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数学の解説と練習問題

平方根の利用(3)(範囲を満たす平方根)(標~難)

解説中3数学平方根標準問題発展問題不等式の利用不等式数と式整数問題

前回の記事と同時だと、文章が長すぎたので分けた。

前回←平方根の利用(2)(整数部分・小数部分)

次回→平方根の補充問題

2.4 平方根の利用

　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　2.4.4 平方根の補充問題(難)

1.不等式と平方根①
2.個数の処理①
3.個数の処理②(難)
4.演習問題
5.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

1.不等式と平方根①

例題01-1

(1) $3＜\sqrt{a}＜4$ を満たす自然数aの値すべて求めよ。

(2) $\sqrt{3}＜a＜\sqrt{48}$ を満たす自然数aの値をすべて求めよ

(3) $a＜\sqrt{123}＜a+1$ を満たす自然数aを求めよ

解説

　大小関係の問題なので、以下のどちらかで解く

　　全部の数を二乗する

　　全部の数を $\sqrt{　}$ の形で表す。

　これは以前にやった内容。　　　→大小関係

　今回は「全部の数を二乗する」方法のほうがやりやすい。

(1)

　 $3＜\sqrt{a}＜4$

全部の数を二乗し

　 $9＜a＜16$

よって、　 $a=10,11,12,13.14,15$ ・・・答

　※16や9は≦でないから、入れない

(2)

　 $\sqrt{3}＜a＜\sqrt{48}$

全部の数を二乗し

　 $3＜a^2＜48$

二乗してこの範囲に収まるaは

　 $a=2, 3, 4, 5, 6$ ・・・答

(3)

　 $a＜\sqrt{123}＜a+1$

この不等式の形は、整数部分を求めるときの形と同じ

(※ $a≦x＜a+1$ を満たす実数xの整数部分は $a$ )

なので、整数部分の問題と同じように、

中身の123が、何と何の二乗の間にあるか調べる

もちろん $11^2=121$ と $12^2=144$ の間にある

　 $121＜123＜144$

　 $11＜\sqrt{123}＜12$

よって、 $a=11$ ・・・答

解答

(1)

　 $3＜\sqrt{a}＜4$ より、 $9＜a＜16$

　よって、 $a=10,11,12,13.14,15$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{3}＜a＜\sqrt{48}$ より、 $3＜a^2＜48$

　よって、 $a=2, 3, 4, 5, 6$ ・・・答

(3)

　 $121＜123＜144$ より、 $11＜\sqrt{123}＜12$

　よって、 $a=11$ ・・・答

例題01-2

$\sqrt{3a}$ を四捨五入したとき、5となるような整数aの値をすべて求めよ。

$\sqrt{15}$ と $\sqrt{40}$ の間にある整数をすべて求めよ。

解説

　文章から不等式(大小関係)を自分で作る。

なお、 (1)は中1の資料の活用の範囲。

解答

(1)

　四捨五入したとき5となるから

　　 $4.5≦\sqrt{3a}＜5.5$

　二乗して

　　 $20.25＜3a＜30.25$

　よって、

　　 $a=7,8,9,10$ ・・・答

(2)

　求める整数をaとおくと

　　 $\sqrt{15}＜a＜\sqrt{40}$

　二乗して

　　 $15＜a^2＜40$

　よって、

　　 $a=4,5,6$ ・・・答

練習問題01

(1) $3＜\sqrt{5a}＜6$ を満たす整数aをすべて求めよ。

(2) $\sqrt{7}＜a＜\sqrt{78}$ を満たす自然数aをすべて求めよ。

(3) $a＜3\sqrt{15}＜a+1$ を満たす整数aを求めよ。

(4) $\sqrt{a}$ を四捨五入すると3になった。このような整数aをすべて求めよ。

2.個数の処理①

例題02-1

(1) $15≦\sqrt x≦16$ となるような自然数xは何個あるか

(2) $12＜\sqrt x＜13$ となるような自然数xは何個あるか

(3) $5≦\sqrt x＜12$ となるよな自然数xは何個あるか　

解説

　個数の処理で詰まった時は、小さい数で具体例を出して処理方法を考える。

小さい数字で確認すると。

　① $4≦x≦8$ を満たすxの数は

　　　 $x=4,5,6,7,8$ の5個

　　これは $8-4+1=5個$ で出せる。

　② $4＜x＜8$ を満たすxの数は

　　　 $x=5,6,7$ の3個

　　これは $8-4-1=3個$ で出せる。

　③ $4≦x＜8$ を満たすxの数は

　　　 $x=4,5,6,7$ の4個

　　これは $8-4=4個$ で出せる。

まとめると

a,bを整数とすると、

　 $a≦x≦b$ を満たす整数xの数は $b-a+1$

　 $a＜x＜b$ を満たす整数xの数は $b-a-1$

　 $a≦x＜b$ を満たす整数xの数は $b-a$

である。

ただし、例えば

　 $2.1≦x≦6.6$ を満たす整数xは

　　 $x=3,4,5,6$

　なのでxは4個ある。

しかし、これは $b-a+1$ で出せない

このように、問題によって個数の出し方が違うので、

わからなくなったら、小さい数で確認しよう。

解答

　具体例で見つけた個数の数え方を適応する。

(1)

　 $15≦\sqrt x≦16$

二乗して

　 $225＜x＜256$

よって、

　 $256-225+1$

　　 $=32個$ ・・・答

(2)

　 $12＜\sqrt x＜13$

二乗して

　 $144＜x＜169$

よって、

　 $169-144-1$

　　 $=24個$ ・・・答

(3)

　 $5≦\sqrt x＜12$

二乗して

　 $25≦x＜144$

よって、

　 $144-25$

　　 $=119個$ ・・・答

例題02-2(難)

　 $a≦\sqrt x≦a+1$ を満たす自然数xが14個あるような整数aの値を求めよ。

　

解説

　 $4≦x≦5$ を満たすxは

　　 $x=4,5$ の2個

　なので、xの個数は $5-4+1=2個$ で計算出来る

　同様に考えて

　　 $a≦\sqrt x≦a+1$

　　 $a^2≦x≦(a+1)^2$

　よって、個数について

　　 $(a+1)^2-a^2+1=14$

　が成り立つ。

　　 $a^2+2a+1-a^2+1=14$

　　 $a=6$ 　・・・答

解答

　　 $a≦\sqrt x≦a+1$

　　 $a^2≦x≦(a+1)^2$

　この範囲にある整数xの個数が14個なので、

　　　 $(a+1)^2-a^2+1=14$

　これを解いて

　　　 $a=6$ 　・・・答

練習問題02

(1) $a＜\sqrt x＜a+1$ を満たす整数xが2020個あるような整数aの値を求めよ。

(2) $2＜\sqrt x ＜a$ となる整数xが11個あるような整数aの値を求めよ。

(難)(3) $2＜\sqrt x ＜a$ となる整数xが11個あるような実数aの範囲を求めよ

＜出典:(2)学習院＞

3.個数の処理②(難)

例題03

$\sqrt n$ の整数部分を $k$ とする。

(1) $k=5$ であるような、自然数 $n$ は何個あるか

(2) 整数部分が $k$ となるような、自然数 $n$ の個数を $k$ で表わせ

(3) 自然数 $n$ が21個あるような、 $k$ の値を求めよ。

(4) $n=1$ から $n=20$ までの $k$ の値の総和を求めよ。

(5) $\sqrt k$ の整数部分を $L$ とする。 $k-L=2$ となるような自然数nは何個あるか

解答・解説

(1)

　整数部分が5になるような、 $\sqrt n$ のnの値の個数を求める

　これは、例題01-2と同じで、自分で不等式を作る。

　　 $a≦x＜a+1$ を満たす実数xの整数部分は $a$

　だったから(※前回を参照)

　　整数部分が5のとき　 $5≦\sqrt{n}＜6$

　といえる。

　　 $5≦\sqrt{n}＜6$

　　 $25≦n＜36$

　これを満たすnの個数の求め方は例題05-1と同じで

　　 $36-25=11個$ ・・・答

(2)

(1)と同じ処理をkで行う。

　整数部分がkのとき　 $k≦\sqrt{n}＜k+1$

であるから

　 $k≦\sqrt{n}＜k+1$

　 $k^2≦n＜(k+1)^2$

よって、nの個数は

　 $(k+1)^2-k^2=2k+1$ ・・・答

(3)

　(2)でnの個数とkの関係式を求めた。

　これを利用すればよい。

　　 $2k+1=21$

　　 $k=10$ ・・・答

(4)

kの値から考えた方がよい

　　k=1となるのは　n=1からn=3 の3個

　　k=2となるのは　n=4からn=8 の5個

　　k=3となるのは　n=9からn=15の7個

　　残りの、n=16からn=20の場合は、k=4となる。

以上より、kの総和は

　 $1×3+2×5+3×7+5×4$

　 $=54$ ・・・答

(4)

　表を作ると分かりやすい。

　　 f:id:keimathchem:20180711184801p:plain

　つまり、 $k-L=2$ となるのは、n=9からn=24

　よって、16個・・・答

練習問題03

(1) $\sqrt{7a}$ の整数部分が10となるような整数aの値を求めよ。

(2) $\sqrt{2a+1}$ の整数部分が6となるような整数aの値を求めよ。

4.演習問題

演習問題01

(1) $5＜\sqrt{a}＜5.5$ を満たす整数aの値を求めよ。　

(2) $4＜\sqrt{3a}＜5$ を満たす整数aの値をもとめよ。

(3) $3＜\sqrt{\frac{5a+1}{2}}＜4$ を満たす整数aを求めよ。

(4) $\sqrt5＜a＜\sqrt{32}$ を満たす自然数aを求めよ。

(5) $a＜\sqrt{219}＜a+1$ を満たす整数aを求めよ。

(6) $\sqrt{7a}$ の整数部分が7であるような自然数aを求めよ。

演習問題02

(1) $5≦\sqrt a＜15$ を満たす整数aの個数を求めよ。

(2) $18＜\sqrt a ＜21$ を満たす整数aの個数を求めよ。

(3) aは正の整数である。 $a≦\sqrt n≦a+1$ を満たす整数nの個数をaで表わせ。

(4) $a＜\sqrt{n} ＜a+3$ を満たす整数nが104個あるような整数aの値を求めよ。

演習問題03(難)

　{n}は $\sqrt n$ の整数部分

　{{n}}は $\sqrt{ \{n\} }$ の整数部分

　{{{n}}}は $\sqrt{ \{ \{n\} \}}$ の整数部分

とする。以下の問いに答えよ。

(1) $n=260$ のとき、 $\{\{n\}\}$ を求めよ。

(2) $\{ \{n\} \} =3$ を満たす整数nの個数を求めよ。

(3) $\{n\} + \{ \{ \{n\} \} \}=6$ を満たす整数nの個数を求めよ。

5.解答

練習問題・解答

練習問題01

(1)

　 $3＜\sqrt{5a}＜6$ より、 $9＜5a＜36$

よって、 $a=2, 3, 4,5,6,7$ ・・・答

(2)

　 $\sqrt{7}＜a＜\sqrt{78}$ より、 $7＜a^2＜78$

よって、 $a=3,4,5,6,7,8$ ・・・答

(3)

　 $3\sqrt{15}=\sqrt{135}$

　 $121＜135＜144$ より $11＜\sqrt{135}＜12$

よって、 $a=11$

(4)

　 $2.5≦\sqrt a＜3.5$

　 $6.25≦a＜12.25$

よって、 $a=7,8,9,10,11,12$ ・・・答

練習問題02

(1)

　 $a＜\sqrt x＜a+1$

　 $a^2＜x＜(a+1)^2$

この範囲の整数の個数は

　 $(a+1)^2-a^2-1$

よって、

　 $(a+1)^2-a^2-1=2020$

　 $2a=2020$

　 $a=1010$ ・・・答

(2)

　 $2＜\sqrt x ＜a$

　 $4＜x＜a^2$

この範囲に11個の整数が存在するためには、aは整数だから

　 $4＜x^2＜16$

であればよい。(下図)

よって、 $a^2=16$ だから

　 $a=4$ (a>2) ・・・答

※図

f:id:keimathchem:20180713195019p:plain

補足

もちろん、以下のようにしてもよい

　 $4＜x＜a^2$

この範囲に存在する整数の個数は

　 $a^2-4-1$

よって、

　 $a^2-5=11$

　 $a^2=16$

a>2より

　 $a=4$ ・・・答

(3)

　整数xの個数が11個になる実数aの範囲は

　　 $15＜a^2≦16$

　よって、

　　 $\sqrt{15}＜a≦4$ (a>2を満たす)　・・・答

補足解説

例えば、 $a^2=15.5$ でも、 $4＜x＜a^2$ を満たす整数xの個数は11個ある。

このように、(3)では、aの値が分数でも、ルートがついてもよいため難しい

　このような問題は、数直線で考える。

　 f:id:keimathchem:20180713195817p:plain

　 $a^2$ が上図の赤線の範囲にあれば、整数xの個数が11個になる。

　 $a^2$ が16より大きいと、整数xの個数が5～16の12個になってしまう

　だから、 $a^2$ は16以下である。　

また。

　　 $a^2=15$ となった場合、下図のようになり、

　　 $4＜x＜15$ を満たす整数xは10個しかない。

　 f:id:keimathchem:20180713200114p:plain

　　よって、 $a^2≠15$ である。

　以上より、

　　　 $15＜a^2≦16$

　となり、

　　　 $\sqrt{15}＜a≦4$

　が答えになる。

練習問題03

(1) $\sqrt{7a}$ の整数部分が10だから

　 $10≦\sqrt{7a}＜11$

　 $100≦7a＜121$

7倍して100と121の間にあるのは

　 $a=15,16,17$ ・・・答

割りたければ、

　 $\frac{100}{7}≦a＜\frac{121}{7}$

　 $14.28...≦a＜17.28...$

として、aを求めてもよい。

(2) $\sqrt{2a+1}$ の整数部分が6だから

　 $6≦\sqrt{2a+1}＜7$

　 $36≦2a+1＜49$

36と49の間の奇数は

　 $37,39,41,43,45,47$

よって、

　 $a=18,19,20,21,22,23$ ・・・答

こちらも、

　 $36≦2a+1＜49$

　 $35≦2a＜48$

　 $\frac{35}{2}≦a＜24$

　 $17.5＜a＜24$

としてもよい。

演習問題・解答

演習問題01

(1)

　 $5＜\sqrt{a}＜5.5$

　 $25＜a＜30.25$

よって、 $a=26,27,28,29,30$ ・・・答　

(2)

　 $4＜\sqrt{3a}＜5$

　 $16＜3a＜25$

よって、 $a=6,7,8$ ・・答

(3)

　 $3＜\sqrt{\frac{5a+1}{2}}＜4$

　 $9＜\frac{5a+1}{2}＜16$

　 $18＜5a+1＜32$

　 $17＜5a＜31$

よって、 $a=4,5,6$ ・・・答

　

(4)

　 $\sqrt5＜a＜\sqrt{32}$

　 $5＜a^2＜32$

よって、 $a=3,4,5$ ・・・答

(5)

　 $196＜219＜225$

　 $14＜\sqrt{219}＜15$

よって、 $a=14$ ・・・答

(6)

　 $7≦\sqrt{7a}＜8$

　 $49≦7a＜64$

よって、 $a=7,8,9$ ・・・答

演習問題02

(1)

　 $5≦\sqrt a＜15$

　 $25≦a＜225$

よって、整数aの個数は

　 $225-25=200個$ ・・・答

(2)

　 $18＜\sqrt a ＜21$

　 $324＜a＜441$

よって、整数aの個数は

　 $441-324-1=116個$ ・・・答

(3)

　 $a≦\sqrt n≦a+1$

　 $a^2≦n≦(a+1)^2$

よって、整数nの個数は

　 $(a+1)^2-a^2+1$

　　 $=2a+2$ ・・答

(4)

　 $a＜\sqrt{n} ＜a+3$

　 $a^2＜n＜(a+3)^2$

これを満たす整数nが104個なので

　 $(a+3)^2-a^2-1=104$

　 $6a+8=104$

　 $a=16$ ・・・答

演習問題03

(1)

　 $16≦\sqrt{260}＜17$

よって、 $\{n\}=16$

ゆえに、

　 $\{ \{n\} \}=\sqrt{ \{n\} }=\sqrt{16}=4$ ・・・答

　

(2)

　 $\{ \{n\} \} =3$ より

　　 $3≦\sqrt{ \{n\} }＜4$

　　 $9≦ \{n\}＜16$

※[tex:\{n\}は整数だから

　　 $9≦ \{n\}≦15$

よって、

　　 $9≦\sqrt n＜16$

　2乗して

　　 $81≦n＜256$

　よって、整数nの個数は

　　 $256-81=175個$ ・・・答

(3)

　表をつくると

f:id:keimathchem:20180713230050p:plain

　よって、11個・・・答

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