ページ コンテンツ
MENU

式の計算の利用と(難)(xy,x+y問題②・=kパターン・条件式の利用)

今回は前回の内容の発展問題をあつかう。

 

前回 式の計算の利用と練習問題(標~難)

次回 平方根と練習問題(基)

 

 

    1.3展開と因数分解の利用

  1.3.1 式の利用と練習問題(基)

  1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

  1.3.3 式の利用と練習問題(難)

 

 

1.xyとx+yの問題 x-y経由型

平方根の知識が必要なので、未学習なら飛ばそう。

例題01

 x+y=2, xy=-1のときx^2-y^2の値を求めよ。

 

解説

x^2-y^2=(x-y)(x+y)である。

値を求めるにはx-yの値を求めておく必要がある

ここでは (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 を利用して x-yを求めよう

 

 x+y=2の両辺を二乗し

  x^2+2xy+y^2=4

 両辺から4xyを引いて

  x^2-2xy+y^2=4-4xy

  (x-y)^2=8

 ゆえに

  x-y=±2\sqrt{2}

  

このように(x-y)^2の値を経由してx-yの値を出す。

あとは、代入して

 x^2-y^2

  =(x-y)(x+y)

  =±4\sqrt{2}・・・答

 

解答

 x+y=2より

  x^2+2xy+y^2=4

  x^2-2xy+y^2=4-4xy

  (x-y)^2=8

  x-y=±2\sqrt{2}

 よって、

  x^2-y^2

   =(x-y)(x+y)

   =±4\sqrt{2}・・・答

 


練習問題01

 x+y=3, xy=2のとき、x^2y-xy^2の値を求めよ。


 

2.kとおくパターン①

例題02

(1)  x : y =3 : 4のとき、\frac{x^2+3xy+y^2}{x^2-xy+y^2}の値を求めよ。

(2) 3x=2yのとき、\frac{x^2+y^2}{xy}の値を求めよ。

(3) \frac x2=\frac y3=\frac z4のとき、\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}の値を求めよ。

 

解説

  分数の問題は、約分できるように文字を調節していく必要がある。 

 今回は、条件式からx= k, y= kとおくパターンを練習する。

 そのために、

  ①比の式からx= k, y= kとおける

  ②文字式が=で結ばれた式は=kとおく

 以上を覚えておこう。文字が減って約分しやすくなる

 

(1)

  x : y =3 : 4 より、x=3k, y=4kとおくと

  \frac{x^2+3xy+y^2}{x^2-xy+y^2}

   =\frac{9k^2+36k^2+16k^2}{9k^2-12k^2+16k^2}

   =\frac{61k^2}{13k^2}

 約分して

   =\frac{61}{13}・・・答

 

(2)

  3x=2yということは、 x : y = 2 : 3 がいえる。

 すなわち、x=2k, y=3kとおける

今回はx=2k, y=3kとおく

  \frac{x^2+y^2}{xy}

   =\frac{4k^2+9k^2}{6k^2}

   =\frac{13k^2}{6k^2}

   =\frac{13}{6}・・・答

 

※ 3x=2y=6kとおいてx=2k, y=3kとしてもよいし

  「文字式が=で結ばれた式は=kとおく」から

  3x=2y=kより、x=\frac k3, y=\frac k2とおいても解ける。

 

(3)

   \frac x2=\frac y3=\frac z4

ということは x : y : z = 2 : 3 : 4である。

 よって、 x=2k, y=3k, z=4kとおける。

 これらを代入すれば

  \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2}

   =\frac{(2k+3k+4k)^2}{4k^2+9k^2+16k^2}

   =\frac{81k^2}{29k^2}

  約分して

   =\frac{81}{29}・・・答

 

 ※「文字式が=で結ばれた式は=kとおく」から

  \frac x2=\frac y3=\frac z4=k

    \frac x2=kなので、x=2k

    \frac y3=kなので、y=3k

    \frac z4=kなので、z=4k

 とすれば、 x=2k, y=3k, z=4kがえられる

 


練習問題02

(1) x : y=4 : 5のとき、\frac{x^2+xy-y^2}{x^2+xy+y^2}の値を求めよ。

(2)\frac x5=\frac y2=\frac z9のとき、\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}の値を求めよ。

<出典: (2)明治大付属中野>


 

3.kとおくパターン②

例題03

(1) x+2y=3x-2yのとき、\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2}の値を求めよ。

(2) \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}のとき、この式の値を求めよ。 

  ただし、x+y+z≠0とする。

 

解説

 今回は連立方程式を解くことによって

 文字を減らし、x= k, y= kとする

 

(1)

「文字式が=で結ばれた式は=kとおく」から。

 x+2y=3x-2y=k とおく

 この式は以下の連立方程式と同じ意味だ。

  {\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=k・・・① \\ 3x-2y=k・・・② \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 そこで、kを数字だと思って、連立方程式として解く

  ①+②より

   4x=2k

   x=\frac{k}{2}

  ①×3-②より

   8y=2k

   y=\frac{k}{4}

 以上より、 x=\frac{k}{2}, y=\frac{k}{4}

 これを代入すればよい。

 

※もちろん

x+2y=3x-2y より 2x=-4yが得られるから 

x=-4k, y=2k とおいてもよい。

 

(2)

  \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=kとおく

kとおいた式から以下の連立方程式がえられる

  {\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=zx・・・① \\ y+z=xk・・・② \\ x+z=yk・・・③ \end{array} \right. \end{eqnarray} }

この連立方程式をとけばいい。

今回は①+②+③をして割り算で文字を減らす。

 ①+②+③より

  2(x+y+z)=(x+y+z)k

 こうすれば、両辺をx+y+zで割れる。

 よって、k=2・・・答

 

※ 今回はkの値を求めれば、

 \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}の値が求めれられたことになる。

※ 0では割れないことに注意。

 今回はx+y+z≠0があるので割り算できる

 

解答

(1) x+2y=3x-2y=kとおく

 すなわち、

  {\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=k \\ 3x-2y=k \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 これを解いて

   x=\frac{k}{2}, y=\frac{k}{4}

 よって、

  \frac{x^2+y^2}{(x+y)^2}

   =\frac{ \frac{k^2}{4}+\frac{k^2}{16} }{( \frac{k}{2}+\frac{k}{4} )^2}

    =\frac{ \frac{5k^2}{16} }{ \frac{9k^2}{16} }

    =\frac{5}{9} ・・・答

(2)

 \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=kとおくと

  x+y=zky+z=xkx+z=yk

 これらの辺々を加えると

  2(x+y+z)=(x+y+z)k

 x+y+z≠0より、両辺をx+y+zで割ると

  k=2

 すなわち、

  \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=2・・・答

 


練習問題03

(1)3x-y=2x+yのとき、\frac{x^2-y^2}{x^2+3xy+2y^2}の値を求めよ。

(2)\frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}のとき、この式の値を求めよ。

<出典: (1)日本第二高>


 

4.条件式の利用①

例題04

(1) x+y+z=0のとき、\frac{x^2y+xy^2}{xyz}の値を求めよ。

(2) x+y+z=0のとき、\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}の値を求めよ。

(3) x+2y+4z=0, 2x+y+5z=0のとき\frac{z^2}{xy+yz+zx}の値を求めよ。

 

解説

 文字が多いときは文字を減らすように考える

 

 

(1)

 x+y+z=0より、z=-x-y

これを代入すれば、zを減らせる。

 \frac{x^2y+xy^2}{xyz}

  =\frac{xy(x+y)}{xy(-x-y)}

約分して

  =-1・・・答

 

(2)

 \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}

 のように文字が循環しているような式は、

  x+y+z=0より

   x+y=-z

   y+z=-x

   z+x=-y

 とすれば、それぞれの項の文字が減らせる

  \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}

   =\frac{-z}{z}+\frac{-x}{x}+\frac{-y}{y}

   =-3・・・答

(3) 

  x+2y+4z=0 より x+2y=-4z

  2x+y+5z=0 より 2x+y=-5z

 として、連立方程式にして解けば

 x= z, y= zと表すことができる。

 

  {\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=-4z・・・① \\ 2x+y=-5z・・・② \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} }

 

  ①-②×2より
    -3x=6z

    x=-2z

  これを①に代入し

    y=-z

  以上より、x=-2zy=-zが得られた

 これを代入し

  \frac{z^2}{xy+yz+zx}

   =\frac{z^2}{-2z^2-z^2-2z^2}

   =\frac{z^2}{-5z^2}

   =-\frac{1}{5}・・・答

 

解答

(1)

 x+y+z=0よりz=-x-y

  \frac{x^2y+xy^2}{xyz}

   =\frac{xy(x+y)}{xy(-x-y)}

   =\frac{xy(x+y)}{-xy(x+y)}

   =-1・・・答

 (2)

 x+y+z=0より

  x+y=-z. y+z=-x, z+y=-y

 \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}

   =\frac{-z}{z}+\frac{-x}{x}+\frac{-y}{y}

   =-3・・・答

(3)

 x+2y+4z=0 より x+2y=-4z・・・①

 2x+y+5z=0 より 2x+y=-5z・・・②

①②を連立しx=-2zy=-z

よって、

  \frac{z^2}{xy+yz+zx}

   =\frac{z^2}{-2z^2-z^2-2z^2}

   =\frac{z^2}{-5z^2}

   =-\frac{1}{5}・・・答

 


練習問題04

(1) x+y+z=0のとき、\frac{xy+xz+yz}{z^2-xy}の値を求めよ。

(2) x+3y+5z=0, 2x-y+3z=0のとき\frac{x^2+y^2+z^2}{xy}の値を求めよ。


 

5.条件式の利用②

例題05

(1) a^2+(b-c)^2=3, b^2+(a-c)^2=4 のとき、c(a-b)の値を求めよ。

(2) x+2y=1.1, 2x+y=1.4 のとき、x^2-y^2の値を求めよ。

(3) a-b=2, b+c=4, b^2=ac のとき、ab+bcの値を求めよ。

 

解説

 今回は条件式を、引いたり、足したり、掛けたり、二乗したりして、

 求めたい式の値を求めるパターンについて見ていく。

 

(1)

 今回の条件として与えられた式から、文字を減らしていくのは難しい。

 そこで、以下のように条件式を足したり、引いたりしていく。

 

 c(a-b)=ac-bc だから、

 acbc の項がどこに出てくるか考えると

  bc は、a^2+(b-c)^2=3

  ac は、b^2+(a-c)^2=4

 を計算すれば出てくることがわかる。。

 

  a^2+(b-c)^2=3より

   a^2+b^2-2bc+c^2=9・・・①

  b^2+(a-c)^2=4より

   b^2+a^2-2ac+c^2=16・・・②

あとは。acbc 以外の項が消えればいいから

 ①-②を計算すると

  a^2+b^2-2bc+c^2-b^2-a^2+2ac-c^2=9-16

   2ac-2bc=-7

   ac-bc=-\frac72

 よって、c(a-b)=ac-bc=-\frac72・・・答

 

(2)

 普通に x+2y=1.1と, 2x+y=1.4を連立して

 x,yの値を出して代入して問題ない。

 

 だが、今回は別の解き方をする。

  x+2y=1.1の両辺を二乗して

   x^2+4xy+4y^2=1.21・・・①

  2x+y=1.4の両辺を二乗して

   4x^2+4xy+y^2=1.96・・・②

 ②-①より

  3x^2-3y^2=0.75

  x^2-y^2=0.25・・・答

 

(3)

 a-b=2, b+c=4,の辺々を掛ければ

  (a-b)(b+c)=2×4

  ab+ac-b^2-bc=8

 ここからacb^2を消してやればいい。

 b^2=acだからac-b^2=0である。

 これを利用すると、

  ab+ac-b^2-bc=8

  ab-bc=8・・・答

 

解答

(1)

 a^2+(b-c)^2=3より

   a^2+b^2-2bc+c^2=9・・・①

 b^2+(a-c)^2=4より

   b^2+a^2-2ac+c^2=16・・・②

 ①-②より

   2ac-2bc=-7

   ac-bc=-\frac72

 よって、c(a-b)=-\frac72・・・答

(2)

 x+2y=1.1より

   x^2+4xy+4y^2=1.21・・・①

  2x+y=1.4より

   4x^2+4xy+y^2=1.96・・・②

 ②-①より

  3x^2-3y^2=0.75

  x^2-y^2=0.25・・・答

 (3)

 (a-b)(b+c)=8

  ab+ac-b^2-bc=8

 b^2=acより

  ab-bc=8・・・答

 


練習問題05

(1) (c-a)^2+3b^2=4b, (a-b)^2+3c^2=4c, b≠cのとき、aをb, cの一次式で表わせ 
(2) a+b=5,c+d=2,ad=bc=1のときac+bd\frac acの値を求めよ。

<出典: (1)灘高 (2)慶應義塾女子高>


 

6.解答


練習問題01

 x+y=3より

 x^2+2xy+y^2=9

 x^2-2xy+y^2=9-4xy

 (x-y)^2=1

 x-y=±1

よって

 x^2y-xy^2

  =xy(x-y)

  =±2・・・答

 

練習問題02

(1)

  x : y=4 : 5より、x=4k, y=5kとおける

  \frac{x^2+xy-y^2}{x^2+xy+y^2}

   =\frac{16k^2+20k^2-25k^2}{16k^2+20k^2+25k^2}

   =\frac{11k^2}{61k^2}

   =\frac{11}{61}・・・答

(2)

  \frac x5=\frac y2=\frac z9より、

  x=5k, y=2k, z=9kとおける。

 よって、

    \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}

    =\frac{10k^2+18k^2+45k^2}{25k^2+4k^2+81k^2}

    =\frac{73k^2}{110k^2}

    =\frac{73}{110}・・・答

 

練習問題03

(1)

 3x-y=2x+y=kとおく

  3x-y=k・・・①

  2x+y=k・・・②

①②を連立して

 x=\frac{2k}{5}, y=\frac{k}{5}

よって

 \frac{x^2-y^2}{x^2+3xy+2y^2}

  =\frac{ \frac{4k^2}{25}-\frac{k^2}{25} }{ \frac{4k^2}{25}+\frac{6k^2}{25}+\frac{2k^2}{25} }

  =\frac{1}{4}・・・答

 

(2)

 \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=kとおくと

  x+y=zky+z=xkx+z=yk

 これらの辺々を加えると

  2(x+y+z)=(x+y+z)k

 ①x+y+z≠0のとき、

  両辺をx+y+zで割ると、k=2

 ②x+y+z=0のとき、

  x=-y-zより

   \frac{y+z}{x}=\frac{y+z}{-y-z}=-1

 以上より

  x+y+z≠0のとき2, x+y+z=0のとき-1・・・答

 

練習問題04

(1)

 x+y+z=0より、z=-x-y

  \frac{xy+xz+yz}{z^2-xy}

   =\frac{xy+x(-x-y)+y(-x-y)}{ (-x-y)^2-xy }

   =\frac{xy-x^2-xy-xy-y^2}{x^2+2xy+y^2-xy}

   =\frac{-x^2-xy-y^2}{x^2+xy+y^2}

   =-1・・・答

(2)

  x+3y+5z=0より、x+3y=-5z

  2x-y+3z=0より、2x-y=-3z

 これらを連立すると

  x=-2z, y=-z

 よって、

  \frac{x^2+y^2+z^2}{xy}

   =\frac{4z^2+z^2+z^2}{2z^2}

   =3・・・答

 

練習問題05

(1)

 (c-a)^2+3b^2=4b・・・①

 (a-b)^2+3c^2=4c・・・②

①-②より

 (c-a)^2-(a-b)^2+3b^2-3c^2=4b-4c

 2b^2-2c^2+2ab-2ac=4b-4c

 2ab-2ac+2b^2-2c^2=4b-4c

 2a(b-c)+2(b-c)(b+c)=4(b-c)

b≠cなので、両辺をb-cで割ると

 2a+2(b+c)=4

 a=2-b-c・・・答


(2)

 ①ac+bdの値

   (a+b)(c+d)=10

   ac+ad+bc+bd=10

  ad=bc=1より

   ac+bd=8・・・答

 ②\frac{a}{c}の値

   a+b=5より、b=5-a

   c+d=2より、d=2-c

  これをad=bcに代入し

   a(2-c)=c(5-a)

   2a=5c

   \frac{a}{c}=\frac{5}{2}・・・答


 

関連記事

 1展開

  1.1.1展開公式と練習問題(基)

  1.1.2.少し複雑な展開と練習問題(標)

       1.1.3.展開の工夫と練習問題(1)(標)

       1.1.4.展開の工夫と練習問題(2)(難)

 1.2因数分解

       1.2.1.因数分解の基本と練習問題(基)

       1.2.2 因数分解の基本と練習問題(2)(標)

       1.2.3 因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

       1.2.4 因数分解の工夫と練習問題(2)(標~難)

  1.2.5 因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

    1.3展開と因数分解の利用

  1.3.1 式の利用と練習問題(基)

  1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

  1.3.3 式の利用と練習問題(難)