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数学の解説と練習問題

2次関数(変域、変域からの式の決定)(基~標)

中3数学解説 2次関数標準問題基礎問題関数変域・定義域・値域グラフ問題

今回は、xの2乗に比例する関数の変域について見ていく。公立入試頻出なので、確実に出来るようにしておこう。

　前回　グラフの書き方・グラフの特徴①②

　次回　変化の割合

1.例題01　変域①
2例題02　変域②式の決定
3.例題03 変域③　文字を含む変域
5. 演習問題
6.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

1.例題01　変域①

例えば、 $y=x+3$ において、 $x$ の変域が $-2≦x≦3$ のとき、

この変域の外にある部分は考えず、グラフも書かない。

f:id:keimathchem:20190317021216p:plain

このとき、 $y$ の値にも範囲(変域)があり、

　　　 $1≦y≦6$

になっていることがわかる。

例題01

(1) 関数 $y=x^2$ において $x$ の変域が次の①~③のとき、 $y$ の変域を求めなさい。

　① $-2≦x≦-1$ 　② $-1≦x≦$ 　③ $2≦x≦3$

(2) 関数 $y=-x^2$ において定義域が次の①~③のとき、値域を求めなさい。

　① $-2≦x≦-1$ 　② $-1≦x≦2$ 　③ $2≦x≦3$

解説

　変域の問題は必ずグラフを書いて考える。

※　定義域= $x$ の変域。

　　値域= $y$ の変域

　　両方の言葉に慣れてほしいので、今回は混ぜて出す。

(1)

　①～③のグラフは以下の通り

f:id:keimathchem:20190317022838p:plain

①

　 $x=-2$ で最大値 $y=4$

　 $x=-1$ で最小値 $y=1$

よって、 $1≦y≦4$ ・・・答

②

　 $x=2$ で最大値 $y=4$ はすぐに分かる。

では、 $x=-1$ で最小値 $y=1$ だろうか？

グラフをみると、 $y$ が最も小さくなるのは、 $y=0$ だとわかる。

つまり、 $0≦y≦4$ ・・・答

$x$ の変域が正の値と負の値にまたがっているとき、

$y=0$ が関わり、代入した値がそのまま $y$ の変域にならない

③

　 $x=3$ で最大値 $y=9$

　 $x=2$ で最小値 $y=4$

よって、 $4≦y≦9$ ・・・答

(2)

①～③のグラフは以下の通り

f:id:keimathchem:20190317024024p:plain

①

　 $x=-1$ で最大値 $y=-1$

　 $x=-2$ で最小値 $y=-4$

よって、 $-4≦y≦-1$ ・・・答

②

　 $x=2$ で最小値 $y=-4$

　 $x=-1$ のときは最大ではない！

　グラフをみると最大値は $y=0$

よって、 $-4≦y≦0$ ・・・答

③

　 $x=2$ で最大値 $y=-4$

　 $x=3$ で最小値 $y=-9$

よって、 $-9≦y≦-4$ ・・・答

つまり、

$x$ の変域が正の値と負の値にまたがっているとき、

　・ $a＞0$ ならば　 $y$ の最小値が $0$ であり

　　その値域は　 $0≦y≦??$ 　の形

　・ $a＜0$ ならば　 $y$ の最大値が $0$ であり

　　その値域は　 $??≦y≦0$ 　の形

である。これが以降の問題に深く関わってくる。

解答

(1)

① $1≦y≦4$ ・・・答

② $0≦y≦4$ ・・・答

③ $4≦y≦9$ ・・・答

(2)

① $-4≦y≦-1$ ・・・答

② $-4≦y≦0$ ・・・答

③ $-9≦y≦-4$ ・・・答

練習問題01

(1) 関数 $y=\frac12 x^2$ において $x$ の変域が $2≦x≦4$ のとき、 $y$ の変域を求めなさい。

(2) 関数 $y=-2x^2$ において $x$ の変域が $-2≦x≦3$ のとき、 $y$ の変域を求めなさい。

(3) 関数 $y=x^2$ において定義域が $-4≦x≦1$ のとき、値域を求めなさい。

2例題02　変域②式の決定

例題02

(1) 関数 $y=ax^2$ において, $x$ の変域が $1≦x≦3$ のとき, $y$ の変域は $b≦y≦27$ であった。 $a,b$ の値を求めなさい。

(2) 関数 $y=ax^2$ において, $x$ の変域が $-1≦x≦2$ のとき, $y$ の変域は $-20≦y≦0$ であった。 $a$ の値を求めなさい。

(3) 関数 $y=ax^2$ において, 定義域が $-2≦x≦4$ のとき, 値域は $-8≦y≦b$ であった。 $a,b$ の値を求めなさい。

(4) $-2≦x≦4$ のとき, 2つの関数 $y=ax^2$ と $y=x+b$ の値域は一致する。

　① $a＞0$ のとき, $a,b$ の値を求めなさい

　② $a＜0$ のとき, $a,b$ の値を求めなさい。

解説

変域の問題から式を求めるには、グラフを書いて対応する $x,y$ の値を確認する。

グラフを書くために、初手で放物線が上に凸か、下に凸かをチェックしよう。

対応する $x,y$ の値がわかったら $y=ax^2$ に代入すればよい。

(1)

$b≦y≦27$ という値域を見た瞬間に

　 $y$ の値が正だから $a＞0$

であることに気がつこう。グラフは

f:id:keimathchem:20190317025638p:plain

　 $x=3$ のとき $y$ が最大値 ( $y=27$ )をとる

よって、これらを代入し

　 $y=ax^2$

　 $27=9a$

　　 $a=3$ ・・・答

※　 $x=1$ のとき $y=-27$ でないことは、グラフを見ればわかる。

(2)

　 $-20≦y≦0$ をみると、

　　 $y$ の値が負なので。 $a＜0$ である。

　※ $y=0$ が最大値なので $a＜0$ である。

よって、グラフは以下のようになり

f:id:keimathchem:20190317030148p:plain

$x=2$ のとき、最小値 $y=-20$ であることがわかる。

これらを代入し

　 $y=ax^2$

　 $-20=4a$

　　 $a=-5$ ・・・答

ちゃんと、 $a＜0$ になっていることを確認しておこう。

(3)

　 $-8≦y≦b$ から $a＜0$ であり、

　定義域が正の値と負の値をまたがるので、

　 $y=0$ が最大値となり、 $b=0$ とわかる。

そのグラフは

f:id:keimathchem:20190317030541p:plain

　よって、 $x=4$ のとき $y=-8$ である

　代入すると

　　 $y=ax^2$

　　 $-8=16a$

　　　 $a=-\frac12$ ・・・答

※もちろん、グラフからも明らかに $b=0$ とわかる。

(4)

　 $-2≦x≦4$ のとき $y=x+b$ の値域は

　　 $-2+b≦y≦4+b$

　である。※1次関数の変域を復習しておこう。

　 $y=ax^2$ のほうも値域を出して

　これと比較すればよい。

①

$a＞0$ のとき　

定義域をみると、xの値が正と負をまたがっているので

　 $y=ax^2$ の最小値は $y=0$

また、 $x=4$ のとき $y=16a$ が最大値となるので、

$y=ax^2$ の値域は

　 $0≦y≦16a$

よって、

　 $-2+b=0$ 　 $4+b=16a$

この2式からa,bの値を求めれば良い。

②

$a＜0$ のとき

　 $y=ax^2$ の最大値は $y=0$

　 $x=4$ のとき、最小値[ tex:16a]

よって値域は

　 $16a≦y≦0$

つまり

　 $-2+b=16a$ , $b+4=0$

この2式からa,bの値を求めれば良い。

解答

(1)

$x=3$ のとき $y=27$ なので

　 $27=9a$

　　 $a=3$ ・・・答

関数の式は、 $y=3x^2$ となり

$x=1$ のとき $y=b$ であるから

　 $b=3×1^2$

　　 $b=3$ ・・・答

(2)

　 $x=2$ のとき $y=-20$

　　 $-20=4a$

　　　 $a=-5$ ・・・答

(3)

$x=4$ のとき $y=-8$

　 $-8=16a$

　 $a=-\frac12$ ・・・答

また、

　 $b=0$ ・・・答

(4)

$-2≦x≦4$ のとき $y=x+b$ の値域は

　　 $-2+b≦y≦4+b$

①

$a＞0$ のとき

$y=ax^2$ の値域は

　 $0≦y≦16a$

よって、　

　 $-2+b=0$

　　　 $b=2$ ・・・答

　　 $4+b=16a$

　　　 $a=\frac38$ ・・・答

②

$a＜0$ のとき

$y=ax^2$ の値域は

　 $16a≦y≦0$

よって、　

　 $4+b=0$

　　 $b=-4$ ・・・答

　 $-2+b=16a$

　　 $a=-\frac38$ ・・・答

練習問題02

(1) 関数 $y=ax^2$ において、 $x$ の変域が $-2≦x≦1$ のとき、 $y$ の変域は $-32≦y≦0$ であった。 $a$ の値を求めなさい。

(2) 関数 $y=ax^2$ において、定義域が $-2≦x≦3$ のとき、値域は $0≦x≦18$ となった。この関数の $1≦x≦4$ における値域を求めなさい。

(3) 関数 $y=ax^2$ において、 $x$ の変域が $-4≦x≦3$ のとき $y$ の変域が $-4≦y≦b$ であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

(4) $-3≦x≦2$ のとき、2つの関数 $y=ax^2$ ( $a＜0$ ) と $y=2x+b$ の値域が一致する。 $a,b$ の値をそれぞれ求めなさい

(5) $-1≦x≦2$ のとき、2つの関数 $y=ax^2$ と $y=bx+2$ の値域が一致する。 $a,b$ の値をそれぞれ求めなさい。ただし、 $a＞0$ , $b＜0$ とする。

3.例題03 変域③　文字を含む変域

例題03

(1) $y=-x^2$ で $x$ の変域が $a≦x≦4$ のとき、 $y$ の変域は $-16≦y≦-4$ であった。 $a$ の値を求めなさい。

(2)関数 $y=-\frac12 x^2$ において、定義域が $1≦x≦a$ のとき、 $y$ の変域は $-8≦y≦b$ であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

(3) 関数 $y=2x^2$ で $x$ の変域が $-2≦x≦a$ のとき、 $y$ の変域は $0≦y≦12$ であった。 $a$ の値を求めなさい。

(4) 関数 $y=-x^2$ において、定義域が $a≦x≦2$ のとき値域は $-9≦y≦b$ であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

解説

やはり、グラフを書いて対応する $x,y$ の値を確認する。

変域中に文字がある場合、文字が x軸のどのあたろに存在するかを考える。

(1)

$y$ の変域は $-16≦y≦-4$ である。

aは正の値でなければならない。

（aが負だと定義域が正負をまたがるから,

　値域は $-16≦y≦0$ となってしまう)

グラフを書くと

f:id:keimathchem:20190317032347p:plain

よって、

　 $x=a$ のとき $y=-4$

代入すると

　 $y=-x^2$

　 $-4=-a^2$

　 $a=±2$

aの値は正だから

　 $a=2$ ・・・答

(2)

$1≦x≦a$ より明らかに aは正の値をとる。

よってグラフは以下のようになり

f:id:keimathchem:20190317032421p:plain

　 $x=1$ のとき $y=b$

　 $x=a$ のとき $y=-8$

である。 $x=a$ , $y=-8$ を代入すると、

　 $y=-\frac12 x^2$

　 $-8=-\frac12 a^2$

　　 $a=±4$

aは正の値だから

　 $a=4$ ・・・答

$x=1$ のとき $y=b$ なので、

　 $y=-\frac12 x^2$

　 $b=-\frac12×1^2$

　　 $b=-\frac12$ ・・・答

(3)

$0≦y≦12$ 　つまり　 $y=0$ が最小値なので、

定義域は、正の値と負の値にまたがっている。

よって、aの値は正である。

グラフは以下のようになる。

※ $x=-2$ を代入すると $y=8$ であることも調べておこう。

f:id:keimathchem:20190317032454p:plain

つまり、

　 $x=a$ のとき $y=12$

でなければならない。

これを代入し

　 $y=2x^2$

　 $12=2a^2$

　　 $a=±\sqrt6$

aは正の値だから

　　 $a=\sqrt6$ ・・・答

(4)

定義域が $a≦x≦2$ より、aは2以下である。

また、 $x=2$ のとき $y=-4$

であるから、

　 $x=a$ のとき $y=-9$

である必要がある。

これを代入すると、

　 $y=-x^2$

　 $-9=-a^2$

　　 $a=±3$

aは2以下なので

　 $a=-3$ ・・・答

定義域が正の値と負の値にまたがっているので、

最大値は $y=0$

よって、 $b=0$ ・・・答

解答

(1)

　 $x=a$ のとき $y=-4$

を $y=ax^2$ に代入し

　 $a=±2$

$a=-2$ のとき $y$ の最大値は0なので不適

　 $a=2$ ・・・答

(2)

$x=a$ , $y=-8$ を代入すると、

　　 $a=±4$

aは1以上の値なので

　 $a=4$ ・・・答

$x=1$ , $y=b$ を代入すると

　 $b=-\frac12$ ・・・答

(3)

$x=a$ , $y=12$ を代入し

　 $a=±\sqrt6$

aは正の値だから

　 $a=\sqrt6$ ・・・答

(4)

$x=a$ , $y=-9$ を代入すると、

　 $a=±3$

aは2以下なので

　 $a=-3$ ・・・答

定義域が $-2≦x≦2$ のとき

値域は $-9≦y≦0$

よって、 $b=0$ ・・・答

練習問題03

(1) 関数 $y=-x^2$ において、定義域が $a≦x≦-3$ のとき、 $y$ の変域は $-16≦y≦b$ であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

(2) 関数 $y=2x^2$ において。 $x$ の変域が $a≦x≦4$ のとき、 $y$ の変域は $0≦y≦40$ であった。 $a$ の値を求めなさい。

(3) 関数 $y=\frac14 x^2$ において、定義域が $-2≦x≦a$ のとき値域は [texb:≦y≦4]であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

(4) 関数 $y=-x^2$ において、定義域が $-2≦x≦a$ のとき、 $y$ の変域は $-8≦y≦b$ であった。 $a, b$ の値を求めなさい。

5. 演習問題

(1) 関数 $y=-\frac12 x^2$ において、 $x$ の変域が $-2≦x≦3$ であるとき、 $y$ の変域を求めよ。

(2) 関数 $y=ax^2$ において、 $x$ の変域が $-1≦x≦4$ であるときの $y$ の変域が $0≦y≦6$ である。 $a$ の値を求めよ。

(3) 関数 $y=\frac13 x^2$ において、 $x$ の変域が $-2≦x≦1$ であるときの $y$ の変域が $0≦y≦a$ である。 $a$ の値を求めよ。

(4)関数 $y=ax^2$ (a≠0)の定義域が $-2≦x≦5$ のとき、値域が $b≦y≦15$ であった。 $a,b$ の値を求めよ

(5) 関数 $y=2x^2$ において、定義域が $a≦x≦3$ のとき、値域が $b≦x≦32$ であった。 $a,b$ の値を求めよ。

(6) 関数 $y=ax^2$ (a≠0)の定義域が $-2≦x≦3$ のとき、値域が $-4≦y≦b$ であった。 $a,b$ の値をもとめよ

(7) 関数 $y=x^2$ ( $a≦x≦1$ ) の最大値が5である。このとき、 $a$ の値と、 $y$ の最小値を求めなさい。

(8) 定義域が $-1≦x≦2$ のとき、2つの関数 $y=ax^2$ ( $a＞0$ ) と, $y=mx+4$ ( $m＜0$ ) の値域が一致するような $a, m$ の値を求めなさい。

(9) 2つの関数 $y=4x+a$ , $y=bx^2$ で $x$ の変域を $-2≦x≦c$ とすると、値域はともに $0≦y≦24$ となる。 $a, b ,c$ の値を求めなさい。

＜出典: (7)和洋国府台女子 (8)日本女子大付属(9)桐朋高校＞

6.解答

練習問題・解答

練習問題01

(1) $2≦y≦8$

(2) $-18≦y≦0$

(3) $0≦y≦16$

練習問題02

(1)

$x=-2$ のとき $y=-32$ であるから

　 $-32=4a$

　 $a=-8$ ・・・答

(2)

$x=3$ のとき $y=18$ であるから

　 $18=9a$

　 $a=2$

$y=2x^2$ ( $1≦x≦4$ )の値域は

　 $2≦y≦32$ ・・・答

(3)

$x=-4$ のとき, $y=-4$ であるから

　 $-4=16a$

　 $a=-\frac14$ ・・・答

一方で、 $y$ の最大値は0だから

$b=0$ 　

(4)

$y=2x+b$ の値域は

　 $b-6≦y≦b+4$

$y=ax^2$ の値域は

　 $9a≦y≦0$

よって、

　 $b+4=0$

　　 $b=-4$ ・・・答

　 $b-6=9a$

　　 $a=-\frac{10}{9}$ ・・・答

(5)

$y=bx+2$ の値域は

　 $2b+2≦y≦-b+2$

$y=ax^2$ の値域は

　 $0≦y≦4a$

よって、

　 $2b+2=0$

　　 $b=-1$ ・・・答

　 $-b+2=4a$

　　 $a=\frac34$ ・・・答

練習問題03

(1)

$x=a$ のとき $y=-16$ なので

　 $-16=-a^2$

　 $a=-4$ (a≦-3)・・答

$x=-3$ のとき $y=b$ なので

　 $b=-9$ ・・・答

(2)

$x=a$ のとき $y=40$

　 $2a^2=40$

　 $a=-2\sqrt5$ (a＜0)・・・答

(3)

$x=a$ のとき $y=4$

　 $\frac14 a^2=4$

　 $a=4$ (a≧-2)・・・答

このとき

　 $b=0$ ・・・答

(4)

$x=a$ のとき $y=-8$

　 $-8=-a^2$

　　 $a=2\sqrt2$ (a≧-2)・・・答

演習問題・解答

(1)

　 $-\frac92≦y≦0$ ・・・答

(2)

$x=4$ のとき $y=6$

　 $6=16a$

　 $a=\frac38$ ・・・答

(3)

$x=-2$ のとき $y=a$

　 $a=\frac43$ ・・・答

(4)

$x=5$ のとき $y=15$

　 $15=25a$

　　 $=a=/frac35$ ・・・答

また、 $b=0$ ・・・答

(5)

$x=a$ のとき $y=32$

　 $2a^2=32$ ・・・答

　 $a=-3\sqrt2$ (a≦3)

このとき、 $b=0$ ・・・答

(6)

$x=3$ のとき $y=-4$

　 $-4=9a$

　　 $a=-\frac49$

このとき、 $b=0$

(7)

$x=1$ のとき $y=1$ だから

$x=a$ のとき, $y=5$ である

よって

　 $a^2=5$

　 $a=-\sqrt5$ (a≦1)・・・答

このとき最小値は

　 $y=0$ ・・・答

※問題を言い換えると

　　 $a≦x≦1$ のとき $b≦y≦5$ であった。 $a,b$ の値は？

　と聞かれている。

(8)

　 $y=mx+4$ の値域は

　　 $2m+4≦y≦4-m$

　 $y=ax^2$ の値域は

　　 $0≦y≦4a$

よって、

　 $2m+4=0$

　　 $m=-2$ ・・・答

　 $4-m=4a$

　　 $a=\frac32$ ・・・答

(9)

$y=-4x+a$ の値域は

　 $-8+a≦y≦4c+a$

これが、 $0≦y≦24$ となるため

　 $-8+a=0$

　　 $a=8$ ・・・答

　 $4c+a=24$

　　 $c=4$ ・・・答

$y=bx^2$ は

　 $-2≦x≦4$ のとき $0≦ｙ≦24$

なので、ｂ＞0で $x=4$ のとき $y=24$

　 $16b=24$

　 $b=\frac32$ ・・・答