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数学の解説と練習問題

2次方程式の解き方(1)(因数分解・解の公式)(基)

解説中3数学 2次方程式基礎問題方程式計算問題

今回から、2次方程式を見ていく。

まずは、2次方程式の解き方から始めよう。

前回　←平方根の補充問題(難)

次回　→2次方程式の解き方(2)(展開、置き換え、二乗の利用)(標)

3.1 2次方程式の解き方

　　3.1.1 基本的な2次方程式の解き方(1)(基)

　　3.1.2 2次方程式のの解き方(2)(展開・置き換え・二乗利用)(標)

　　3.1.3 2次方程式の解き方(3)(たすき掛け、係数が平方根、文字係数)(難)

　　3.1.4 補題・2元2次連立方程式

0. 次数
1. 2次方程式
2. 2次方程式を解く①　平方根利用型
3. 2次方程式を解く②　因数分解利用型
4. 2次方程式を解く③　解の公式
5.演習問題
6.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

0. 次数

中2で学んだことなので、軽く触れる

・単項式の場合

　次数・・・掛けている文字の個数

例　 $3x^2 y$ 　は　文字を3つ掛けているから、「3次式」

　　 $2xy$ 　は　文字を2つ掛けているから、「2次式」

・多項式の場合

　次数・・・各項の次数の中で一番大きいもの。

例　 $3x^2 y+2xy$ 　は　 $3x^2 y$ の次数が一番大きいので、「3次式」

　　 $x^2+3x-4$ 　は　 $x^2$ の次数が一番大きいので、「2次式」

1. 2次方程式

　移行して整理した時に

　　(xの2次式)=0　　(一般に $ax^2+bx+c=0$ )

　となる方程式をxの2次方程式という。

例題01　以下のうち2次方程式であるのをすべて選べ

　① $x^2+2x+3=0$ 　　　　　② $x^2=19$

　③ $5x+3=16$ 　　　　　　　 ④ $x^2+3=x(x-2)$

　⑤ $2x^2+4=(x-1)(x+1)$ ⑥ $(x+3)(x-2)=4x+1$

　⑦ $x^3+4x=x^2-3$

解説

展開、移行、整理して＝0の形にしてから考える。

$x^2$ が消えてなくなる可能性がある。

例えば

④ $x^2+3=x(x-2)$

　 $x^2+3=x^2-2x$

　 $2x+3=0$

このように、展開して移行し、整理すると $x^2$ が消える

よって、この式は1次方程式であり、2次方程式ではない。

また、⑦は

⑦ $x^3+4x=x^2-3$

　 $x^3-x^2+4x+3=0$

となり、 $x^2$ は消えない。

しかし、 $x^3$ があるので、3次方程式である。

解答

　①2次方程式　②2次方程式　③1次方程式

　④1次方程式　⑤2次方程式　⑥2次方程式　

　⑦3次方程式

よって、①,②,⑤,⑥・・・答

練習問題01 以下のうち、2次方程式であるものを選べ。

　① $x^2+2x=0$ 　　　　 ② $x^2-3=x^2-3x$

　③ $(x-3)(x-2)=5$ 　　④ $x(x+2)=(x-2)(x+2)$

　⑤ $x^2+(x+1)^2=4x$ 　⑥ $x^2=13$

2. 2次方程式を解く①　平方根利用型

例えば、 $x^2=4$ を満たすxを考えよう。

　 $x^2=4$ は「xを二乗すると4になる」という意味。

　二乗して4になる数は「 $x=±2,$ 」。これが方程式の解。

例えば、 $x^2=5$ を満たすxを考えよう。

　二乗して5になるのは、「 $x=±\sqrt{5}$ 」これが方程式の解。

$x^2=a$ の形にできれば、、平方根の知識を使って方程式を解ける。

例題02　以下の2次方程式を解け

(1) $x^2=64$ 　　　　(2) $x^2-12=0$

(3) $x^2=\frac59$ 　　　　(4) $36x^2-25=0$

(5) $3x^2-7=0$

解説

　まず、 $x^2=a$ の形に変形しよう。注意点は以下の2点

　①答えに、±を忘れない。

　② $a\sqrt{b}$ の形に直したり、有理化する必要があることがある。

(1) $x^2=64$

　二乗して64になる数を考える。

　 $x=±8$ ・・・答

(2) $x^2-12=0$

　 $x^2=a$ の形に変形すると

　　　 $x^2=12$

　二乗して12になるのは

　　　 $x=±\sqrt{12}$

　平方根は $a\sqrt{b}$ の形にしないと行けないので

　　　 $x=±2\sqrt{3}$ ・・・答

(3) $x^2=\frac59$

　分数でもやり方は同じ

　　 $x=±\sqrt{\frac59}$

　　 $x=±\frac{\sqrt5}{3}$ ・・・答

(4) $36x^2-25=0$

　 $x^2=a$ の形に変形

　　 $36x^2=25$

　　 $x^2=\frac{25}{36}$

　このように変形すれば(3)と同じ

　　 $x=±\frac56$ ・・・答

(5) $3x^2-7=0$

　 $x^2=a$ の形に変形

　　 $x^2=\frac73$

　　 $x=±\sqrt{\frac73}$

　　 $x=±\frac{\sqrt7}{\sqrt{3}}$

　分母にあるルートは有理化しなけれなならないので

　　 $x=±\frac{\sqrt{21}}{3}$ ・・・答

解答

(1)

　 $x=±8$ ・・・答

(2)

　 $x^2=12$

　 $x=±2\sqrt{3}$ ・・・答

(3)　

　 $x=±\frac{\sqrt5}{3}$ ・・・答

(4)

　 $36x^2=25$

　 $x^2=\frac{25}{36}$

　 $x=±\frac56$ ・・・答

(5)

　 $x^2=\frac73$

　 $x=±\frac{\sqrt7}{\sqrt{3}}$

　 $x=±\frac{\sqrt{21}}{3}$ ・・・答

※

　(4)因数分解の利用でも解ける(次項参照)

　　 $36x^2=25$

　　 $36x^2-25=0$

　　 $(6x-5)(6x+5)=0$

　　 $x=±\frac56$ ・・・答

練習問題02　以下の2次方程式を解け

(1) $x^2=25$ 　　 (2) $x^2=7$ 　

(3) $x^2-18=0$ 　 (4) $x^2=\frac {25}{16}$ 　

(5) $x^2=\frac 74$ 　　(6) $x^2=\frac32$ 　

(7) $\frac13 x^2=3$ 　(8) $49x^2=9$ 　

(9) $2x^2-25=0$ 　

3. 2次方程式を解く②　因数分解利用型

3.1　因数分解利用型の準備

まずは以下の性質を確認しよう

　A×B＝0のとき、A＝0またはB=0である。

これを利用して2次方程式を解く

例　 $(x-3)(x+2)=0$

$A=x-3$ , $B=x+2$ と考えれば。

　 $(x-3)(x+2)=0$ 　→　 $A×B=0$

よって、

　 $A=0$ 　または　 $B=0$

つまり、

　 $x-3=0$ 　または　 $x+2=0$

これを解いて、

　 $x=3$ 　または　 $x=-2$

2つをまとめて

　 $x=3,-2$ ・・・答

と書いてよい。

　※ $x=3$ 　かつ　 $x=-2$ ではない。

例　 $(x-2)(x-5)=0$

　この場合なら、 $x-2=0$ , $x-5=0$

　これらを解いて、 $x=2,5$ が答え。

例　 $(2x-3)(5x-2)=0$

この場合なら、 $2x-3=0$ , $5x-2=0$

これらを解いて、 $x=\frac32, \frac25$ が答え。

※因数分解型の解き方

　 $a(x-α)(x-β)=0$ は、符号逆で $x=α, β$

　 $(mx-α)(nx-β)=0$ は、分数になって $x=\frac αm, \frac βn$

　 $x(x-α)=0$ は、 $x=0,α$

例題03-1　以下の2次方程式を解け

(1) $(x-3)(x+2)=0$ 　 (2) $(x-5)^2=0$ 　

(3) $x(x-4)=0$ 　　　　(4) $(2x+3)(3x-1)=0$ 　

解説

　2次方程式は基本的に2個の解をもつ。

　　(2)のような形の場合、解は1つである(重解)

　　(3) x(x-4)=0　のxのようにボッチになってると $x=0$

　　(4)のように,xに係数がついていると、解は分数になる。

(1) $(x-3)(x+2)=0$

　 $x-3=0$ , $x+2=0$

よって、 $x=3,-2$ ・・・答

(2) $(x-5)^2=0$

この式は以下のように考えられる。

　 $(x-5)(x-5)=0$

どちらのカッコを見ても

　 $x-5=0$

よって、 $x=5$ ・・・答

このように, $(　　)^2=0$ の形になるなら, 解が1つだけになる。

(3) $x(x-4)=0$

　 $x=0$ , 　 $x-4=0$

よって、 $x=0,4$ ・・・答

(4) $(2x+3)(3x-1)=0$ 　

　 $2x+3=0$ ,　 $3x-1=0$

よって、 $x=-\frac32, \frac13$ ・・・答

解答

(1)

　 $x=3,-2$ ・・・答

(2)

　 $x=5$ ・・・答

(3)

　 $x=0,4$ ・・・答

(4)

　 $x=-\frac32, \frac13$ ・・・答

練習問題03-1　以下の2次方程式を解け

(1) $(x-1)(x-3)=0$ 　(2) $(x-3)(x+5)=0$

(3) $(x-2)^2=0$ 　　　(4) $(x+4)^2=0$

(5) $x(x-3)=0$ 　　　(6) $(x-5)(2x-3)=0$

(7) $x(3x+1)=0$ 　　 (8) $(2x-1)^2=0$

3.2 因数分解の公式の利用

$(　　)(　　)=0$ の形をつくるために、因数分解を利用する。

※公式を使った因数分解はこちら　→　因数分解の基本(基)

例題3-2　以下の2次方程式をとけ

(1) $x^2+3x-18=0$ 　(2) $x^2-8x+16=0$

(3) $x^2-3x=0$ 　　　(4) $2x^2-x=0$

(5) $x^2+2x=3x+5$ 　(6) $2x^2+6x=x^2-9$

(7) $x^2=6x$ 　　　　(8) $3x^2-2x=3x$

解説

以下の流れで解いていく

2次方程式の解き方

　① すべての項を左側に移項し、 $=0$ の形をつくる。

　② 左側を因数分解出来ないか考える。

　③ 例題03-1と同じようにして解を出す。

(1)~(4)は、はじめから $=0$ の形なので、いきなり左側の因数分解から考える。

(5)~(8)は、移項して $=0$ の形を作ってから因数分解する。

(1) $x^2+3x-18=0$

　足して+3、掛けて-18となる2数を探す

　もちろん、 $(+6)+(-3)=+3$ ,　 $6×(-3)=-18$ だから

　　 $x^2+3x-18=0$

　　 $(x+6)(x-3)=0$

　よって、 $x=-6,+3$ ・・・答

(2) $x^2-8x+16=0$

　足して-8，掛けて16でもいいが、

　これは $(　　)^2$ の公式で因数分解出来る。

　　 $(x-4)^2=0$

　よって、 $x=4$ ・・・答

(3) $x^2-3x=0$

　共通因数でくくる。

　全部の項にxがついているので

　　 $x(x-3)=0$

　よって、 $x=0,3$ ・・・答

(4) $2x^2-x=0$

　同じく共通因数でくくる

　　 $x(2x-1)=0$

　 $x=0, \frac12$ ・・・答

以降の問題は項を全部左側に移項して、 $=0$ の形をつくる。

(5) $x^2+2x=3x+5$

　 $x^2-x-5=0$

(6) $2x^2+6x=x^2-9$

　 $x^2+6x+9=0$

(7) $x^2=6x$

　 $x^2-6x=0$

(8) $3x^2-2x=3x$

　 $3x^2-5x=0$

このように変形し、(1)~(4)と同様に因数分解していく

解答

(1) $x^2+3x-18=0$

　 $(x+6)(x-3)=0$

　よって、 $x=-6,+3$ ・・・答

(2) $x^2-8x+16=0$

　 $(x-4)^2=0$

よって、 $x=4$ ・・・答

(3) $x^2-3x=0$

　 $x(x-3)=0$

よって、 $x=0,3$ ・・・答

(4) $2x^2-x=0$

　 $x(2x-1)=0$

よって、 $x=0, \frac12$ ・・・答

(5) $x^2+2x=3x+5$

　 $x^2-x-5=0$

　 $(x-3)(x+2)=0$

よって、 $x=3,-2$ ・・・答

(6) $2x^2+6x=x^2-9$

　 $x^2+6x+9=0$

　 $(x+3)^2=0$

よって、 $x=-3$ ・・・答

(7) $x^2=6x$

　 $x^2-6x=0$

　 $x(x-6)=0$

よって、 $x=0,6$ ・・・答

(8) $3x^2-2x=3x$

　 $3x^2-5x=0$

　 $x(3x-5)=0$

よって、 $x=0, \frac{5}{3}$ ・・・答

練習問題03-2-1 以下の2次方程式をとけ

(1) $x^2-5x-14=0$ 　(2) $x^2+2x-24=0$

(3) $x^2-11x+18=0$ 　(4) $x^2+10x-24=0$

(5) $x^2+x=18-2x$ 　(6) $x^2-1=x+5$

練習問題03-2-2 以下の2次方程式をとけ

(1) $x^2+6x+9=0$ 　 (2) $x^2-10x+25=0$

(3) $x^2-2x=2x-4$ 　(4) $x^2=6x-9$

練習問題03-2-3 以下の2次方程式をとけ

(1) $x^2+4x=0$ 　　(2) $x^2-2x=0$

(3) $3x^2-2x=0$ 　 (4) $2x^2+x=x^2-3x$

練習問題03-2-4 (混ざった問題) 以下の2次方程式をとけ

(1) $(x-2)(2x-1)=0$ 　　 (2) $x(x-3)=0$

(3) $(2x+3)^2=0$ 　　　　　(4) $x^2+4x-12=0$

(5) $x^2-3x=0$ 　 (6) $x^2=16$

(6) $x^2-8x+16=0$ 　　 (7) $4x^2=15$

(8) $x^2+5x+6=0$ 　　 (9) $x^2-5x=24-7x$

(10) $2x^2-3=0$ 　　　　 (11) $x^2=4x$

(12) $x^2+7x+50=1-7x$ 　(13) $x^2-8x=-15$

(14) $3x^2-2x=0$ 　　　　 (15) $\frac12 x^2-6=0$

3.3. 係数が付く場合

例題03-3　以下の2次方程式を解け

(1) $3x^2+21x+30=0$ 　　　 (2) $-x^2-4x-4=0$

(3) $\frac12 x^2-\frac32 x+1=0$ 　　　 (4) $0.2x^2+1.2x+1.6=0$

解説

因数分解するとき、 $x^2$ の前の数字は消去することを考える。

消去出来ない場合は、次にやる解の公式を使おう。

今回の場合、

　(1)全部の項を3で割る

　(2)全部の項に-1を掛ける

　(3)全部の項に2を掛ける

　(4)全部の項を10倍して2で割る

というように、同じ数字を、全部の項に掛けたり割ったりする。

※ $x^2$ の前の数字を共通因数としてくくってもよい。

解答

(1) $3x^2+21x+30=0$

　全部の項を3で割ると

　　 $x^2+7x+10=0$

　　 $(x+2)(x+5)=0$

よって、 $x=-2,-5$ ・・・答

(2) $-x^2-4x-4=0$

　全部の項に-1を掛ける。

　つまり、全部の項のプラマイを逆にすればよい。

　　 $x^2+4x+4=0$

　　 $(x+2)^2=0$

よって、 $x=-2$ ・・・答

(3) $\frac12 x^2-\frac32 x+1=0$

　全部の項に2を掛ける

　　 $x^2-3x+2=0$

　　 $(x-1)(x-2)=0$

よって、 $x=1,2$ ・・・答

(4) $0.2x^2+1.2x+1.6=0$

全部の項を10倍して2で割る

　　 $x^2+6x+8=0$

　　 $(x+2)(x+4)=0$

よって、 $x=-2,-4$ ・・・答

練習問題03-3　以下の2次方程式を解け

(1) $2x^2-2x-4=0$ 　　　 (2) $-x^2=-8x+16$

(3) $-2x^2+21x=x^2+36$ 　 (4) $\frac12x^2+\frac52x+3=0$

(5) $0.1x^2+x+2.5=0$ 　　(6) $-0.3x^2-0.6x+4.5=0$

4. 2次方程式を解く③　解の公式

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ( $a≠0$ )の解は

　　　　　　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

もし因数分解出来なくても、この公式を使えば、解くことが出来る。

計算量が多くなるので、できるだけ因数分解で解いた方が早い。

なお、残念ながらこの公式は暗記したほうがよい。

例

　 $2x^2+3x-1=0$

まず、a, b, c の値を確認する。

　　 $a=2$ ,　 $b=3$ ,　 $c=-1$

これを先程の公式に代入する。

　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　 $=\frac{-3±\sqrt{3^2-4×2×(-1)}}{2×2}$

　　 $=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}$ ・・・答

※ルートの中の部分が負の数になることはない。(中学範囲では)

　もし、負の数になったらどこか計算が間違っている。

　-4acの符号ミスか、式を立てる時点で間違っていることが多い。

例題04　以下の2次方程式を解け

(1) $2x^2-5x+1=0$ 　　(2) $2x^2+4x+1=0$

(3) $2x^2-9x+9=0$ 　　(4) $4x^2+12x+9=0$

解説

a, b, cの値を確認して、慎重に計算していこう

(1) $2x^2-5x+1=0$ 　→　 $a=2, b=-5,c=1$

解の公式に代入すると

　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　 $=\frac{+5±\sqrt{25-4×2×1}}{2×2}$

　　 $=\frac{5±\sqrt{17}}{4}$ ・・・答

(2) $2x^2+4x+1=0$ 　→　 $a=2, b=4,c=1$

解の公式に代入すると

　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　 $=\frac{-4±\sqrt{16-4×2×1}}{2×2}$

　　 $=\frac{-4±\sqrt{8}}{4}$

　　 $=\frac{-4±2\sqrt{2}}{4}$

2で約分すると、

　　 $=\frac{-2±\sqrt{2}}{2}$ ・・・答

※ $\frac{-1±2\sqrt{2}}{2}$ のようにしない。

　約分はすべての項について行う。

(3)

ルートが取れたなら、+の場合と－の場合をそれぞれ計算する必要がある。

　 $2x^2-9x+9=0$ 　→　 $a=2,b=-9,c=9$

解の公式に代入すると

　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　 $=\frac{+9±\sqrt{81-4×2×9}}{2×2}$

　　 $=\frac{+9±\sqrt{9}}{4}$

　　 $=\frac{+9±3}{4}$ 　※ $\frac{+9+3}{4}$ と $\frac{+9-3}{4}$ を計算

　　 $=\frac{12}{4}, \frac{6}{4}$

　　 $=3, \frac{3}{2}$ ・・・答

(4) $4x^2+12x+9=0$

　 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　 $=\frac{-12±\sqrt{144-4×4×9}}{2×4}$

　　 $=\frac{-12±\sqrt{0}}{8}$

ルートの中が完全に消える。

　　 $=\frac{-12}{8}$

　　 $=-\frac{3}{2}$ ・・・答

このようにルートの中が0になる場合、重解を持つ

逆に、重解をもつなら、ルートの中に0になる。

※もちろん(4)は因数分解してもよい

　(4) $4x^2+12x+9=0$

　　 $(2x+3)^2=0$

　　　 $x=-\frac{3}{2}$ ・・・答

解答

(1) $2x^2-5x+1=0$ 　

　 $x=\frac{+5±\sqrt{25-4×2×1}}{2×2}$

　　 $=\frac{+5±\sqrt{17}}{4}$ ・・・答

(2) $2x^2+4x+1=0$

　 $x=\frac{-4±\sqrt{16-4×2×1}}{2×2}$

　　 $=\frac{-4±2\sqrt{2}}{4}$

　　 $=\frac{-2±\sqrt{2}}{2}$ ・・・答

(3) $2x^2-9x+9=0$ 　　

　 $x=\frac{+9±\sqrt{81-4×2×9}}{2×2}$

　　 $=\frac{+9±3}{4}$

　　 $=3, \frac{3}{2}$ ・・・答

(4) $4x^2+12x+9=0$

　 $x=\frac{-12±\sqrt{144-4×4×9}}{2×4}$

　　 $=-\frac{3}{2}$ ・・・答

練習問題04　以下の2次方程式を解け

(1) $x^2-3x-3=0$

(2) $2x^2+5x-3=0$

(3) $3x^2+x-4=0$

(4) $x^2+4x+2=0$

5.演習問題

演習問題　以下の2次方程式を解け

(1) $x^2-64=0$

(2) $x^2-x-56=0$

(3) $5x^2-15=0$

(4) $x^2+3x=0$

(5) $x^2+\frac 13 x$

(6) $2x^2-24x+40=0$

(7) $x^2-6x+9=0$

(8) $x^2+3x+1=0$

(9) $x^2+4x-3=0$

(10) $0.2x^2-1.2x-5.4=0$

(11) $-2x^2+5x+6=0$

(12) $x^2+\frac12 x-1=0$

(13) $\frac12 x^2+\frac52 x+2=0$

6.解答

練習問題・解答

練習問題01

　① $x^2+2x=0$ 　2次方程式　　　

　② $x^2-3=x^2-3x$ 　移項すると $x^2$ が消える

　③ $(x-3)(x-2)=5$ 　　2次方程式

　④ $x(x+2)=(x-2)(x+2)$ 　展開. 移項, 整理すると $x^2$ が消える

　⑤ $x^2+(x+1)^2=4x$ 　2次方程式

　⑥ $x^2=13$ 　2次方程式

以上より、①③⑤⑥

練習問題02　以下の2次方程式を解け

(1)

　 $x^2=25$

　 $x=±5$ ・・・答　　

(2)

　 $x^2=7$

　 $x=±\sqrt{7}$ ・・・答

(3)

　 $x^2-18=0$

　 $x^2=18$

　 $x=±\sqrt{18}$

　 $x=±3\sqrt2$ ・・・答　

(4)

　 $x^2=\frac {25}{16}$

　 $x=±\frac54$ ・・・答

(5)

　 $x^2=\frac 74$

　 $x=±\frac{\sqrt7}{2}$ ・・・答

(6)

　 $x^2=\frac32$

　 $x=±\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$

　 $x=±\frac{\sqrt6}{2}$ ・・・答

(7)

　 $\frac13 x^2=3$

　 $x^2=9$

　 $x=±3$

(8)

　 $49x^2=9$

　 $x^2=\frac{9}{49}$

　 $x=±\frac{3}{7}$

(9)

　 $2x^2-25=0$

　 $x^2=\frac{25}{2}$

　 $x=±\frac{5}{\sqrt2}$

　 $x=±\frac{5\sqrt2}{2}$ ・・・答　

練習問題03-1　

(1) $x=1,3$ 　　(2) $x=3,-5$

(3) $x=2$ 　　　(4) $x=-4$

(5) $x=0,3$ 　　(6) $x=5,\frac32$

(7) $x=0,-\frac13$ 　　 (8) $x=\frac12$

練習問題03-2-1

(1)

　 $x^2-5x-14=0$

　 $(x-7)(x+2)=0$

　 $x=7,-2$ ・・・答

(2)

　 $x^2+2x-24=0$

　 $(x+6)(x-4)=0$

　 $x=-6,4$ ・・・答

(3)

　 $x^2-11x+18=0$

　 $(x-2)(x-9)=0$

　 $x=2,9$ ・・・答

(4)

　 $x^2+10x-24=0$

　 $(x-2)(x+12)=0$

　 $x=2,-12$ ・・・答

(5)

　 $x^2+x=18-2x$

　 $x^2+3x-18=0$

　 $(x-3)(x+6)=0$

　 $x=3,-6$ ・・・答

(6)

　 $x^2-1=x+5$

　 $x^2-x-6=0$

　 $(x-3)(x+2)=0$

　 $x=3,-2$ ・・・答

練習問題03-2-2

(1)

　 $x^2+6x+9=0$ 　

　 $(x+3)^2=0$

　 $x=-3$ ・・・答

(2)

　 $x^2-10x+25=0$

　 $(x-5)^2=0$

　 $x=5$ ・・・答

(3)

　 $x^2-2x=2x-4$

　 $x^2-4x+4=0$

　 $(x-2)^2=0$

　 $x=2$ ・・・答

(4)

　 $x^2=6x-9$

　 $x^2-6x+9=0$

　 $(x-3)^2=0$

　 $x=3$ ・・・答

練習問題03-2-3

(1)

　 $x^2+4x=0$

　 $x(x+4)=0$

　 $x=0,-4$ ・・・答

(2)

　 $x^2-2x=0$

　 $x(x-2)=0$

　 $x=0,2$ ・・・答

(3)

　 $3x^2-2x=0$

　 $x(3x-2)=0$

　 $x=0, \frac23$ ・・・答

(4)

　 $2x^2+x=x^2-3x$

　 $x^2+4x=0$

　 $x(x+4)=0$

　 $x=0,-4$ ・・・答

練習問題03-2-4

(1)

　 $(x-2)(2x-1)=0$

　 $x=2,\frac12$ ・・・答

(2)

　 $x(x-3)=0$

　 $x=0,3$ ・・・答

(3)

　 $(2x+3)^2=0$

　 $x=-\frac32$ ・・・答

(4)

　 $x^2+4x-12=0$

　 $(x-2)(x+6)=0$

　 $x=2,-6$ ・・・答

(5)

　 $x^2-3x=0$

　 $x(x-3)=0$

　 $x=0,3$ ・・・答

(6)

　 $x^2=16$

　 $x=±4$ ・・・答

(6)

　 $x^2-8x+16=0$

　 $(x-4)^2=0$

　 $x=4$ ・・・答

(7)

　 $4x^2=15$

　 $x^2=\frac{15}{4}$

　 $x=\frac{\sqrt{15}}{2}$ ・・・答

(8)

　 $x^2+5x+6=0$

　 $(x+2)(x+3)=0$

　 $x=-2,-3$ ・・・答

(9)

　 $x^2-5x=24-7x$

　 $x^2+2x-24=0$

　 $(x-4)(x+6)=0$

　 $x=4,-6$ ・・・答

(10)

　 $2x^2-3=0$

　 $x^2=\frac32$

　 $x=±\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$

　 $x=±\frac{\sqrt6}{2}$ ・・・答

(11)

　 $x^2=4x$

　 $x^2-4x=0$

　 $x(x-4)=0$

　 $x=0,4$ ・・・答

(12)

　 $x^2+7x+50=1-7x$

　 $x^2+14x+49=0$

　 $(x+7)^2=0$

　 $x=-7$ ・・・答

(13)

　 $x^2-8x=-15$

　 $x^2-8x+15=0$

　 $(x-3)(x-5)=0$

　 $x=3,5$ ・・・答

(14)

　 $3x^2-2x=0$

　 $x(3x-2)=0$

　 $x=0, \frac23$ ・・・答

(15)

　 $\frac12 x^2-6=0$

　 $x^2-12=0$

　 $x^2=12$

　 $x=±2\sqrt3$ ・・・答

練習問題03-3

(1)

　 $2x^2-2x-4=0$

　 $x^2-x-2=0$

　 $(x-2)(x+1)=0$

　 $x=2,-1$ ・・・答

(2)

　 $-x^2=-8x+16$

　 $-x^2+8x-16=0$

　 $x^2-8x+16=0$

　 $(x-4)^2=0$

　 $x=4$ ・・・答

(3)

　 $-2x^2+21x=x^2+36$

　 $-3x^2+21x-36=0$

　 $x^2-7x+12=0$

　 $(x-3)(x-4)=0$

　 $x=3,4$ ・・・答

(4)

　 $\frac12x^2+\frac52x+3=0$

　 $x^2+5x+6=0$

　 $(x+2)(x+3)=0$

　 $x=-2,-3$ ・・・答

(5)

　 $0.1x^2+x+2.5=0$

　 $x^2-10x+25=0$

　 $(x-5)^2=0$

　 $x=5$ ・・・答

(6)

　 $-0.3x^2-0.6x+4.5=0$

　 $x^2+2x-15=0$

　 $(x-3)(x+5)=0$

　 $x=3,-5$ ・・・答

練習問題04

(1)

　 $x^2-3x-3=0$

　　 $x=\frac{3±\sqrt{9+12}}{2}$

　　 $x=\frac{3±\sqrt{21}}{2}$ ・・・答

(2)

　 $2x^2+5x-3=0$

　　 $x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{4}$

　　 $x=\frac{-5±7}{4}$

　　 $x=\frac{2}{4}$ , $\frac{-12}{4}$

　　 $x=\frac{1}{2}$ , $-3$ ・・・答

(3)

　 $3x^2+x-4=0$

　　 $x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{12}$

　　 $x=\frac{-1±7}{12}$

　　 $x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}$ ・・・答

(4)

　 $x^2+4x+2=0$

　　 $x=\frac{-4±\sqrt{16-8}}{2}$

　　 $x=\frac{-4±2\sqrt{2}}{2}$

　　 $x=-2±\sqrt{2}$ ・・・答

演習問題・解答

(1)

　 $x^2-64=0$

　 $x^2=64$

　 $x=±8$ ・・・答

(2)

　 $x^2-x-56=0$

　 $(x-8)(x+7)=0$

　 $x=8,-7$ ・・・答

(3)

　 $5x^2-15=0$

　 $x^2-3=0$

　 $x^2=3$

　 $x=±\sqrt3$ ・・・答

(4)

　 $x^2+3x=0$

　 $x(x+3)=0$

　 $x=0,-3$ ・・・答

(5)

　 $x^2+\frac 13 x$

　 $x(x+\frac13)$

　 $x=0,-\frac13$ ・・・答

(6)

　 $2x^2-24x+40=0$

　 $x^2-12x+20=0$

　 $(x-2)(x-10)=0$

　 $x=2,10$ ・・・答

(7)

　 $x^2-6x+9=0$

　 $(x-3)^2=0$

　 $x=3$ ・・・答

(8)

　 $x^2+3x+1=0$

　　 $x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2}$

　　 $x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$ ・・・答

(9)

　 $x^2+4x-3=0$

　　 $x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2}$

　　 $x=\frac{-4±2\sqrt7}{2}$

　　 $x=-2±\sqrt7$ ・・・答

(10)

　 $0.2x^2-1.2x-5.4=0$

　 $x^2-6x-27=0$

　 $(x-9)(x+3)=0$

　 $x=9,-3$ ・・・答

(11)

　 $-2x^2+5x+6=0$

　 $2x^2-5x-6=0$

　　 $x=\frac{5±\sqrt{25+48}}{2}$

　　 $x=\frac{5±\sqrt{73}}{2}$ ・・・答

(12)

　 $x^2+\frac12 x-1=0$

　 $2x^2+x-2=0$

　　 $x=\frac{-1±\sqrt{1+16}}{2}$

　　 $x=\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$ ・・・答

(13)

$\frac12 x^2+\frac52 x+2=0$

　 $x^2+5x+4=0$

　 $(x+1)(x+4)=0$

　 $x=-1,-4$ ・・・答

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