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数学の解説と練習問題

平方根の利用(2)(整数部分小数部分)(標~難)

解説中3数学平方根発展問題標準問題式の利用数と式

今回は、前回に引き続き平方根の利用の問題です。

高校生になっても触れる内容なので、今のうちに出来るように。

前回←平方根の利用(1)(整数になるようなn)(標~難)

次回→平方根の利用(3)(範囲を満たす平方根)(標~難)

2.4 平方根の利用

　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　2.4.4 平方根の補充問題(難)

1.整数部分と小数部分①
2.整数部分と小数部分②(難)
3.整数部分・小数部分の補充問題(2次方程式)(難)
4.演習問題
8.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

1.整数部分と小数部分①

例題01-1

(1) $4.21$ の整数部分と小数部分を答えよ。

(2) $2＜x＜3$ を満たす実数xの整数部分を求めよ。

(3) $-2.65$ の整数部分と小数部分を答えよ。

(4) $-3＜x＜-2$ を満たす実数xの整数部分を求めよ。

解説

(1)～(4)で確認していくが、今回のポイントは以下の2点

　① $小数部分＝元の数-整数部分$

　② $a≦x＜a+1$ を満たすす実数xの整数部分はa

(1) $4.21$

4.21 の整数部分はもちろん4。小数部分は0.21

これは、そりゃそうだろって思うよね。

数直線を書いて、整数部分と小数部分の場所を確認しよう。

負の数を考えるときに大切になる。

f:id:keimathchem:20180711001410p:plain

また、整数部分と小数部分の関係を見てみると

　小数部分＝元の数　－　整数部分　

　 0.21　＝　 4.21　－　　 4　　　

という関係になっていることも確認しておこう。

　① $小数部分＝元の数-整数部分$

(2) $2＜x＜3$

$2＜x＜3$ となるようなxって具体的にどんな数か?

2と3の間にあるのだから

　 $x=2.????$

という数になることがわかる。

だから、

　整数部分 $＝2$

ここから、整数部分について

　② $a≦x＜a+1を満たす実数xの整数部分はa$

(3) $-2.65$

数直線を書いて調べてみよう。

$4.21$ のときの数直線と比較すると分かりやすい

f:id:keimathchem:20180711003306p:plain

つまり、

　整数部分は $-3$ , 小数部分は $0.35$ ・・・答

小数部分は、基本的に0以上1未満にしなければならないので、

このようにややこしいことになっている。

(4) $-3＜x＜-2$

　 $a≦x＜a+1$ を満たす実数xの整数部分は $a$ で考えると、

　　　 $a≦x＜a+1$ のとき、整数部分は $a$

　　　 $-3＜x＜-2$ のとき、整数部分は $-3$

　よって、 $-3$ ・・・答

解答

(1) 整数部分 4, 小数部分 0.21

(2) 整数部分 2

(3) 整数部分 -3, 小数部分 0.35

(4) 整数部分 -3

例題01-2

(1) $\sqrt{13}$ の整数部分と小数部分を求めよ。

(2) $\sqrt{21}+3$ の整数部分と小数部分を求めよ。

(3) $2\sqrt{10}$ の整数部分と小数部分を求めよ

解説

ルートの整数部分は

　① ルートの中身の数字が、何と何の二乗の間にあるか調べる

　　※ $a\sqrt{x}$ は,、aをルート中に入れてから考える。

　② 不等式にして、整数部分を求める

　③「小数部分＝元の数－整数部分」で小数部分を出す。

という流れで解く。

(1) $\sqrt{13}$

①中身の13が、何と何の二乗の間にあるか調べる

　　つまり、13が

　　　0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ・・・のどこの間に入るか?

　　もちろん、9と16の間だ。

②不等式にして、整数部分を求める

　　9と16の間だから

　　　 $9＜13＜16$

　　全部にルートをつけて

　　　 $\sqrt9＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$

　　　 $3＜\sqrt{13}＜4$

　　ここで、例題01-1(2)を思い出そう。

　　　 $a≦x＜a+1$ を満たす実数xの整数部分は $a$ なので、

　　　 $3＜\sqrt{13}＜4$ より、整数部分は $3$ ・・・答

③小数部分を出す

　　「小数部分＝元の数－整数部分」だから

　　小数部分は $\sqrt{13}-3$ ・・・答

(2) $\sqrt{21}+3$

ルートの中身の21は、16と25の間にあるから

　 $16＜21＜25$

全部にルートをつけて、

　 $4＜\sqrt{21}＜5$

求めたいのは $\sqrt{21}+3$ だから、全部の数に3を加える。

　 $7＜\sqrt{21}+3＜8$

あとは、先程の(1)と同じようにしていく。

整数部分は $7$ ・・・答

小数部分は $\sqrt{21}+3-7=\sqrt{21}-4$ ・・・答

(3) $2\sqrt{10}$

「ルートの前にある数字は、ルートの中に入れる」

　　 $2\sqrt{10}=\sqrt{40}$

ルートの中身の40は、36と49の間だから

　 $36＜40＜49$

　 $\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$

　 $6＜\sqrt{40}＜7$

　 $6＜2\sqrt{10}＜7$

よって、

　整数部分は $6$ 、小数部分は $2\sqrt{10}-6$ ・・・答

補足　 2をルートの中に入れない場合

　 $2\sqrt{10}$

ルートの中身の10は、9と16の間の数だから

　 $9＜10＜16$

　 $\sqrt9＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$

　 $3＜\sqrt{10}＜4$

全部二倍すると、

　 $6＜2\sqrt{10}＜8$

$2\sqrt{10}$ は6と8の間にあるので

　 $2\sqrt{10}=6.????$

　 $2\sqrt{10}=7.????$

のどちらかわからなくなる

解答

(1)

$3＜\sqrt{13}＜4$

整数部分は $3$ , 小数部分は $=\sqrt{13}-3$ ・・・答

(2)

$4＜\sqrt{21}＜5$

$7＜\sqrt{21}+3＜8$

整数部分は $7$ , 小数部分 $=\sqrt{21}-4$ ・・・答

(3)

$2\sqrt{10}=\sqrt{40}$

$6＜\sqrt{40}＜7$

$6＜2\sqrt{10}＜7$

整数部分は $6$ , 小数部分は $2\sqrt{10}-6$ ・・・答

例題01-3

(1) $\sqrt{10}$ の整数部分a,小数部分bとする $a^2-b^2$ を求めよ。

(2) $\sqrt{7}-4$ の整数部分a, 小数部分bとする。 $a^2 b+ab^2$ の値を求めよ。

(3) $2\sqrt{5}$ の小数部分をbとする。 $b^2+4b$ の値を求めよ

解説

これまでは、整数部分・小数部分の出し方を見てきた。

今度は、それを使って式の値を求める問題。

解答

(1)

　 $3＜\sqrt{10}＜4$ より

　　整数部分 $a=3$

　　小数部分 $b=\sqrt{10}-3$

　よって、

　　 $a^2-b^2$

　　　 $=(a+b)(a-b)$

　　　 $=\sqrt{10} \{ 3-(\sqrt{10}-3)\}$

　　　 $=6\sqrt{10}-10$ ・・・答

(2)

　　 $2＜\sqrt7＜3$

　よって、

　　 $-2＜\sqrt7-4＜-1$

　 $a≦x＜a+1$ を満たす実数xの整数部分は $a$ だから

　　整数部分 $a=-2$

　　小数部分 $b=\sqrt7-4-(-2)=\sqrt7-2$

　ゆえに、

　　 $a^2 b+ab^2$

　　　 $=ab(a+b)$

　　　 $=-2(\sqrt7-2)(\sqrt7-4)$

　　　 $=-2(15-6\sqrt7)$

　　　 $=12\sqrt7-30$ ・・・答

(3)

　 $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$ なので、

　　 $4＜\sqrt{20}＜5$

　よって、

　　整数部分 $4$

　　小数部分 $b=2\sqrt{5}-4$

　ゆえに、

　　 $b^2+4b$

　　　 $=b(b+4)$

　　　 $=(2\sqrt{5}-4)×2\sqrt{5}$

　　　 $=20-8\sqrt{5}$ ・・・答

練習問題01

(1) $\sqrt{17}$ の整数部分a, 小数部分bとする。 $a^2-2ab+b^2$ を求めよ。

(2) $3+\sqrt{5}$ の整数部分a, 小数部分bとする。 $a^2 b+ab^2$ の値を求めよ。　

(3) $\sqrt{11}-5$ の整数部分a, 小数部分bとする。 $b^2-b+2a$ の値を求めよ。

(4) $3+2\sqrt{7}$ の小数部分をbとする。 $b^2+2b-15$ の値を求めよ。

2.整数部分と小数部分②(難)

　有利化がややこしいパターン

例題02-1

　 $\frac{1}{\sqrt{7}-2}$ の整数部分をa, 小数部分をbとする。 $b^2-ab$ の値を求めよ

解説

　標準的な高校1年生の定期テストレベルだが、　難関高校入試でも出題される。

　分母にルートがあるので有理化してから、整数部分・小数部分を考える。

　有利化は、前回やった方法で行う。　→有理化の応用

　

まずは有利化

　 $\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{1}{\sqrt{7}-2}×\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}$

　　　　 $=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$

　

ここまで計算してから、整数部分・小数部分を考えよう。

　　 $2＜\sqrt{7}＜3$

　両辺に2を加えて　　

　　 $4＜\sqrt{7}+2＜5$

　両辺を3で割って

　　 $\frac43＜\frac{\sqrt{7}+2}{3}＜\frac53$

　よって、整数部分 $a=1$ , 小数部分 $b=\frac{\sqrt{7}-1}{3}$

あとは代入するだけ。

解答

　　 $\frac{1}{\sqrt{7}-2}=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$

　 $2＜\sqrt{7}＜3$ であるから

　　 $\frac43＜\frac{\sqrt{7}+2}{3}＜\frac53$

　よって、

　　 $a=1$ , $b=\frac {\sqrt{7}-1} {3}$

　ゆえに、

　　 $b^2-ab$

　　　 $=b(b-a)$

　　　 $=\frac{\sqrt{7}-1}{3}×(\frac{\sqrt{7}-1}{3}-1)$

　　　 $=\frac{\sqrt{7}-1}{3}×\frac{\sqrt{7}-4}{3}$

　　　 $=\frac{11-5\sqrt{7}}{9}$ 　・・・答

マイナスと不等式

例題02-2

$5-\sqrt3$ の整数部分をa,小数部分をbとするとき、以下の①, ②の値を求めよ。

　　① $7ab-6b^2$ 　② $\frac{7a-3b^2}{2a-3b}$

＜出典: ①明治大付属中野　②早稲田実業＞

解説

不等式の性質を確認しよう。

不等式　 $a＜x＜b$ 　について

　①同じ数を足しても、引いてもよい。

　　　 $a+c＜x+c＜b+c$ ,　 $a-c＜x-c＜b-c$

　②同じ正の数を掛けても、割ってもよい。(c>0)

　　　 $ac＜xc＜bc$ ,　 $\frac ac＜\frac xc ＜\frac bc$

　③同じ負の数を掛けたり、割ったりすると、不等号が逆になる。

　　　 $ac＞xc＞bc$ ,　 $\frac ac＞\frac xc ＞\frac bc$

　④ 逆数にすると、不等号が逆になる。

　　　 $\frac1a＞\frac1x＞\frac 1b$

今回は③の性質が関わってくる。

実は、不等式は全部の数に負の数を掛ける場合、不等号が逆になる。

これに注意して計算していこう。

　 $1＜\sqrt3＜2$

すべての数に－1を掛けて

　 $-1＞-\sqrt3＞-2$ 　←注意

すべての数に5を加えて

　 $4＞5-\sqrt3＞3$

順番を変えて

　 $3＜5-\sqrt3＜4$

よって、

　整数部分 $a=3$ , 小数部分 $b=2-\sqrt3$

あとは代入し計算するだけ。

解答

　 $1＜\sqrt3＜2$ より、

　　 $4＞5-\sqrt3＞3$

　よって、

　　 $a=3$ ,　 $b=2-\sqrt3$

　ゆえに

　① $7ab-6b^2$

　　　 $=b(7a-6b)$

　　　 $=(2-\sqrt3)(9-6\sqrt3)$

　　　 $=36-21\sqrt3$ ・・・答

　② $\frac{7a-3b^2}{2a-3b}$

　　　 $=\frac{21-3(2-\sqrt3)^2}{6-3(2-\sqrt3)}$

　　　 $=\frac{21-3(7-4\sqrt3)}{6-6+3\sqrt3)}$

　　　 $=\frac{12\sqrt3}{3\sqrt3}$

　　　 $=4$ ・・・答

根号が2つあるパターン

例題02-3 (難)

　 $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ の整数部分と小数部分を求めよ。

解説

平方根が二項あるときは、二乗から攻める。

　 $(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2=12-\sqrt{80}$

まずは、こいつの範囲を求めよう。

　 $8＜\sqrt{80}＜9$ より、

　　 $-9＜-\sqrt{80}＜-8$

　だから、

　　 $3＜12-\sqrt{80}＜4$

　ということは、

　　 $3＜(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2＜4$

　3だと、 $\sqrt3$ のルートが取れないので

　ルートが外せる数字に変えると

　　 $1＜(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2＜4$

　よって、

　　 $1＜\sqrt{10}-\sqrt{2}＜2$

　ゆえに、

　　整数部分は 1、小数部分は $\sqrt{10}-\sqrt{2}-1$ ・・・答

解答

$(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2$

　　 $=12-2\sqrt{20}$

　　 $=12-\sqrt{80}$

$8＜\sqrt{80}＜9$ より

　　 $3＜12-\sqrt{80}＜4$

　　 $1＜(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2＜4$

ゆえに、

　整数部分は 1

　小数部分は $\sqrt{10}-\sqrt{2}-1$ ・・・答

補足

　おおよその値を求める方法もある

　 $3.1^2＜10＜3.2^2$ なので、

　　 $\sqrt{10}≒3.1$ 　

　 $\sqrt2$ は暗記しておいてほしい

　　 $\sqrt{2}≒1.4$

　よって、 $\sqrt{10}-\sqrt{2}≒1.7$

　なので、整数部分は1

この解き方の方が速い。

補足2

　 $3＜\sqrt{10}＜4$ , $1＜\sqrt2＜2$

だからといって

　　 $1＜\sqrt{10}-\sqrt{2}＜3$

とすると、整数部分が1なのか2なのか特定できない。

練習問題02

(1) $\frac{1}{\sqrt5-2}$ の整数部分をa, 小数部分をbとする。 $b^2+ab$ の値を求めよ

(2) $7-2\sqrt3$ の整数部分をa,小数部分をbとする。 $3a^2-3ab+b^2$ の値を求めよ。

(3) $\sqrt3+\sqrt2$ の整数部分をa,小数部分をbとする。 $a-b$ の小数部分を求めよ

＜出典: (2)洛星 (3)ラ・サール＞

3.整数部分・小数部分の補充問題(2次方程式)(難)

例題03

　正の数xの小数部分をyとする。 $x^2-y=7$ のときxを求めよ。

＜出典:大阪星光＞

解説

　2次方程式の知識が必要。

　 $x^2-y=7$ の式からxの整数部分を考える。

　　　小数部分y=0.???とすると、

　　　　 $x^2-y=7$

　　　　 $7.???-0.???=7$

　という形になっている必要がある。

　つまり、 $x^2$ の整数部分が7でなければならない。

　不等式で表すと、 $x^2=7.??$ だから、

　　 $4＜x^2＜9$ 　　(4<7<9)

　　 $2＜x＜3$ 、

　となり、 $x$ の整数部分は2である。

　「小数部分＝元の数－整数部分」より

　　　 $y=x-2$

　となる。これを $x^2-y=7$ に代入し

　　 $x^2-y=7$

　　 $x^2-(x-2)=7$

　　 $x^2-x-5=0$

　解の公式でxを求めると

　　 $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ 　(x＞0) ・・・答

解答

　 $0≦y＜1$ なので、 $x^2-y=7$ より、xの整数部分は2である。

　ゆえに、 $y=x-2$ となる。

よって、

　 $x^2-y=7$

　　 $x^2-x+2=7$

　　 $x^2-x-5=0$

解の公式より、

　 $x=\frac{1±\sqrt{21}}{2}$

x>0であるから、

　 $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ ・・・答

練習問題03

　正の数aの小数部分bとする。 $a^2+b^2=19$ が成り立つときbの値を求めよ。

＜出典:早稲田実業＞

4.演習問題

演習問題01

(1) $\sqrt{17}$ の整数部分と小数部分を求めよ。

(2) $\sqrt{7}+1$ の整数部分をa, 小数部分をbとする。 $a^2-ab$ の値を求めよ

(3) $2\sqrt{2}-1$ の整数部分をa, 小数部分をbとする。 $ab$ の値を求めよ

(4) $\sqrt{2}$ の小数部分をaとする。 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}$ の値を求めよ。

(5) $\sqrt{7}$ の小数部分aとする。 $-(2+\sqrt{7})a+(a+3)(-1+\sqrt{7})$ の値を求めよ

(6) $\sqrt{8}$ と $\sqrt{27}$ の小数部分をそれぞれa,bとする。 $\sqrt{6}$ をa, bで表わせ。

＜出典 :(5)洛南 (6)愛光＞

演習問題02(難)

(1) $4-\sqrt{2}$ の整数部分a,小数部分bとするとき、 $4a+b^2$ の値を求めよ。

(2) $\sqrt{18}$ の小数部分a, $5-\sqrt{2}$ の小数部分をbとする。 $\frac{b}{a+1}$ の値をもとめよ。　

(3) $\frac{2}{2-\sqrt{2}}$ の整数部分をa, 小数部分をbとする。

　① $a+\frac{2}{b}$

　②a-bの小数部分を求めよ　

(4) $(\sqrt3+\sqrt2)^2$ の小数部分をaとする。 $a^2+8a$ の値を求めよ。

(5) $\sqrt{7}+2\sqrt{2}$ の小数部分を求めよ。

＜出典:(2)函館ラ・サール (3)①慶應志木 ②ラ・サール (4)灘＞

8.解答

練習問題・解答

練習問題01

(1)

　 $16＜17＜25$ より、 $4＜\sqrt{17}＜5$

よって、

　 $a=4$ , $b=\sqrt{17}-4$

ゆえに、

　 $a^2-2ab+b^2$

　　 $=(a-b)^2$

　　 $=(8-\sqrt{17})^2$

　　 $=81-16\sqrt{17}$ ・・・答

(2)

　 $2＜\sqrt5＜3$ より、 $5＜3+\sqrt5＜6$

よって、

　 $a=5$ , $b=\sqrt5-2$

ゆえに、

　 $a^2 b+ab^2$

　　 $=ab(a+b)$

　　 $=5(\sqrt5-2)(\sqrt5+3)$

　　 $=5\sqrt5-5$ ・・・答

(3)

　 $3＜\sqrt{11}＜4$ より、 $-2＜\sqrt{11}-5＜-1$

よって、

　 $a=-2$ , $b=\sqrt{11}-3$

ゆえに、

　 $b^2-b+2a$

　　 $=b(b-1)+2a$

　　 $=(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}-4)-4$

　　 $=19-7\sqrt{11}$ 　・・・答

(4)

　 $3+2\sqrt{7}=3+\sqrt{28}$

　　 $5＜\sqrt{28}＜6$

　　 $8＜3+\sqrt{28}＜9$

ゆえに、 $b=2\sqrt7-5$

よって、

　 $b^2+2b-15$

　　 $=(b+5)(b-3)$

　　 $=2\sqrt7(2\sqrt7-8)$

　　 $=28-16\sqrt7$ ・・・答

練習問題02

(1)

　 $\frac{1}{\sqrt5-2}=\sqrt5+2$ {有理化)

　　 $2＜\sqrt5＜3$

　　 $4＜\sqrt5+2＜5$

よって、 $a=4$ , $b=\sqrt5-2$

ゆえに、

　 $b^2+ab$

　　 $=b(a+b)$

　　 $=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)$

　　 $=1$ ・・・答

(2)

　 $7-2\sqrt3=7-\sqrt{12}$

　　 $3＜\sqrt{12}＜4$

　－1を掛けて

　　 $-4＜-\sqrt{12}＜-3$

　よって、

　　 $3＜7-\sqrt{12}＜4$

よって、 $a=3$ , $b=4-2\sqrt3$

　(これを直接代入してもいい)　

$a=3$ より　

　 $3a^2-3ab+b^2$

　　 $=b^2-9b+27$

　　 $=(b-4)(b-5)+7$

$b=4-2\sqrt3$ をここに代入し

　　 $=-2\sqrt3(-2\sqrt3-1)+7$

　　 $=2\sqrt3(2\sqrt3+1)+7$

　　 $=12+2\sqrt3+7$

　　 $=19+2\sqrt3$ ・・・答

(3)

　 $(\sqrt3+\sqrt2)^2$

　　 $=5+2\sqrt6$

　　 $=5+\sqrt{24}$

$4＜\sqrt{24}＜5$ なので

　　 $9＜5+\sqrt{24}＜10$

　　 $9＜(\sqrt3+\sqrt2)^2＜10$

よって、

　　 $9＜(\sqrt3+\sqrt2)^2＜16$

　　 $3＜\sqrt3+\sqrt2＜4$

よって、 $a=3$ , $b=\sqrt3+\sqrt2-3$

ゆえに、　 $a-b=6-\sqrt3-\sqrt2$

$3＜\sqrt3+\sqrt2＜4$ だったから

　　 $2＜6-\sqrt3-\sqrt2＜3$

よって、 $a-b$ の整数部分は2である

ゆえに、 $a-b$ の小数部分は

　　 $4-\sqrt3-\sqrt2$ ・・・答

＜別解＞

　 $\sqrt2$ と $\sqrt3$ は値を覚えている場合が多い。

　よって、以下の方法でも解ける

　　　 $\sqrt2≒1.4$

　　　 $\sqrt3≒1.7$

　であるから

　　　 $\sqrt3+\sqrt2≒3.1$

　よって、 $a=3$ , $b=\sqrt3+\sqrt2-3$

　だから、

　　　 $a-b$

　　　　 $=6-\sqrt3-\sqrt2$

　　　　 $≒6-1.4-1.7$

　　　　 $≒2.9$

　よって、 $a-b$ の整数部分は2である

　ゆえに、 $a-b$ の小数部分は

　　　 $4-\sqrt3-\sqrt2$ ・・・答

練習問題03

$0≦b^2＜1$ なので、 $a^2$ の整数部分は18である。

よって、 $a$ の整数部分は4である。

ゆえに、 $b=a-4$ が成り立つ。

　 $a^2+b^2=19$

　 $a^2+(a-4)^2=19$

　 $2a^2-8a-3=0$

解の公式より

　 $a=\frac{4+\sqrt{22}}{2}$ (a>0)

よって、

　 $b=\frac{4+\sqrt{22}}{2}-4$

　　 $=\frac{\sqrt{22}-4}{2}$ ・・・答

演習問題・解答

演習問題01

(1)

　　 $4＜\sqrt{17}＜5$

　整数部分 $4$ , 小数部分 $\sqrt{17}-4$ ・・・答

(2)

　　 $2＜\sqrt7＜3$ よって、 $3＜\sqrt7+1＜4$

　だから、 $a=3$ , $b=\sqrt7-2$

　ゆえに、 $a^2-ab$

　　　　　　 $=a(a-b)$

　　　　　　 $=3(5-\sqrt7)$

　　　　　　 $=15-3\sqrt7$ ・・・答

(3)

　　 $2\sqrt2-1=\sqrt8-1$

　　 $2＜\sqrt8＜3$

　　 $1＜\sqrt8-1＜2$

　よって、 $a=1$ , $b=2\sqrt2-2$

　よって、

　　 $ab=2\sqrt2-2$ ・・・答

(4)

　　 $1＜\sqrt2＜2$ より、 $a=\sqrt2-1$

　ゆえに、

　　 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}$

　　　　 $=\frac{1}{\sqrt2-1}+\frac{1}{\sqrt2}$

　　　　 $=\sqrt2+1+\frac{\sqrt2}{2}$

　　　　 $=\frac{3\sqrt2+2}{2}$ ・・・答

(5)

　　 $2＜\sqrt{7}＜3$ より、 $a=\sqrt7-2$

　よって、

　　 $-(2+\sqrt{7})a+(a+3)(-1+\sqrt{7})$

　　　 $=-(\sqrt7+2)(\sqrt7-2)+(\sqrt7+1)(\sqrt7-1)$

　　　 $=-3+6$

　　　 $=3$ ・・・答

(6)

　 $\sqrt{6}=\sqrt2×\sqrt3$

　よって、 $\sqrt2$ と $\sqrt3$ をa, bで表すことを考える。

　 $2＜\sqrt{8}＜3$ なので、

　　　 $a=2\sqrt2-2$

　つまり、

　　　 $\sqrt2=\frac{a+2}{2}$

　 $5＜\sqrt{27}＜6$ なので

　　　 $b=3\sqrt3-5$

　つまり、

　　　 $\sqrt3=\frac{b+5}{3}$

よって、

　　 $\sqrt{6}=\sqrt2×\sqrt3$

　　　 $=\frac{a+2}{2}×\frac{b+5}{3}$

　　　 $=\frac{ab+5a+3b+10}{6}$ ・・・答

演習問題02

(1)

　 $2＜4-\sqrt{2}＜3$

よって、 $a=2$ , $b=2-\sqrt2$

　 $4a+b^2$

　　 $=8+(2-\sqrt2)^2$

　　 $=14-4\sqrt2$ ・・・答

(2)

　 $4＜\sqrt{18}＜25$

　 $3＜5-\sqrt{2}＜4$

よって、

　　 $a=3\sqrt2-4$

　　 $b=2-\sqrt2$

ゆえに

　 $\frac{b}{a+1}$

　　 $=\frac{2-\sqrt2}{3\sqrt2-3}$

　　 $=\frac{2-\sqrt2}{3(\sqrt2-1)}$

　　 $=\frac{(2-\sqrt2)(\sqrt2+1)}{3(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}$

　　 $=\frac{\sqrt2}{3}$ ・・・荅

(3)

　 $\frac{2}{2-\sqrt{2}}=2+\sqrt2$

よって、 $a=3$ , $b=\sqrt2-1$

　① $a+\frac{2}{b}$

　　　 $=3+\frac{2}{\sqrt2-1}$

　　　 $=5+2\sqrt2$ ・・・荅

　②a-bの小数部分

　　　 $a-b=4-\sqrt2$

　　これは演習問題02(1)の問題と同じ

　　よって、小数部分は $2-\sqrt2$ ・・・荅

(4)

　 $(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt{6}$

$9＜5+2\sqrt6＜10$ であるから

　　 $x=2\sqrt6-4$

ゆえに、

　　 $x^2+8x$

　　　 $=x(x+8)$

　　　 $=(2\sqrt6-4)(2\sqrt6+4)$

　　　 $=24-16$

　　　 $=8$ ・・・答

(5)

　 $(\sqrt{7}+2\sqrt{2})^2$

　　 $=15+4\sqrt{14}$

　　 $=5+\sqrt{224}$

$196＜224＜225$ だから

　 $14＜\sqrt{224}＜15$

　 $29＜15+\sqrt{224}＜30$

よって、

　 $25＜(\sqrt{7}+2\sqrt{2})^2＜36$

　 $5＜\sqrt{7}+2\sqrt{2}＜6$

ゆえに、小数部分は $\sqrt{7}+2\sqrt{2}-5$ ・・・答

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　　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

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