良い。

よって、 $a=1, 64$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{476-7a}$

　　 $=\sqrt{7(68-a)}$

あとは $68-a=N$ とおいて

　　 $=\sqrt{7N}$

素因数分解するまでもなく、

7のペアが必要なので

　 $N=7$ 　よって、 $a=61$

　 $N=7×2^2$ 　よって、 $a=40$

　 $N=7×3^2$ 　よって、 $a=5$

　これ以上はaが正の整数でなくなるので考えない。

ここで終わってはいけない。

「 $\sqrt{476-7a}$ が整数となる・・・」

と問題文に書いているから

　 $N=0$ 　よって、 $a=68$

これも答えになる。

以上より、 $a=5,40,61,68$ ・・・答

(3) $\sqrt{\frac{84-3a}{2}}$

　　 $=\sqrt{\frac{3(28-a)}{2}}$

　 $28-a=N$ とすると

　　 $=\sqrt{\frac{3N}{2}}$

　素因数分解するまでもなく。

　Nは3とペアになり、2を約分で消せる

　　 $N=2×3$ 　よって、 $a=22$

　　 $N=2×3×2^2$ 　よって、 $a=4$

　以上より、 $a=4,22$ ・・・答

例題03-2(難)

　 $\sqrt{2^2×5×7×n}$ が整数となるような有理数nのうち、最も1に近いnの値を求めよ。

解説

　素因数のペアを作る方法では解けない

ペアを作って考えてきた例題2、例題3において、nは自然数or整数だった。

つまり、例題2、例題3ではnが分数である場合を考えていない。

今回、nは有理数なので

例えば、 $n=\frac57$ でも、 $\sqrt{2^2×5×7×n}$ を整数にできる。

この問題では、

　 $\sqrt{2^2×5×7×n}$ が整数であることを利用する。

　すなわち、mを整数(m≧0)として

　　　 $\sqrt{2^2×5×7×n}=m$

　とおけることを利用する。

　※ルートの値はマイナスにならないので、m≧0である。

　※また、 $\sqrt{　}$ が3の倍数となると言われたら

　　 $\sqrt{　}= 3m$ とおいてやるとよい

解答

　mを整数(m≧0)とすると

　　 $\sqrt{2^2×5×7×n}=m$

　とおける。

　両辺を二乗し

　　 $2^2×5×7×n=m^2$

　　 $n=\frac{m^2}{2^2×5×7}$

　　 $n=\frac{m^2}{140}$

　mは整数(m≧0)なので、m=0,1,2,3・・と順々に代入していき

　nを求めて、その中で1に一番ちかくなる物を探す。

　※今回は、「nは1に近い」とあるので

　　 $m^2$ が140付近の数値を調べるだけでよい。

　　　 $m=11$ のとき、 $n=\frac{121}{140}$

　　　 $m=12$ のとき、 $n=\frac{144}{140}$

　　　 $m=13$ のとき、 $n=\frac{169}{140}$

よって、 $m=12$ のとき、nが最も1に近くなる

以上より、 $n=\frac{144}{140}＝\frac{36}{35}$ ・・・答

　　

例題03-3(難)

(1) $a^2-b^2=15$ を満たす自然数a,bの値を求めよ。

(2) $\sqrt{n^2+29}$ が整数となるような自然数nの値を求めよ。

＜出典:(2)東邦大付属＞

解説

　詳しい話をすると、整数問題の分野の話になるので、

　今回は(2)を解くのに必要な知識のみ見ていく。

　詳しい話は後日どこかでまとめる。

　整数問題の解法の1つに

　　(　　)(　　)=　　　の形に変形する

　という物がある。

(1)

　 $a^2-b^2=15$

　 $(a-b)(a+b)=15$

　 $=A×B=15$

15を自然数の積にすると、

　1×15　もしくは　3×5

つまり、A=1、B=15というように出来る。

a,bは自然数なので

　　A　　　B

　a-b=1 a+b=15 　a=8,b=7

　a-b=15 a+b=1 　a=8,b=-7　✕

　a-b=3 a+b=5 　a=4,b=1

　a-b=5 a+b=3 　a=4,b=-1　✕

以上より　 $(a,b)=(8,7),(4,1)$ ・・・答

※-1×-15のようなマイナス同士の積や、✕と書いてあるところは、

　a,bを実際に出さなくも不適だとわかる(a+b>a-b, a+b>0)

ただ、慣れるまでは全部出しても良いかもしれない。

(2)

　 $\sqrt{n^2+29}$ は整数となるので

　mを整数(m≧0)として

　　 $\sqrt{n^2+29}=m$

　とおける

　両辺を二乗し

　　 $n^2+29=m^2$

　　 $m^2-n^2=29$

これで、(1)の解き方が使える。

　　 $(m-n)(m+n)=29$

　よって

　　m-n=1, m+n=29　m=15, n=14

　　m-n=29, m+n=1　✕

　以上より、 $n=14$ ・・・答

解答

(1)

　 $a^2-b^2=15$

　 $(a-b)(a+b)=15$

a,bは自然数で、a+b>a-bなので

　a-b=1 a+b=15 より、a=8,b=7

　a-b=3 a+b=5 より、a=4,b=1

以上より　 $(a,b)=(8,7),(4,1)$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{n^2+29}=m$ とおく ( mは整数(m≧0) )

両辺を二乗し

　 $n^2+29=m^2$

　 $m^2-n^2=29$

　 $(m-n)(m+n)=29$

m,nは自然数で、m+n＞m-nなので、

　m-n=1, m+n=29　

よって、m=15, n=14

以上より、 $n=14$ ・・・答

練習問題03

(1) $\sqrt{54(32-n)}$ が自然数となるような自然数nの値を求めよ。

(2) $\sqrt{160-20n}$ が整数となるような自然数nの値を求めよ。

(3) $\sqrt{108-9n}$ が整数となる自然数nの値を求めよ。

(4) $\sqrt{ \frac{75-15n}{2} }$ が自然数となる自然数nの値を求めよ。

(5) $\sqrt{n^2-48}$ が整数となるような自然数nの値を求めよ。

＜出典:(3)立教新座 (5)弘学館＞

4.演習問題

演習問題01

(1) $\sqrt{38-n}$ が整数となるような自然数nを求めよ。

(2) $\sqrt{41-5n}$ が自然数となるような自然数nを求めよ。

(3) $\sqrt{84-4n}$ が整数となるような自然数nを求めよ。

(4) $\sqrt{378n}$ が整数となるような最小の自然数nの値を求めよ。

(5) $\sqrt{28n}$ が整数となるような自然数nを求めよ。ただし $100≧n≧20$ とする。

(6) $\sqrt{\frac{32n}{7}}$ が整数となるような自然数nを小さい順に3つ求めよ。

(7) $m=\sqrt{ \frac{108}{n}}$ を満たす自然数m,nの組を求めよ。

(8) $x=3-\sqrt5$ のとき、 $\sqrt{x^2-6(x-n)+5}$ が自然数となるような最小の自然数nを求めよ。

＜出典:(4)法政大高 (8)中央大杉並＞

演習問題02(難)

(1) $\sqrt{37-n^2}$ が整数となる自然数nを求めよ。

(2) $\sqrt{n^2-15}$ が整数となるような自然数nを求めよ。

(3) $\sqrt{n^2+2n+49}$ が整数となる自然数nを求めよ。

(4) $\sqrt{378-35n}$ が整数となるような自然数nの値を求めよ。

(5) $\sqrt{\frac{215-15n}{2n}}$ が整数となるような自然数nを求めよ。

(6) 正の整数nは4の倍数で、7で割ると2余る。 $\sqrt{576-n}$ が正の整数となるようなnの値を求めよ。

＜出典:(3)大阪星光 (7)ラ・サール＞

5.解答

練習問題・解答

練習問題01

(1)

　 $48-n=1$ のとき $n=47$

　 $48-n=4$ のとき $n=44$

　 $48-n=9$ のとき $n=39$

　 $48-n=16$ のとき $n=32$

　 $48-n=25$ のとき $n=23$

　 $48-n=36$ のとき $n=12$

以上より、 $n=12,23,32,39,44,47$ ・・・答

(2)

　 $26-n=0$ のとき $n=26$

　 $26-n=1$ のとき $n=25$

　 $26-n=4$ のとき $n=22$

　 $26-n=9$ のとき $n=17$

　 $26-n=16$ のとき $n=12$

　 $26-n=25$ のとき $n=1$

以上より、 $n=1,12,17,22,26$ ・・・答

(3)

偶数の平方数だけ調べればよい

　 $80-4n=0$ のとき $n=20$

　 $80-4n=4$ のとき $n=19$

　 $80-4n=16$ のとき [terx:16]

　 $80-4n=36$ のとき [terx:11]

　 $80-4n=64$ のとき [terx:4]

以上より、 $n=4,11,16,19,20$ ・・・答

(4)

　 $2\sqrt{30-n}$

よって、

　 $30-n=1$ のとき $n=29$

　 $30-n=4$ のとき $n=26$

　 $30-n=9$ のとき $n=21$

　 $30-n=16$ のとき $n=14$

　 $30-n=25$ のとき $n=5$

以上より、 $n=5,14,21,26,29$ ・・・答

練習問題02

(1)

　 $\sqrt{75n}=\sqrt{5×5×3×n}$

よって、 $n=3$ ・・・答

このとき、

　 $\sqrt{75n}$

　　 $=\sqrt{5^2×3^2}$

　　 $=5×3$

　　 $=15$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{2^2×5×n}$

よって、

　 $n=5$

　 $n=5×2^2=20$

　 $n=5×3^2=45$

以上より、 $n=5,20,45$

(3)

　 $\sqrt{ \frac{2×3×3×3×n}{5} }$

よって、 $n=30$ ・・・答

(4)

$\sqrt{ \frac{2×2×3×3×3×5}{n} }$

よって、

　 $n=3×5=15$

　 $n=3×5×2^2=60$

　 $n=3×5×3^2=135$

　 $n=3×5×2^2×3^2=540$

よって、 $n=15,60,135,540$

(5)

　言い方が変わっただけ、

　「 $\sqrt{28k}=自然数$ となるような自然数kの最小値」

　をもとめればよい。

　　 $\sqrt{28k}=\sqrt{2×2×7×k}$

　よって、 $k=7$ ・・・答

(6)

　 $\sqrt{\frac{m}{k}}$

　　 $=\sqrt{ \frac{1×2×・・・10}{k}}$

　　 $=\sqrt{ \frac{2^8×3^4×5^2×7}{k}}$

　よって、 $k=7$ のとき $\sqrt{\frac{m}{k}}$ が最大となる

　　 $=\sqrt{2^8×3^4×5^2}$

　　 $=2^4×3^2×5$

　　 $=720$ ・・・答

練習問題03

(1)

　 $\sqrt{2×3×3×3×(32-n)}$

よって

　 $32-n=2×3$ 　のとき $n=26$

　 $32-n=2×3×2^2$ 　のとき $n=8$

以上より。 $n=8,26$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{5(32-4n)}$

よって

　 $32-4n=0$ のとき $n=8$

　 $32-4n=5×2^2$ のとき $n=3$

以上より、 $n=3,8$ ・・・答

(3)

　 $3\sqrt{12-n}$

よって、

　 $12-n=0$ 　のとき $n=12$

　 $12-n=1$ 　のとき $n=11$

　 $12-n=4$ 　のとき $n=8$

　 $12-n=9$ 　のとき $n=3$

以上より、 $n=3,8,11,12$ ・・・答

(4)

　 $\sqrt{ \frac{5(13-3n)}{2} }$

よって、

　 $13-3n=2×5$ のとき $n=1$

以上より、 $n=1$ ・・・答

(5)

　 $\sqrt{n^2-48}=m$ (ｍは整数)とする

　 $n^2-48=m^2$

　 $n^2-m^2=48$

　 $(n+m)(n-m)=48$

よって、

　n+m=24 n-m=2　n=13, m=11

　n+m=12 n-m=4　n=8, m=4

　n+m=8 n-m=6　n=7, m=1

以上より、 $n=7,8,13$ ・・・答

演習問題・解答　

演習問題01

(1)

　 $38-n=0$ のとき $n=38$

　 $38-n=1$ のとき $n=37$

　 $38-n=4$ のとき $n=34$

　 $38-n=9$ のとき $n=29$

　 $38-n=16$ のとき $n=22$

　 $38-n=25$ のとき $n=13$

　 $38-n=36$ のとき $n=2$

以上より、 $n=2,13,22,29,34,37,38$ ・・・答

(2)

　 $41-5n=1$ のとき $n=8$

　 $41-5n=16$ のとき $n=5$

　 $41-5n=36$ のとき $n=1$

以上より、 $n=1,5,8$ ・・・答

(3)

　 $2\sqrt{21-n}$

よって、

　 $21-n=0$ のとき $n=21$

　 $21-n=1$ のとき $n=20$

　 $21-n=4$ のとき $n=17$

　 $21-n=9$ のとき $n=12$

　 $21-n=16$ のとき $n=5$

以上より、 $n=5,12,17,20,21$ ・・・答

(4)

　 $\sqrt{2×3×3×3×7×n}$

よって、

　 $n=2×3×7=42$ ・・・答

(5)

　 $\sqrt{2×2×7×n}$

よって

　 $n=7,7×2^2,7×3^2,・・・$

nは20以上100以下なので

　 $n=28,63$ ・・・答

(6)

　 $\sqrt{\frac{2×2×2×2×2×n}{7}}$

よって、

　 $n=2×7$

　 $n=2×7×2^2$

　 $n=2×7×3^2$

以上より、 $n=14,56,126$ ・・・答

(7)

　 $\sqrt{ \frac{108}{n} }$ が自然数となるのは

　 $\sqrt{ \frac{2×2×3×3×3}{n}}$ より

　　 $n=3$ このとき　 $m=6$ ]

　　 $n=3×2^2$ このとき　 $m=9$

　　 $n=3×3^2$ このとき　 $m=2$

　　 $n=3×2^2×3^2$ このとき　 $m=1$

以上より、 $(n,m)=(3,6),(12,9),(27,2),(108,1)$ ・・・答

(8)

　 $\sqrt{x^2-6(x-n)+5}$

　　 $=\sqrt{ (3-\sqrt5)^2-6(3-\sqrt5-n)+5 }$

　　 $=\sqrt{ 9-6\sqrt5+5-18+6\sqrt5+6n+5}$

　　 $=\sqrt{1+6n}$

　 $1+6n=1$ から順に調べていくと

　 $1+6n=25$ のとき $n=4$

以上より、 $n=4$ ・・・答

演習問題02

(1)

　 $37-n^2=0$ から順にチェックしていくと

$n=1,6$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{n^2-15}=m$ (mは整数)とおく

　 $n^2-15=m^2$

　 $n^2-m^2=15$

　 $(n+m)(n-m)=15$

　　n+m=15, n-m=1より　n=8,m=7

　　n+m=5, n-m=3 より　n=4,m=1

以上より、 $n=4,8$ ・・・答

(3)

因数分解の過程で工夫が必要。

　 $\sqrt{n^2+2n+49}=m$ (mは整数)とおく

　 $n^2+2n+49=m^2$

　 $n^2+2n+1+48=m^2$

　 $m^2-(n^2+2n+1)=48$

　 $m^2-(n+1)^2=48$

　 $(m+n+1)(m-n-1)=48$

よって

　m+n+1=24, m-n-1=2　m=13,n=10

　m+n+1=12 m-n-1=4　m=8,n=3

以上より、 $n=3,10$

(4)

　 $\sqrt{7(54-5n)}$

よって、

　 $54-5n=4$ のとき $n=10$

　 $54-5n=9$ のとき $n=9$

　 $54-5n=49$ のとき $n=1$

以上より、 $n=1,9,10$ ・・・答

(5)

　 $\sqrt{ \frac{5(43-3n)}{2}}$

よって

　 $43-3n=2×5$ のとき $n=11$

　 $43-3n=2×5×2^2$ のとき $n=1$

以上より、 $n=1,11$ ・・・答

(6)

　nは7で割ると2余るので

　 $n=7k+2$ (kは正の整数)とおける

　　 $\sqrt{576-n}$

　　　 $=\sqrt{574-7k}$

　　　 $=\sqrt{7(82-k)}$

　よって、

　　 $82-k=7$ のとき $k=75$

　　 $84-k=7×2^2$ のとき $k=54$

　　 $84-k=7×3^2$ のとき $k=19$

よって、 $n=527,380,135$

この内、4の倍数なのは

　 $n=380$ ・・・答

＜別解＞

　7で割ると2余る最小の4の倍数は16

　4と7の最小公倍数は28

よって

　 $n=28k+16$ とおける。

これを代入し

　 $\sqrt{576-n}$

　　 $=\sqrt{28(20-k)}$

　　 $=\sqrt{2×2×7×(20-k)}$

よって、

　 $20-k=7$ より $k=13$

このとき

　 $n=380$ 　・・・答

※ $n=28k+16$ は高校レベルなら不定方程式を解いても出せる

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　　2.2 計算への準備と練習問題(基)

　　2.3 平方根の計算

　　　2.3.1 平方根の計算と練習問題(基)

　　　2.3.2 平方根の計算と練習問題(標～難)　

　　 2.4 平方根の利用

　　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　　2.4.4 平方根の補充問題(難)