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数学の解説と練習問題

式の計算の利用(標～難)(計算の工夫・式の値・xy,x+y問題①・分数・割り算)

解説中3数学因数分解標準問題展開式の利用式の計算発展問題

今回は式の利用の練習問題の標準レベルを扱う。

少し公立高校レベルを超えている部分もある。

前回式の計算の利用と練習問題(基)

次回式の計算の利用(難)

1.3展開と因数分解の利用

　　1.3.1 式の利用と練習問題(基)

　　1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

　　1.3.3 式の利用と練習問題(難)

1.計算への利用
2.式の値への利用
3.x+yとxyの問題
4.分数が関連する問題
5.割り算と余りの問題
6.補足問題
7.演習問題
8.解答

1.計算への利用

例題01

(1) $58^2+58×42-42^2$

(2) $0.9×1.1×1.01$

(3) $2018×2020-2017×2021$

(4) $18^2+18×19+20^2+21×22+22^2$

＜出典:(4)大阪教育大付属池田＞

解説

　例題のように、項数がおおい計算問題は、

　　①組み合わせの工夫

　　②すべての数値を1つの基準に合わせる

　で解ける。

(1) $58^2+58×42-42^2$

　組み合わせを工夫して考える。

　　　 $=58×42+58^2-42^2$

　このように順番を入れ替え、

　　　前半は50を基準にして

　　　　 $58×42=(50+8)(50-8)$

　　　後半は因数分岐して

　　　　 $58^2-42^2=(58-42)(58+42)$

　このように、前回の計算の工夫を分けて使う

補足

　すべての数値を50基準にすると

　　 $58^2+58×42-42^2$

　　　 $=(50+8)^2+(50+8)(50-8)-(50-8)^2$

　　　 $=50^2+16×50+8^2+50^2-8^2-50^2+16×50-8^2$

　　　 $=50^2+16×50×2-8^2$

　　このようにしてもよいが、こっちのほうが面倒。

(2) $0.9×1.1×1.01$

　すべての数値1を基準にすると

　　 $=(1-0.1)(1+0.1)(1+0.01)$

　今回は順番の工夫を意識しなくても、

　前から展開していけばよい。

　　 $=(1-0.1)(1+0.1)(1+0.01)$

　　 $=(1-0.01)(1+0.01)$

　　 $=1-0.0001$

　あとは普通に計算すればよい。

　

(3) $2018×2020-2017×2021$

　すべての数値を2019を基準にする。

　　 $=(2019-1)(2019+1)-(2019-2)(2019+2)$

　　 $=2019^2-1-2019^2+2^2$

　　 $=-1+4$

　　 $=3$ ・・・答

　

(4) $18^2+18×19+20^2+21×22+22^2$

　すべての数字を20基準にする

　　 $=(20-2)^2+(20-2)(20-1)+20^2+(20+1)(20+2)+(20+2)^2$

　そのまま計算してもいいが、順番をいじって

　　 $=(20-2)^2+(20+2)^2　+(20-2)(20-1)+(20+1)(20+2)　+20^2$

　　 $=20^2-80+4+20^2+80+4　+20^2-60+2+20^2+60+2　+20^2$

　　 $=20^2 ×5+12$

　あとは普通に計算する。

解答

(1) $58^2+58×42-42^2$

　　 $=58×42+58^2-42^2$

　　 $=(50+8)(50-8)+(58-42)(58+42)$

　　 $=2500-64+16×100$

　　 $=4036$ 　・・・答

(2) $0.9×1.1×1.01$

　　 $=(1-0.1)(1+0.1)(1+0.01)$

　　 $=(1-0.01)(1+0.01)$

　　 $=1-0.0001$

　　 $=0.9999$ ・・・答

(3) $2018×2020-2017×2021$

　　 $=(2019-1)(2019+1)-(2019-2)(2019+2)$

　　 $=2019^2-1-2019^2+2^2$

　　 $=3$ ・・・答

(4) $18^2+18×19+20^2+21×22+22^2$

　　 $=(20-2)^2+(20+2)^2+(20-2)(20-1)+(20+1)(20+2)+20^2$

　　 $=20^2-80+4+20^2+80+4+20^2-60+2+20^2+60+2+20^2$

　　 $=20^2 ×5+12$

　　 $=2012$ ・・・答

練習問題01
(1) $102^2+101^2-99^2-98^2$
(2) $9.01×2.9×3.1-4.01×1.9×2.1$
(3) $1217^2-1219×1215$
(4) $(2003^2-2001×2003-2)÷2$
＜出典: (4) 桐蔭学園＞

2.式の値への利用

例題02

(1) $a=56, b=44$ のとき、 $a^2+ab-5a-5b$ の値を求めよ

(2) $x=32, y=51$ のとき、 $(x+y)^2-6x-6y+5$ の値を求めよ

(3) $a=-4, b=2$ のとき、 $(a-4b)^2-a^2+11ab-16b^2$ の値を求めよ。

＜出典: (3)洛南＞

解説

　前回の基本問題と比べ、式の変形のレベルが上がっただけである。

(1)

　先に式を因数分解してから代入する。

　　 $a^2+ab-5a-5b$

　　　 $=a(a+b)-5(a+b)$

　　　 $=(a+b)(a-5)$

　あとは、代入すればよい。

(2)

　因数分解の工夫で学んだ内容である

　　 $(x+y)^2-6x-6y+5$

　　　 $=(x+y)^2-6(x+y)+5$

　 $A=x+y$ とおくと

　　　 $=A^2-6A+5$

　　　 $=(A-1)(A-5)$

　　　 $=(x+y-1)(x+y-5)$

　 $x=32, y=51$ を代入して

　　　 $=82×78$

　　　 $=(80+2)(80-2)$

　あとは普通に計算すればよい。

(3)

　普通に展開すればよい

　　 $(a-4b)^2-a^2+11ab-16b^2$

　　　 $=a^2-8ab+16b^2-a^2+11ab-16b^2$

　　　 $=3ab$

　あとは普通に代入して計算する。

解答

(1)

　 $a^2+ab-5a-5b$

　　 $=a(a+b)-5(a+b)$

　　 $=(a+b)(a-5)$

　　 $=(56+44)(56-5)$

　　 $=5100$ ・・・答
(2)

　 $(x+y)^2-6x-6y+5$

　　 $=(x+y)^2-6(x+y)+5)$

　　 $=(x+y-1)(x+y-5)$

　　 $=82×78$

　　 $=(80+2)(80-2)$

　　 $=6400-4$

　　 $=6396$ ・・・答
(3)

　 $(a-4b)^2-a^2+11ab-16b^2$

　　 $=a^2-8ab+16b^2-a^2+11ab-16b^2$

　　 $=3ab$

　　 $=-24$ ・・・答

練習問題02

(1) $a=15.4,b=5.4$ のとき、 $10a^2-a(1+10b)+b$ の値を求めよ

(2) $x-y=3,a+b+c=4$ のとき、 $ax+bx+cx-ay-by-cy$ の値を求めよ

(3) $x=3,y=32$ のとき、 $(x+3y)^2-(x+3y)-2$ の値を求めよ

3.x+yとxyの問題

例題03

(1) $a+b=8,ab=-3$ のとき、① $a^2 b+ab^2$ と② $\frac1a+\frac1b$ の値を求めよ。

(2) $a+b=4.ab=2$ のとき、① $a^2+b^2$ と② $a^2-4ab+b^2$ の値を求めよ。

(3) $a+ \frac1a=3$ のとき、 $a^2+\frac{1}{a^2}$ の値を求めよ。

解説

よく出るタイプの問題。

いろいろな考え方があると思うが、

初手で、 $a+b$ を二乗する方法で解く。

(1)　

　①は因数分解、②は通分して計算すれば代入可能な形になる。

　　① $a^2 b+ab^2=ab(a+b)$

　　② $\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}$

　これに代入する

(2)

　いろいろと方法があるが、

　初手で $a+b=4$ の両辺を二乗してから、

　求めたい式に合わせていく

① $a^2+b^2$

　 $a+b=4$ の両辺を2乗すると

　　 $(a+b)^2=16$

　　 $a^2+2ab+b^2=16$

　 $a^2+b^2$ にするには2abが邪魔なので、両辺から引くと

　　 $a^2+2ab+b^2-2ab=16-2ab$

　　 $a^2+b^2=16-2ab$

　　 $a^2+b^2=12$ 　・・・答

② $a^2-4ab+b^2$

　条件の $a+b=4$ の両辺を二乗すると

　　　 $(a+b)^2=4^2$

　　　 $a^2+2ab+b^2=16$

　 $a^2-4ab+b^2$ にするには両辺に6ab引けばいいから

　　　 $a^2+2ab+b^2-6ab=16-6ab$

　　　 $a^2-4ab+b^2=16-6ab$

　　　 $a^2-4ab+b^2=4$ 　・・・答

(3)

　(2)と変わらない。初手で $a+ \frac1a=3$ を二乗すればよい

　　 $a+ \frac1a=3$ より

　　　 $(a+ \frac1a)^2=3^2$

　　　 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$

　2が邪魔なので両辺から引く

　　　 $a^2+2+\frac{1}{a^2}-2=9-2$

　　　 $a^2+\frac{1}{a^2}=7$ ・・・答

補足

色々やり方がある。

標準以上なら、③の方法がおすすめ

①初手でx+yの条件を二乗する。

　初めてやる場合、これがわかりやすいだろうか

　今回の解答はこの手法で書いている。

② $(　　)^2$ の形が出るようにxyの項を調節する

例: $a+b=4.ab=2$ のとき $a^2-4ab+b^2$ の値

　　 $(　　)^2$ の形が出るようにabの項を調整すると

　　　 $a^2-4ab+b^2$

　　　　 $=a^2+2ab+b^2-6ab$

　　　　 $=(a+b)^2-6ab＝4$

③公式で $x^2+y^2$ を先に出しておく

　展開公式 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ より

　　 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

　が成り立つ。これを覚えるor自分で作ってから解くパターン

例: $a+b=4.ab=2$ のとき $a^2-4ab+b^2$ の値

　　公式より

　　　　 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

　　　　 $a^2+b^2=12$

　　よって、

　　　　 $a^2-4ab+b^2=12-4ab＝4$

解答

(1)

　①

　　 $a^2 b+ab^2$

　　　 $=ab(a+b)$

　　　 $=8×(-3)$

　　　 $=-24$ ・・・答

　②

　　 $\frac1a+\frac1b$

　　　 $=\frac{a+b}{ab}$

　　　 $=-\frac{8}{3}$ ・・・答

(2)

　①

　　 $a+b=4$ の両辺を二乗し

　　　 $a^2+2ab+b^2=16$

　　　 $a^2+2ab+b^2-2ab=16-2ab$

　　　 $a^2+b^2=16-2ab$

　　　 $a^2+b^2=12$ 　・・・答

　②

　　 $a+b=4$ の両辺を二乗し

　　　 $a^2+2ab+b^2=16$

　　　 $a^2+2ab+b^2-6ab=16-6ab$

　　　 $a^2-4ab+b^2=16-6ab$

　　　 $a^2-4ab+b^2=4$ 　・・・答

(3)

　 $a+ \frac1a=3$ の両辺を二乗し

　　　 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$

　　　 $a^2+2+\frac{1}{a^2}-2=9-2$

　　　 $a^2+\frac{1}{a^2}=7$ ・・・答

　　

練習問題03

(1) $a+b=10, ab=3.4$ のとき、 $a^3 b+2a^2 b^2+ab^3$ の値を求めよ

(2) $a+b=6.ab=-3$ のとき、 $a^2+3ab+b^2$ の値を求めよ。

(3) $a-b=2,ab=5$ のとき、 $a^2+b^2$ の値を求めよ。

(4) $a+ \frac2a=4$ のとき、 $a^2+\frac{4}{a^2}$ の値を求めよ

4.分数が関連する問題

例題04
(1) $x : y = 2 : 1$ のとき $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-5xy+y^2 }$ の値を求めよ
(2) $\frac1x+\frac1y =6$ のとき $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2 y+xy^2}$ の値を求めよ。

解説

　約分によって文字を消去する。

　「条件式＝k」とおいても解けるが、次回に回す。

(1)

　　 $x : y = 2 : 1$ より、 $x=2y$

　これを代入し

　　 $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-5xy+y^2 }$

　　　 $=\frac{4y^2+4y^2+y^2}{4y^2-10y^2+y^2}$

　　　 $=-\frac{9y^2}{5y^2}$

　 $y^2$ で約分し

　　　 $=-\frac95$ 　・・・答

　このように約分によって文字を消去する

(2)

　 $\frac1x+\frac1y =6$ の両辺に $xy$ をかけて

　　 $x+y=6xy$ 　・・・①

　与式の分母と分子を因数分解すると

　 $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2 y+xy^2}$

　　 $=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)}$

　　 $=\frac{36x^2 y^2}{6x^2 y^2}$ (①を代入)

　 $6x^2 y^2$ で約分して

　　 $=6$ 　・・・答

解答

(1) $x : y = 2 : 1$ より $x=2y$

　　 $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-5xy+y^2 }$

　　　 $=\frac{4y^2+4y^2+y^2}{4y^2-10y^2+y^2}$

　　　 $=-\frac{9y^2}{5y^2}$

　　　 $=-\frac95$ 　・・・答

(2)　 $\frac1x+\frac1y =6$ より $x+y=6xy$

　 $\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2 y+xy^2}$

　　 $=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)}$

　　 $=\frac{36x^2 y^2}{6x^2 y^2}$

　　 $=6$ 　・・・答

練習問題04
(1) $x=4,y= \frac32$ のとき、 $\frac{x^2-4xy+4y^2}{x-2y}$ の値を求めよ。
(2) $x : y = 3 : 1$ のとき、 $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$ の値を求めよ。
(3) $\frac1x-\frac1y=4$ のとき、 $\frac{x^3 y-2x^2 y^2+xy^3}{x^3 y^2-x^2 y^3}$ の値を求めよ。

5.割り算と余りの問題

例題05

(1) 6で割ると1余る数の平方を4で割った余りを求めよ。

(2) 2で割ると1余る数と、4で割ると2余る数の積は2で割り切れることを示せ。

解説

　まず、これを思い出そう

　　a割ったときに余りがbである整数xは

　　　　 $x=an+b$ (nは整数)

　　とおける。

　つまり

　　　5で割って余りが2の整数は $5n+2$

　　　3で割って余りが1の整数は $3n+1$

　　　7で割って余りが4の整数は $7n+4$

　とおける。

　

　だから逆に考えると

　　 $5n+2$ は 5で割れば2余る数

　　 $3(n^2+n)+1$ は 3で割れば1余る数

　　 $7(n^2+2n+3)+4$ は 7で割れば4余る数

　といえる。

(1)

　　6で割ると1余る数の平方を変形して

　　　4(　　)+　　　

　　の形に変形すれば、　　　の部分が4で割った余りになる。

　つまり、以下のようにすればよい。

　「6で割ると1余る数を $6n+1$ (nは整数）とおくと

　　この数の平方は

　　　　 $(6n+1)^2$

　　　　　 $=36n^2+12n+1$

　　　　　 $=4(9n^2+3n)+1$

　　よって余りは1　・・・答」

(2)

　別々の数なので違う文字でおこう。

　　2で割ると1余る数を $2n+1$ (nは整数)

　　4で割ると2余る数を $4m+2$ (mは整数)

　とおく。

　　あとは問題文の通りに積を求める

　　　 $(2n+1)(4m+2)$

　　　　 $=8mn+4m+4n+2$

　　2で割るので2(　　)+　　の形にする

　　　 $=2(4mn+2m+2n+1)$

　よって、2で割り切れる。　・・・答

解答

(1)

　6で割ると1余る数を $6n+1$ (nは整数)とおく

　　　 $(6n+1)^2$

　　　　 $=36n^2+12n+1$

　　　　 $=4(9n^2+3n)+1$

　nは整数なので、 $9n^2+3n$ は整数

　よって余りは1　・・・答

(2)

　　2で割ると1余る数を $2n+1$ (nは整数)

　　4で割ると2余る数を $4m+2$ (mは整数)

　とおく。これらの積は

　　 $(2n+1)(4m+2)$

　　　 $=8mn+4m+4n+2$

　　　 $=2(4mn+2m+2n+1)$

　m, nは整数なので $4mn+2m+2n+1$ は整数　

　よって、2で割ると1余る数と、4で割ると2余る数の積は2で割り切れる。

練習問題05

　6で割ると3余る整数 $a$ と、6で割ると4余る整数 $b$ について、 $a+b, ab$ を6で割ったあまりをそれぞれ求めよ。

＜出典: 土佐高＞

6.補足問題

補足例題

　3で割り切れない整数の平方を3で割るとあまりは必ず1であることを証明せよ

解説

　3で割り切れない整数は2パターンある

　nを整数とすると、以下のようにおける

　　3で割って1余る数　 $3n+1$

　　3で割って2余る数　 $3n+2$

　これらを別々に平方して余りを求めていく

① $3n+1$ のとき

　 $(3n+1)^2$

　　 $=9n^2+6n+1$

　　 $=3(3n^2+2n)+1$

　よって余りは1

② $3n+2$ のとき

　 $(3n+2)^2$

　　 $=9n^2+12n+4$

　　 $=9n^2+12n+3+1$

　　 $=3(3n^2+4n+1)+1$

　よって余りは1

①②より両方のパターンで余りが1になった

だから、 3で割り切れない整数の平方を3で割るとあまりは必ず1である

このように場合わけが必要な問題もある。

7.演習問題

演習問題01　以下の計算をせよ。

(1) $202×198-199×201$

(2) $101^2+52^2-48^2$

(3) $19^2-21×19-18×22+20^2$

(4) $265×263+266×266-266×264-264×264$ 　

＜出典: (4)中央大付属＞

演習問題02　以下の各問に答えよ

(1) $x=68, y=25$ のとき、 $x^2+32x+xy+32y$ の値を求めよ

(2) $x=0.125,y=8$ のとき、 $(x+2y)^2-x^2+5xy-4y^2$ の値を求めよ

(3) $a+b-2,ab=-1$ のとき、 $(a^2-1)(b^2-1)$ の値を求めよ

(4) $a-b=4,(a-1)(b+1)=5$ のとき、 $a^2 b-ab^2$ の値を求めよ。

(5) $a+\frac1a=4$ のとき、 $a^4+\frac{1}{a^4}$ の値を求めよ

(6) $ab=4,ab^2-a^2b+a-b=48$ のとき、 $a^2+b^2$ の値を求めよ

(7) $x ∶2 = 2 ∶ y$ のとき、 $\frac{4-x-y}{(x-2)(y-2)}$ の値を求めよ。

(8) $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=2$ のとき、 $\frac{2x^2+xy+2y^2}{x^2+y^2}$ の値を求めよ。

(9) $\frac1x-\frac1y=2$ のとき、 $\frac{-x^2 y^2+x^2 y-xy^2}{x^2 -2xy+y^2 }$ の値を求めよ。

＜出典 (3)海城高 (6)西大和(7)愛知高(9)灘高＞

演習問題03

　自然数aを3で割ると1余り、自然数bを6で割ると5余るとき、 $3a^2+6b^2$ を9で割った余りを求めよ。

＜出典: 西大和高＞

8.解答

練習問題01
(1) $102^2+101^2-99^2-98^2$

　　 $=102^2-98^2+101^2-99^2$

　　 $=(102+98)(102-98)+(101+99)(101-99)$

　　 $=200×4+200×2$

　　 $=200×6$

　　 $=1200$ ・・・答

＜別解＞

　 $102^2+101^2-99^2-98^2$

　　 $=(100+2)^2+(100+1)^2-(100-1)^2-(100-2)^2$

　　 $=400+200+200+400$

　　 $=1200$ ・・・答

(2) $9.01×2.9×3.1-4.01×1.9×2.1$

　　 $=2.9×3.1×9.01-1.9×2.1×4.01$

　　 $=(3-0.1)(3+0.1)(9+0.01)-(2-0.1)(2+0.1)(4+0.01)$

　　 $=(9-0.01)(9+0.01)-(4-0.01)(4+0.01)$

　　 $=9^2-0.01^2-4^2+0.01^2$

　　 $=9^2-4^2$

　　 $=65$ ・・・答

(3) $1217^2-1219×1215$

　　 $=1217^2-(1217+2)(1217-2)$

　　 $=1217^2-1217^2+4$

　　 $=4$ ・・・答

(4) $(2003^2-2001×2003-2)÷2$

　　 $=( (2002+1)^2-(2002-1)(2002+1)-2)÷2$

　　 $=(2002^2+2×2002+1-2002^2+1-2)÷2$

　　 $=2×2002÷2$

　　 $=2002$ ・・・答

＜別解＞

　 $(2003^2-2001×2003-2)÷2$

　　 $=(2003^2-2001×2003-(2003-2001) )÷2$

　　 $=(2003^2-2003-2001×2003+2001) )÷2$

　　 $=(2003(2003-1)-2001(2003-1) )÷2$

　　 $=(2003-2001)(2003-1)÷2$

　　 $=2×2002÷2$

　　 $=2002$ ・・・答

練習問題02

(1) $10a^2-a(1+10b)+b$

　　 $=10a^2-a-10ab+b$

　　 $=a(10a-1)-b(10a-1)$

　　 $=(10a-1)(a-b)$

　　 $=153×10$

　　 $=1530$ ・・・答

(2) $ax+bx+cx-ay-by-cy$

　　 $=(a+b+c)x-(a+b+c)y$

　　 $=(a+b+c)(x-y)$

　　 $=12$ ・・・答

(3) $(x+3y)^2-(x+3y)-2$

　　 $=(x+3y+1)(x+3y-2)$

　　 $=(3+96+1)(3+96-2)$

　　 $=100×97$

　　 $=9700$ ・・・答

練習問題03

(1)

　 $a^3 b+2a^2 b^2+ab^3$

　　 $=ab(a^2+2ab+b^2)$

　　 $=ab(a+b)^2$

　　 $=3.4×100$

　　 $=340$ ・・・答

(2)

　 $a+b=6$ の両辺を二乗し

　　 $a^2+2ab+b^2=36$

　両辺にabを加えて

　　 $a^2+3ab+b^2=36+ab$

　　 $a^2+3ab+b^2=33$ ・・・答

　※ $a^2+3ab+b^2=(a+b)^2+ab$ と変形して代入してもよい

(3)

　 $a-b=2$ の両辺を二乗し

　　 $a^2-2ab+b^2=4$

　両辺に2abを加え

　　 $a^2+b^2=4+2ab$

　　 $a^2+b^2=14$ ・・・答

　※ $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$ と変形して代入してもよい

(4)

　 $a+\frac2a=4$ の両辺を二乗し

　　 $a^2+4+\frac{4}{a^2}=16$

　両辺から4を引いて

　　 $a^2+\frac{4}{a^2}=12$ ・・・答

　※ $a^2+\frac{4}{a^2}=(a+\frac2a)^2-4$ と変形し代入してもよい。

練習問題04
(1)

　 $\frac{x^2-4xy+4y^2}{x-2y}$

　　 $=\frac{(x-2y)^2}{x-2y}$

　　 $=x-2y$

　　 $=4-3$

　　 $=1$ ・・・答
(2)

　 $x : y = 3 : 1$ より、 $x=3y$

　　 $\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}$

　　　 $=\frac{9y^2+3y^2+y^2}{9y^2-3y^2+y^2}$

　　　 $=\frac{13y^2}{7y^2}$

　　　 $=\frac{13}{7}$ ・・・答
(3)

　 $\frac1x-\frac1y=4$ より、 $y-x=4xy$

　　 $\frac{x^3 y-2x^2 y^2+xy^3}{x^3 y^2-x^2 y^3}$

　　 $\frac{xy(x^2-2xy+y^2)}{x^2 y^2 (x-y)}$

　　 $\frac{xy(x-y)^2}{x^2 y^2 (x-y)}$

　　 $\frac{x-y}{xy}$

　　 $=\frac{-4xy}{xy}$

　　 $=-4$ ・・・答

練習問題05

　m,nを整数とすると6で割ると3余る整数 $a$ と、6で割ると4余る整数 $b$ は

　　 $a=6m+3$ , $b=6n+4$

　とおける。

① $a+b$ について

　 $a+b$

　　 $=6m+3+6n+4$

　　 $=6m+6n+7$

　　 $=6(m+n+1)+1$

　m+n+1は整数だから、6で割った余りは1

② $ab$ について

　 $ab$

　　 $=(6m+3)(6n+4)$

　　 $=36mn+24m+18n+12$

　　 $=6(6mn+4m+3n+2)$

　6mn+4m+3n+2は整数だから、6で割った余りは0

演習問題01

(1) $202×198-199×201$

　　 $=(200+2)(200-2)-(200-1)(200+1)$

　　 $=200^2-4-200^2+1$

　　 $=-3$ ・・・答

(2) $101^2+52^2-48^2$

　　 $=(100+1)^2+(52-48)(52+48)$

　　 $=10000+200+1+4×100$

　　 $=10601$ ・・・答

＜別解＞

　 $101^2+52^2-48^2$

　　 $=(50×2+1)^2+(50+2)^2-(50-2)^2$

　　 $=50^2 ×4+4×50+1+50^2+4×50+4-50^2+4×50-4$

　　 $=50^2×4+12×50+1$

　　 $=10000+600+1$

　　 $=10601$ ・・・答

(3) $19^2-21×19-18×22+20^2$

　　 $=(20-1)^2-(20+1)(20-1)-(20-2)(20+2)+20^2$

　　 $=400-40+1-400+1-400+4+400$

　　 $=-34$ ・・・答

(4) $265×263+266×266-266×264-264×264$

　　 $=(264+1)(264-1)+(264+2)^2-(264+2)×264-264^2$

　　 $=264^2-1+264^2+4×264+4-264^2-2×264-264^2$

　　 $=-1+2×264+4$

　　 $=531$ 　・・・答

＜出典: (4)中央大付属＞

演習問題02　

(1) $x^2+32x+xy+32y$

　　 $=x(x+y)+32(x+y)$

　　 $=(x+32)(x+y)$

　　 $=100×93$

　　 $=9300$ ・・・答

(2) $(x+2y)^2-x^2+5xy-4y^2$

　　 $=x^2+4xy+4y^2-x^2+5xy-4y^2$

　　 $=9xy$

　　 $=9$

　※補足　以下の計算は覚えておこう

　　　25×4=100　125×8=1000

(3)

　 $a+b=-2$ の両辺を二乗し

　　 $a^2+2ab+b^2=4$

　　 $a^2+b^2=4-2ab$

　　 $a^2+b^2=6$

よって

　 $(a^2-1)(b^2-1)$

　　 $=a^2 b^2-(a^2+b^2)+1$

　　 $=(-1)^2-6+1$

　　 $=-4$ ・・・答

(4)

　 $(a-1)(b+1)=5$ より

　　 $ab+a-b-1=5$

　　 $ab=5-(a-b)+1$

　　 $ab=2$

よって

　 $a^2 b-ab^2$

　　 $=ab(a-b)$

　　 $=2×4$

　　 $=8$ ・・・答

(5)

　 $a+\frac1a=4$ を二乗し

　　 $a^2+2+\frac{1}{a^2}=16$

　　 $a^2+\frac{1}{a^2}=14$

　これを更に二乗し

　　 $a^4+2+\frac{1}{a^4}=196$

　　 $a^4+\frac{1}{a^4}=194$ ・・・答

(6)

　 $ab^2-a^2b+a-b=48$ より

　　 $ab(b-a)-(b-a)=48$

　　 $(b-a)(ab-1)=48$

　　 $(b-a)×3=48$

　　 $b-a=16$

これを二乗し

　 $a^2-2ab+b^2=256$

　　 $a^2+b^2=256-2ab$

　　 $a^2+b^2=248$ ・・・答

(7)

　　 $x ∶2 = 2 ∶ y$ より、 $xy=4$

　 $\frac{4-x-y}{(x-2)(y-2)}$

　　 $=\frac{4-x-y}{xy-2x-2y+4}$

　　 $=\frac{4-x-y}{8-2x-2y}$

　　 $=\frac{1}{2}$ ・・・答

(8)

　　 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=2$ より、 $x^2+y^2=2xy$

　 $\frac{2x^2+xy+2y^2}{x^2+y^2}$

　　 $=\frac{5xy}{2xy}$

　　 $=\frac52$ ・・・答

(9)

　　 $\frac1x-\frac1y=2$ より、 $y-x=2xy$

　 $\frac{-x^2 y^2+x^2 y-xy^2}{x^2 -2xy+y^2 }$

　　 $=\frac{xy(-xy+x-y)}{(x-y)^2}$

　　 $=\frac{xy(-xy-2xy)}{(-2xy)^2}$

　　 $=\frac{-3x^2 y^2}{4x^2 y^2}$

　　 $=-\frac34$ ・・・答

演習問題03

　m,nを自然数とすると、自然数a, bはそれぞれ

　　 $a=3m+1$ , $b=6n+5$

　とおける。

　　 $3a^2+6b^2$

　　　 $=3(a^2+2b^2)$

　　　 $=3( 9m^2+6m+72n^2+120n+51)$

　　　 $=9(3m^2+2m+24n^2+40n+27)$

　　よって、9で割った余りは0　・・・答

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