平方根の計算(展開の工夫・有理化・式の値)(標～難)

今回は、前回に引き続き計算問題を見ていく。

ただし、今回は少しむずかしいレベルを扱う。

前回←平方根の計算(基)

次回→平方根の利用(標～難)

　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

2.2 計算への準備と平方根の性質(基)

　2.3 平方根の計算

　　2.3.1 平方根の計算と四則計算・展開・式の値(基)

　　2.3.2 平方根の計算・展開・有利化・式の決定標～難)　

1.計算の練習
2.計算の工夫
3.有理化の応用
4.平方根の値
5.式の値
6.式の値②(難)
7.式の値③
8.連立方程式
9.解答

1.計算の練習

　初めに、前回より少しむずかしいレベルの計算を練習する。

　チャレンジしてみよう。

例題01

(1) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt3}÷\sqrt{\frac{14}{243}}×\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}$ 　

(2) $\sqrt{18}+\sqrt{27}+\frac{3}{\sqrt2}-\frac{\sqrt6}{2\sqrt{2}}$

(3) $(\sqrt{5}-\sqrt{12})(\sqrt{5}+\sqrt{27})-(\sqrt{15}+1)(\sqrt{15}-3)$

(4) $(\sqrt5-\sqrt2)^2+\frac{30}{\sqrt{10}}-\frac{\sqrt{10}}{2}$

(5) $\frac{ \sqrt{3}+\sqrt{2} }{\sqrt{6}}-\frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2}{3}$

＜出典: (1) 金沢大付属＞

解答

(1) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt3}÷\sqrt{\frac{14}{243}}×\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}$ 　

　　 $=\sqrt{\frac{98×243×8}{3×14×7}}$

　　 $=\sqrt{81×8}$

　　 $=18\sqrt2$ ・・・答

(2) $\sqrt{18}+\sqrt{27}+\frac{3}{\sqrt2}-\frac{\sqrt6}{2\sqrt{2}}$

　　 $=3\sqrt2+3\sqrt3+\frac{3}{2}\sqrt2-\frac12\sqrt3$

　　 $=\frac92\sqrt2+\frac72\sqrt3$ ・・・答

(3) $(\sqrt{5}-\sqrt{12})(\sqrt{5}+\sqrt{27})-(\sqrt{15}+1)(\sqrt{15}-3)$

　　 $=5+\sqrt{15}-18-15+2\sqrt{15}+3$ ・・・答

　　 $=3\sqrt{15}-25$ ・・・答

(4) $(\sqrt5-\sqrt2)^2+\frac{30}{\sqrt{10}}-\frac{\sqrt{10}}{2}$

　　 $=5-2\sqrt{10}+2+3\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{2}$

　　 $=7+\frac12\sqrt{10}$ ・・・答

(5) $\frac{ \sqrt{3}+\sqrt{2} }{\sqrt{6}}-\frac{(\sqrt3+\sqrt2)^2}{3}$

　　 $=\frac{ 3\sqrt2+2\sqrt3 }{ 6 } - \frac{ 5+2\sqrt6 }{3}$

　　 $=\frac{3\sqrt2+2\sqrt3-10-4\sqrt6}{6}$ ・・・答

2.計算の工夫

例題02　次の計算をせよ。

(1) $(\sqrt3-\sqrt2-2)(\sqrt3-\sqrt2) - (\sqrt3-\sqrt2)^2$

(2) $(\sqrt7+\sqrt3+1)(\sqrt7-\sqrt3-1)$

(3) $(1+\sqrt3-\sqrt2)^2$

(4) $(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2-2)$

＜出典:(4)開成高校＞

解説

　展開の工夫で学んだ方法を利用していく。→展開の工夫

　(1)同じ部分をAとおく

　 (2)マイナス1でくくって同じ部分をAとおく

　 (3)(4)一部の項をまとめて考える

(1) $(\sqrt3-\sqrt2-2)(\sqrt3-\sqrt2) - (\sqrt3-\sqrt2)^2$

　同じ部分をAとおけば、計算が楽になるのだった。

　よって、 $A=\sqrt3-\sqrt2$ とおく

　　 $=(A-2)×A-A^2$

　　 $=-2A$

　あとはAを元に戻す。

(2) $(\sqrt7+\sqrt3+1)(\sqrt7-\sqrt3-1)$

　プラスマイナスが異なる場合は、－1でくくると良い。

　　 $=(\sqrt7+\sqrt3+1)(\sqrt7-(\sqrt3+1))$

　このようにして、 $A=\sqrt3+1$ とすればよい。

　　 $=(\sqrt7+A)(\sqrt7-A)$

　　 $=7-A^2$

　あとはAを元に戻す。

(3) $(1+\sqrt3-\sqrt2)^2$

　このタイプは一部の項をまとめて考えるのだった。

　例えば、 $A=\sqrt3-\sqrt2$ とすると

　　 $=(1+A)^2$

　　 $=1+2A+A^2$

　あとはAを元に戻す。

(4) $(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2-2)$

　 $\sqrt3+\sqrt2$ と $\sqrt3-\sqrt2$ の掛け算は

　二乗－二乗になっているので計算しやすい。

　よって、これらをカタマリにして考えよう。

　つまり、 $A=\sqrt3+\sqrt2$ , $B=\sqrt3-\sqrt2$ とする

　　 $=A(B-2)$

　　 $=AB-2A$

　あとはA,Bを元に戻す。

解答

(1) $(\sqrt3-\sqrt2-2)(\sqrt3-\sqrt2) - (\sqrt3-\sqrt2)^2$

　 $A=\sqrt3-\sqrt2$ とおく

　　 $=(A-2)×A-A^2$

　　 $=-2A$

　　 $=-2\sqrt3+2\sqrt2$ ・・・答

(2) $(\sqrt7+\sqrt3+1)(\sqrt7-\sqrt3-1)$

　　 $=(\sqrt7+\sqrt3+1)(\sqrt7-(\sqrt3+1))$

　 $A=\sqrt3+1$ とする

　　 $=(\sqrt7+A)(\sqrt7-A)$

　　 $=7-A^2$

　　 $=7-(\sqrt3+1)^2$

　　 $=7-3-2\sqrt3-1$

　　 $=3-2\sqrt3$ ・・・答

(3) $(1+\sqrt3-\sqrt2)^2$

　 $A=\sqrt3-\sqrt2$ とすると

　　 $=(1+A)^2$

　　 $=1+2A+A^2$

　　 $=1+2(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt3-\sqrt2)^2$

　　 $=1+2\sqrt3-2\sqrt2+3-2\sqrt6+2$

　　 $=6+2\sqrt3-2\sqrt2-2\sqrt6$ ・・・答

(4) $(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2-2)$

　 $A=\sqrt3+\sqrt2$ , $B=\sqrt3-\sqrt2$ とすると

　　 $=A(B-2)$

　　 $=AB-2A$

　　 $=(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)-2(\sqrt3+\sqrt2)$

　　 $=3-2-2\sqrt3-2\sqrt2$

　　 $=1-2\sqrt3-2\sqrt2$ ・・・答

練習問題02

$(1) (\sqrt5+2-\sqrt3)(\sqrt5+2+\sqrt3) \\(2) (\sqrt3-\sqrt2+1)(\sqrt3+\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)^2 \\(3) (\sqrt5+\sqrt2-2)^2 \\(4) (2\sqrt3+1)^2-2(\sqrt12+1)$

3.有理化の応用

例題03　分母を有理化せよ

(1) $\frac{1}{\sqrt3-1}$ 　(2) $\frac{\sqrt2}{3+\sqrt5}$ 　(3) $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}$

解説

　分母がA＋Bの形なら、分母と分子にA－Bを掛ける

　分母がA－Bの形なら、分母と分子にA＋Bを掛ける

つまり、分母のプラスマイナス逆を掛ければよい。

こうすることで、二乗－二乗の公式でき、有理化出来る。

やり方を確認しよう。

(1) $\frac{1}{\sqrt3-1}$

　分母が $\sqrt3-1$ なので、分母と分子に $\sqrt3+1を掛ける$

　このように分母と分子にプラスマイナス逆の物を掛ける。

　　 $\frac{1}{\sqrt3-1}$

　　　 $=\frac{1×(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}$

　　　 $=\frac{\sqrt3+1}{3-1}$

　　　 $=\frac{\sqrt3+1}{2}$ ・・・答

(2) $\frac{\sqrt2}{3+\sqrt5}$

　分母が $3+\sqrt5$ なので、プラマイ逆の $3-\sqrt5$ を掛ける

　 $\frac{\sqrt2}{3+\sqrt5}$

　　 $=\frac{\sqrt2(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

　　 $=\frac{3\sqrt2-\sqrt{10}}{9-5}$

　　 $=\frac{3\sqrt2-\sqrt{10}}{4}$ ・・・答

(3) $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}$

分母が $\sqrt2+1$ なので $\sqrt2-1$ を掛ける

　 $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}$

　　 $=\frac{(\sqrt2-1)^2}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}$

　　 $=\frac{3-2\sqrt2}{2-1}$

　　 $=3-2\sqrt2$ ・・・答

解答

(1) $\frac{1}{\sqrt3-1}$

　　 $=\frac{1×(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}$

　　 $=\frac{\sqrt3+1}{2}$ ・・・答

(2) $\frac{\sqrt2}{3+\sqrt5}$

　　 $=\frac{\sqrt2(3-\sqrt5)}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

　　 $=\frac{3\sqrt2-\sqrt{10}}{4}$ ・・・答

(3) $\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}$

　　 $=\frac{(\sqrt2-1)^2}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}$

　　 $=3-2\sqrt2$ ・・・答

補足　分母が3項の場合(難)

　分母が3項の場合は、例題02(3)のように、

　一部の項のカタマリをAとおいて、項数をへらす。

　例 $\frac{1}{1-\sqrt2+\sqrt3}$ を有理化せよ

解答

　 $A=1-\sqrt2$ とすると

　　 $\frac{1}{1-\sqrt2+\sqrt3}$

　　　 $=\frac{1}{A+\sqrt3}$

　分母と分子に $A-\sqrt3$ を掛けると

　　　 $=\frac{A-\sqrt3}{(A+\sqrt3)(A-\sqrt3)}$

　　　 $=\frac{A-\sqrt3}{A^2-3}$

　　　 $=\frac{1-\sqrt2-\sqrt3}{(1-\sqrt2)^2-3}$

　　　 $=\frac{1-\sqrt2-\sqrt3}{-2\sqrt2}$

　もちろん、分母の $\sqrt2$ も有理化しよう

　　　 $=\frac{\sqrt2(1-\sqrt2-\sqrt3)}{-2\sqrt2×\sqrt2}$

　　　 $=\frac{\sqrt2-2-\sqrt6}{-4}$

　　　 $=\frac{-\sqrt2+2+\sqrt6}{4}$ ・・・答

練習問題03　以下の式を有理化せよ。

(1) $\frac{1}{\sqrt5+2}$ 　(2) $\frac{\sqrt8}{4+\sqrt6}$ 　(3) $\frac{\sqrt7-3}{\sqrt7+3}$

4.平方根の値

例題04-1

　 $\sqrt{2}=1.41$ , $\sqrt{20}=4.47$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sqrt{200}$ 　(2) $\sqrt{2000}$ 　(3) $\sqrt{0.2}$

解説

問題の式を「与えられた条件 $\sqrt{2}$ , $\sqrt{20}$ 」と「具体的な大きさがわかる数」で表すことを考えればよい。この例題は頻出のパターンで、2や20を100倍、10000倍して考える。

(1) $\sqrt{200}$

　200は2の100倍なので、

　 $\sqrt{200}$

　　 $=\sqrt{2}×\sqrt{100}$

　　 $=\sqrt{2}×10$

　　 $=1.41×10$

　　 $=14.1$ ・・・答

　このように、 $\sqrt{100}$ は整数に出来る（具体的な大きさがわかる)ことを利用する。

(2) $\sqrt{2000}$

　2000は2の1000倍だから

　　 $\sqrt{2000}=\sqrt2×\sqrt{1000}$

　と変形すると、 $\sqrt{1000}$ の具体的な値がわからない。

　10倍や1000倍を考えていると解けない。

　そこで、 $\sqrt{20}$ を使うと

　2000は20の100倍だから、

　　 $\sqrt{2000}$

　　　 $=\sqrt{20}×\sqrt{100}$

　　　 $=\sqrt{20}×10$

　　　 $=4.47×10$

　　　 $=44.7$ ・・・答

(3) $\sqrt{0.2}$

　0.2は20を100で割った値だから、

　　 $\sqrt{0.2}$

　　　 $=\sqrt{20}÷\sqrt{100}$

　　　 $=4.47÷10$

　　　 $=0.447$ ・・・答

　( $\sqrt2$ で考えると、 $\sqrt{10}$ の値がわからないので解けない。)

解答

(1) $\sqrt{200}$

　　 $=\sqrt{2}×10$

　　 $=14.1$ ・・・答

(2) $\sqrt{2000}$

　　 $=\sqrt{20}×10$

　　 $=44.7$ ・・・答

(3) $\sqrt{0.2}$

　　 $=\sqrt{20}÷10$

　　 $=0.447$ ・・・答

例題04-2　 $\sqrt{2}=1.41$ , $\sqrt{20}=4.47$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sqrt{18}$ 　(2) $\sqrt{40}$ 　(3) $\sqrt{5}$

解説

　同じく、問題の式を「与えられた条件」と「具体的な大きさがわかる数」に変形できるかを考えればよい。 $a\sqrt b$ の形にしたり、有理化したり、約分したり、条件の乗除を考えると良い。

(1) $\sqrt{18}$

　とりあえず、 $a\sqrt b$ の形にする。

　　 $\sqrt{18}$

　　　 $=3\sqrt2$

　　　 $=3×1.41$

(2) $\sqrt{40}$

　 $a\sqrt b$ の形になおしても、

　　 $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

　となり、 $\sqrt{10}$ の値がわからないので解けない。

　そこで、以下のようにする

　　 $\sqrt{40}$

　　　 $=\sqrt{20}×\sqrt2$

　 $\sqrt{2}$ も $\sqrt{20}$ も値が与えられているので

　ここに代入すれば、 $\sqrt{40}$ の値が出せる。

(3) $\sqrt{5}$

　 $\sqrt5$

　　 $=\sqrt20÷\sqrt4$

　　 $=\sqrt20÷2$

ここに代入する。

解答

(1) $\sqrt{18}$

　　 $=3\sqrt2$

　　 $=3×1.41$

　　 $=4.23$ ・・・答

(2) $\sqrt{40}$

　　 $=\sqrt{20}×\sqrt2$

　　 $=4.47×1.41$

　　 $=6.3027$ ・・・答

(3) $\sqrt5$

　　 $=\sqrt20÷\sqrt4$

　　 $=\sqrt20÷2$

　　 $=4.47÷2$

　　 $=2.235$ ・・・答

練習問題04

(1) $\sqrt{3}=1.73$ 　 $\sqrt{30}=5.47$ のとき以下の値を求めよ

　① $\sqrt{48}$ 　　② $\sqrt{300}$

　③ $\sqrt{0.3}$ 　　④ $\sqrt{0.75}$

(2) $\sqrt{2}=1.414$ , $\sqrt{3}=1.732$ のとき, $\sqrt{0.135}$ の値を求めよ。

　ただし、少数第4位まででよい。

5.式の値

例題05

(1) $a=1+\sqrt5$ , $b=-1+\sqrt5$ のとき, $(a+b)^2-2(a+1)(b+1)$ の値を求めよ。

(2) $a=\sqrt5-2$ $,b=\sqrt5+2$ のとき, $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)$ の値を求めよ

(難)(3) $a=2-\sqrt3$ , $b=2+\sqrt3$ のとき, $a^5 b^3+a^4 b^6$ の値を求めよ

解説

前回よりも計算が少しややこしくなっただけ。

基本通りに、代入する前に展開したり、因数分解したりする。

(3)は単純に因数分解を考えると難しい。

　 $ab$ の値が整数になることを利用する。

(1)

　とりあえず計算してみよう

　 $(a+b)^2-2(a-1)(b+1)$

　　 $=a^2+2ab+b^2-2ab-2a+2b+2$

　　 $=a^2-2a+b^2+2b+2$

　ここに代入してもよい。

　もっと、計算を楽にするには、

　 $=a^2-2a+b^2+2b+2$

　 $=a^2-2a+1+b^2-2b+1$

　 $=(a-1)^2+(b+1)^2$

とするとよい。こちらの方が計算が楽になる。

(2)

　そのまま代入すると、二重根号(ルートの中にルートがある)

　になり計算出来なくなる。

　なので、とりあえず展開してみる

　 $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)$

　　 $=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2$

　　 $=a-b$

　これに代入すると非常に楽だ。

(3)

　単純に共通因数をとると

　　 $a^5 b^3+a^4 b^6$

　　　 $=a^4b^3(a+b^3)$

　となり、ややこしい。

　条件を見てみると、 $ab$ の値が整数になる。

　　 $ab= (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$

　 $ab=1$ と非常に計算しやすい形になった。

　これを利用しよう。

　　 $a^5 b^3+a^4 b^6$

　　　 $=a^3 b^3×a^2+a^4 b^4×b^2$

　　　 $=1^3×a^2+1^4×b^2$

　　　 $=a^2+b^2$

ここに代入すると、楽に計算できる。

本問のように、 $ab$ の値が整数になり、これを利用する問題もあると知っておこう。

解答

(1)

　 $(a+b)^2-2(a-1)(b+1)$

　　 $=a^2+2ab+b^2-2ab-2a+2b+2$

　　 $=a^2-2a+b^2+2b+2$

　　 $=a^2-2a+1+b^2-2b+1$

　　 $=(a-1)^2+(b+1)^2$

　 $a=1+\sqrt5$ , $b=-1+\sqrt5$ より

　　 $=(1+\sqrt5-1)^2+(-1+\sqrt5+1)^2$

　　 $=(\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2$

　　 $=5+5$

　　 $=10$ ・・・答

(2)

　 $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)$

　　 $=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2$

　　 $=a-b$

　 $a=\sqrt5-2$ $,b=\sqrt5+2$ なので

　　 $=(\sqrt5-2)-(\sqrt5+2)$

　　 $=-4$ ・・・答

(3)

　 $ab= (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$

よって、

　 $a^5 b^3+a^4 b^6$

　　 $=a^3 b^3×a^2+a^4 b^4×b^2$

　　 $=1^3×a^2+1^4×b^2$

　　 $=a^2+b^2$

$a=2-\sqrt3$ , $b=2+\sqrt3$ より

　　 $=(2-\sqrt3)^2+(2+\sqrt3)^2$

　　 $=14$ ・・・答

練習問題05

(1) $x=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$ , $y=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ のとき $x+y,\ x^2+xy+y^2$ の値を求めよ。

(2) $a=\sqrt5-2$ , $b=\sqrt5+2$ のとき, $(\sqrt a+\sqrt b)^2$ の値を求めよ。

(3) $a=2-\sqrt3$ , $b=2+\sqrt3$ ,のとき, $a^5 b^4+a^2 b^3$ の値を求めよ。

6.式の値②(難)

例題06　以下の問いに答えよ。

(1) $x=\sqrt3+1$ のとき $x^3-x^2-4x+4$ の値を求めよ

(2) $x=\sqrt3+2$ のとき $x^4-3x^3+2x^2-x+7$ の値を求めよ。

＜出典: (1) 久留米大付属＞

解説

前回の例題4(4)でも軽く触れた。　→前回

前回は普通に代入して計算しても良かった。

ところが、今回は、xの3乗や4乗がややこしい。

よって

　①因数分解

　②次数を下げる

で考えていく。

(1)

　因数分解してみる

　 $x^3-x^2-4x+4$

　　 $=x^2(x-1)-4(x-1)$

　　 $=(x-1)(x^2-4)$

　　 $=(x-1)(x-2)(x+2)$

ここに代入する。

(2)

　 $x^4-3x^3+2x^2-x+7$ は因数分解出来ない。

だから、 $x=\sqrt3+2$ をいじる方で考える

　 $x=\sqrt3+2$

　 $x-2=\sqrt3$

両辺を二乗すれば、ルートが消せる

　 $x^2-4x+4=3$

この式から、 $x^4$ , $x^3$ , $x^2$ が出せると知っておこう。

　① $x^2-4x+4=3$ より $x^2=4x-1$

　② $x^3$

　　　 $=x^2×x$

　　　 $=(4x-1)x$

　　　 $=4x^2-x$

　　　 $=4(4x-1)-x$

　　　 $=15x-4$

　③ $x^4$

　　　 $=x^3×x$

　　　 $=(15x-4)x$

　　　 $=15x^2-4x$

　　　 $=15(4x-1)-4x$

　　　 $=56x-15$

つまり、①②③より

　 $x^4-3x^3+2x^2-x+7$

　　 $=(56x-15)-3(15x-4)+2(4x-1)-x+7$

　　 $=18x+2$

ここに代入するとよい。

このように、

　① $x=\sqrt3+2$ から $x^2-4x+4=3$ とする方法

　② ①を利用して $x^4$ . $x^3$ を出せる

この2点を知っておこう。

そうすると、次数を下げて簡単に出来る。

解答

(1) $x^3-x^2-4x+4$

　　 $=x^2(x-1)-4(x-1)$

　　 $=(x-1)(x^2-4)$

　　 $=(x-1)(x-2)(x+2)$

　 $x=\sqrt3+1$ であるから

　　 $=\sqrt3(\sqrt3-1)(\sqrt3+3)$

　　 $=\sqrt3(3+2\sqrt3-3)$

　　 $=6$ ・・・答

(2)

　 $x=\sqrt3+2$

　 $x-2=\sqrt3$

　 $x^2-4x+4=3$

　よって、

　　① $x^2=4x-1$

　　② $x^3=15x-4$

　　③ $x^4=56x-15$

　①②③より、

　　 $x^4-3x^3+2x^2-x+7$

　　　 $=(56x-15)-3(15x-4)+2(4x-1)-x+7$

　　　 $=18x+2$

　　 $x=\sqrt3+2$ なので

　　　 $=18\sqrt3+38$ ・・・答

補足　割り算による解き方

　高校でならう、文字式の割り算を使う方法もある。

例題

　(2) $x=\sqrt3+2$ のとき, $x^4-3x^3+2x^2-x+7$ の値を求めよ。

　 $x^2-4x+4=3$ より, $x^2-4x+1=0$

$x^4-3x^3+2x^2-x+7$ を、 $x^2-4x+1$ で割り算すると

　　 $x^4-3x^3+2x^2-x+7$

　　　　 $=(x^2-4x+1)(x^2+x+5)+18x+2$

　　　　 $=0×(x^2+x+5)+18x+2$ 　( $x^2-4x+1=0$ なので)

　　　　 $=18x+2$

としてもよいが、中学校では習わないのでオススメしない。

練習問題06　以下の問いに答えよ。

$x=\sqrt5+1$ のとき $x^4-5x^3+x^2-3$ の値を求めよ。

7.式の値③

例題07　以下の問いに答えよ。

(1) $x+y=\sqrt3$ , $xy=-2$ のとき, $x^2 y+xy^2$ の値を求めよ。

(2) $x+y=\sqrt3$ , $xy=-2$ のとき, $x^2+y^2$ の値を求めよ。

(3) $x=\frac{\sqrt2+2}{2}$ , $y=\frac{\sqrt2-2}{2}$ のとき, $x^2+xy+y^2$ の値を求めよ。

(難)(4) $x+y=\sqrt3$ , $xy=-2$ のとき, $x^2-y^2$ の値を求めよ。

(難)(5) $x+y=\sqrt3$ , $x-y=-\sqrt2$ のとき. $xy$ の値を求めよ。

解説

(1)~(3)は展開の利用で学んだ内容を思い出そう

　→展開の利用(標) (例題03)

(4)はx-y経由パターン (5)は両辺を二乗し連立する。

(4)(5)も展開の利用で学んだ

　→展開の利用(難) ((4)→例題01, (5)→例題05)

(1)

　普通に因数分解してから代入すればよい。

　　 $x^2 y+xy^2$

　　　 $=xy(x+y)$

　あとは代入して計算するだけ

(2)

　 $x+y=\sqrt3$ を二乗する

　　 $x^2+2xy+y^2=3$

　両辺から $2xy$ を引いて

　　 $x^2+y^2=3-2xy$

　ここに代入して計算する。

(3)

　 $x+y$ と $xy$ の値を求める

　　 $x+y=\sqrt2$ , $xy=-\frac12$

　あとは(2)と同じ

　　 $x+y=\sqrt2$ なので

　　 $x^2+2xy+y^2=2$

　両辺から $xy$ を引いて

　　 $x^2+xy+y^2=2-xy$

　ここに代入する。

(4)

　　 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

　であるから、 $x-y$ の値がほしい。

　そこで、 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ の値を求め、平方根をとる。

　　 $x+y=\sqrt3$

　いつもどおり二乗して

　　 $x^2+2xy+y^2=3$

　両辺から4xy引いて

　　 $x^2-2xy+y^2=3-4xy$

　　 $(x-y)^2=11$

　　 $x-y=±\sqrt{11}$

　よって、

　　 $x^2-y^2$

　　　 $=(x+y)(x-y)$

　　　 $=±\sqrt{33}$ ・・・答

(5) $x+y=\sqrt3$ , $x-y=-\sqrt2$ のとき. $xy$ の値を求めよ。

　条件の式を二乗して　

　　①　 $x+y=\sqrt3$ 　→　 $x^2+2xy+y^2=3$

　　②　 $x-y=-\sqrt2$ 　→　 $x^2-2xy+y^2=2$

①－②を計算すればxyだけが残る。

①－②より

　　 $4xy=1$

　　 $xy=\frac14$ ・・・答

解答

(1)

　 $x^2 y+xy^2$

　　　 $=xy(x+y)$

　 $x+y=\sqrt3$ , $xy=-2$ より

　　　 $=-2\sqrt3$ ・・・答

(2)

　 $x+y=\sqrt3$ より

　　 $x^2+2xy+y^2=3$

　よって、

　　 $x^2+y^2$

　　　 $=3-2xy$

　　　 $=3+4$

　　　 $=7$ ・・・答

(3)

　　 $x+y=\sqrt2$ , $xy=-\frac12$

　 $x+y=\sqrt2$ より

　　 $x^2+2xy+y^2=2$

　よって、

　　 $x^2+xy+y^2$

　　　 $=2-xy$

　　　 $=2+\frac12$

　　　 $=\frac52$ ・・・答

(4)

　 $x+y=\sqrt3$ より

　　 $x^2+2xy+y^2=3$

よって

　　 $(x-y)^2$

　　　 $=x^2-2xy+y^2$

　　　 $=3-4xy$

　　　 $=11$

すなわち

　　 $x-y=±\sqrt{11}$

　よって、

　　 $x^2-y^2$

　　　 $=(x+y)(x-y)$

　　　 $=±\sqrt{33}$ ・・・答

(5)

　 $x+y=\sqrt3$ と $x-y=-\sqrt2$ より

　　 $x^2+2xy+y^2=3$ ・・・①

　　 $x^2-2xy+y^2=2$ ・・・②

①－②より

　　 $4xy=1$

　　 $xy=\frac14$ ・・・答

練習問題07　以下の問いに答えよ。

(1) $x+y=\sqrt5$ , $xy=-1$ のとき $x^2+xy+y^2$ の値を求めよ。

(2) $x= \frac{2}{\sqrt7-\sqrt5}$ , $y=\frac{2}{\sqrt7+\sqrt5}$ のとき, $x^2+y^2-3xy$ の値を求めよ。

(3) $x+y=\sqrt7$ , $xy=-1$ のとき, $x^2 y-xy^2$ の値を求めよ。

(4) $a+b=\sqrt{14}$ , $a-b=\sqrt{10}$ のとき, $ab$ の値を求めよ。

(5) $(1+\sqrt3)x=2$ , $(1-\sqrt3)y=-2$ のとき, $(2+\sqrt3)x^2+(2-\sqrt3)y^2$ の値を求めよ。

＜出典: (4)洛南高校 (5)久留米大付属＞

8.連立方程式

例題08

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt2 x+\sqrt3 y=2 \\ \sqrt3 x-\sqrt2 y=2　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ を解け。

解説

　中2で習った加減法で解ける。

　係数をあわせ、足し算や引き算をして文字を減らせばよい。

　　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt2 x+\sqrt3 y=2・・・① \\ \sqrt3 x-\sqrt2 y=2・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　① $×\sqrt2$ +② $×\sqrt3$ を計算する

　　　 ${\array{\quad \ \ 2x+\sqrt6 y=2\sqrt2 \\ +\quad 3x-\sqrt6 y=2\sqrt3 \\ \hline \quad \quad \quad \quad 5x \quad \quad \quad =2\sqrt2+2\sqrt3} }$

このようにすれば、

　 $x=\frac{2\sqrt2+2\sqrt3}{5}$

となる。

　 $y$ については、① $×\sqrt3$ －② $×\sqrt2$ から出せばよい

解答

　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt2 x+\sqrt3 y=2・・・① \\ \sqrt3 x-\sqrt2 y=2・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

① $×\sqrt2$ +② $×\sqrt3$ より

　 $5x=2\sqrt2+2\sqrt3$

　 $x=\frac{2\sqrt2+2\sqrt3}{5}$

① $×\sqrt3$ －② $×\sqrt2$ より

　 $5y=2\sqrt3-2\sqrt2$

　 $y=\frac{2\sqrt3-2\sqrt2}{5}$

以上より

　 $x=\frac{2\sqrt2+2\sqrt3}{5}$ 、 $y=\frac{2\sqrt3-2\sqrt2}{5}$

練習問題07

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sqrt3 x+\sqrt2 y=5 \\ \sqrt3 x-\sqrt2 y=3　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$ を解け。

9.解答

練習問題02

(1) $(\sqrt5+2-\sqrt3)(\sqrt5+2+\sqrt3)$

　　 $=(\sqrt5+2)^2-3$

　　 $=4+4\sqrt5$ ・・・答

(2) $(\sqrt3-\sqrt2+1) )(\sqrt3+\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)^2$

　　 $=(\sqrt3-(\sqrt2-1)(\sqrt3+\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)^2$

　　 $=3-(\sqrt2-1)^2+(\sqrt2-1)^2$

　　 $=3$ ・・・答

(3) $(\sqrt5+\sqrt2-2)^2$

　　 $=(\sqrt5+\sqrt2)^2-4(\sqrt5+\sqrt2)+4$

　　 $=11+2\sqrt{10}-4\sqrt5-4\sqrt2$ ・・・答

(4) $(2\sqrt3+1)^2-2(\sqrt12+1)$

　　 $=(2\sqrt3+1)^2-2(2\sqrt3+1)$

　　 $=(2\sqrt3+1)(2\sqrt3-1)$

　　 $=11$ ・・・答

練習問題03　

(1) $\frac{1}{\sqrt5+2}$ 　

　　 $=\frac{\sqrt5-2}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}$

　　 $=\sqrt5-2$ ・・・答

(2) $\frac{\sqrt8}{4+\sqrt6}$ 　

　　 $\frac{2\sqrt2(4-\sqrt6)} {(4+\sqrt6)(4-\sqrt6)}$

　　 $=\frac{8\sqrt2-4\sqrt3}{10}$

　　 $=\frac{4\sqrt2-2\sqrt3}{5}$ ・・・答

(3) $\frac{\sqrt7-3}{\sqrt7+3}$

　　 $=\frac{(\sqrt7-3)^2}{(\sqrt7+3)(\sqrt7-3)}$

　　 $=\frac{16-6\sqrt7}{-2}$

　　 $=-8+3\sqrt7$ ・・・答

練習問題04

(1) $\sqrt{3}=1.73$ 　 $\sqrt{30}=5.47$ のとき

　① $\sqrt{48}$

　　　 $=4\sqrt3$

　　　 $=4×1.73$

　　　 $=6.92$ ・・・答

　② $\sqrt{300}$

　　　 $=\sqrt{3}×\sqrt{100}$

　　　 $=1.73×10$

　　　 $=17.3$ ・・・答

　③ $\sqrt{0.3}$

　　　 $=\sqrt{30}÷\sqrt{100}$

　　　 $=5.47÷10$

　　　 $=0.547$ ・・・答

　④ $\sqrt{0.75}$

　　　 $=5\sqrt{0.03}$

　　　 $=5×\sqrt3÷\sqrt{100}$

　　　 $=5×1.73÷10$

　　　 $=0.865$ ・・・答

(2) $\sqrt{0.135}$

　　　 $=\frac{\sqrt{135}}{\sqrt{1000}}$

　　　 $=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{200}}$ ( $\sqrt5$ で約分)

　　　 $=\frac{3\sqrt3}{\sqrt{2}×\sqrt{100}}$

　　　 $=\frac{3×1.732}{1.414×10}$

　　　 $≒0.3675$ ・・・答

練習問題05

(1)

　 $x=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$

より、 $x=5-2\sqrt6$

　 $y=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$

より、 $y=5+2\sqrt6$

① $x+y$

　 $x+y=10$ ・・・答

② $x^2+xy+y^2$

　 $xy=(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)=1$

$x+y=10$ なので

　 $x^2+2xy+y^2=100$

ゆえに

　 $x^2+xy+y^2=99$ ・・・答

(2)

　 $(\sqrt a+\sqrt b)^2$

　　 $=a+2\sqrt{ab}+b$

　　 $=\sqrt5-2+2\sqrt{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}+\sqrt5+2$

　　 $=2\sqrt5+2$ ・・・答

(3)

　 $ab=4-3=1$ であるから

　　 $a^5 b^4+a^2 b^3$

　　　 $=a^4b^4×a+a^2b^2×b$

　　　 $=a+b$

　　　 $=2-\sqrt3+2+\sqrt3$

　　　 $=4$ ・・・答

練習問題06　

$x=\sqrt5+1$ より

　 $x-1=\sqrt5$

両辺を二乗し　

　 $x^2-2x+1=5$

　 $x^2=2x+4$

よって

$x^3$

　 $=2x^2+4x$

　 $=8x+8$

$x^4$

　 $=8x^2+8x$

　 $=24x+32$

ゆえに

　 $x^4-5x^3+x^2-3$

　　 $=-14x-7$

　　 $=-14\sqrt5-21$ ・・・答

練習問題07

(1)

　 $x+y=\sqrt5$

両辺を二乗し

　 $x^2+2xy+y^2=5$

よって、

　 $x^2+xy+y^2$

　　 $=:x^2+2xy+y^2-xy$

　　 $=6$ ・・・答

(2)

　 $x= \frac{2}{\sqrt7-\sqrt5}=\sqrt7+\sqrt5$

　 $y=\frac{2}{\sqrt7+\sqrt5}=\sqrt7-\sqrt5$

よって

　 $x+y=2\sqrt7$ , $xy=2$

ここで、 $x+y=2\sqrt7$ の両辺を二乗し

　 $x^2+2xy+y^2=28$

ゆえに

　 $x^2+y^2-3xy$

　　 $=x^2+2xy+y^2-5xy$

　　 $=18$ ・・・答

(3)

　 $x+y=\sqrt7$

　 $x^2+2xy+y^2=7$

よって

　 $x^2-2xy+y^2$

　　 $x^2+2xy+y^2-4xy$

　　 $=11$

つまり、

　 $(x-y)^2=11$

　 $x-y=±\sqrt{11}$

ゆえに

　 $x^2 y-xy^2$

　　 $=xy(x-y)$

　　 $=-1×±\sqrt{11}$

　　 $=±\sqrt{11}$ ・・・答

(4)

$a+b=\sqrt{14}$ より

　 $a^2+2ab+b^2=14$ ・・・①

$a-b=\sqrt{10}$ より

　 $a^2-2ab+b^2=10$ ・・・②

①－②より

　 $4ab=4$

　 $ab=1$ ・・・答

(5)

　 $(1+\sqrt3)x=2$ の両辺を二乗し

　　 $(1+\sqrt3)^2 x^2 =4$

　　 $(4+2\sqrt3)x^2=4$

　　 $2(2+\sqrt3)x^2=4$

　　 $(2+\sqrt3)x^2=2$ ・・・①

　 $(1-\sqrt3)y=-2$ も同様にして

　　 $(2-\sqrt3)y^2=2$ ・・・②

①, ②より

　 $(2+\sqrt3)x^2+(2-\sqrt3)y^2$

　　 $=2+2$

　　 $=4$ 　・・・答

練習問題08

①+②より

　 $2\sqrt3 x=8$

　 $x=\frac{4\sqrt3}{3}$

①－②より

　 $2\sqrt2 y=2$

　 $y=\frac{\sqrt2}{2}$

以上より

　 $x=\frac{4\sqrt3}{3}$ 、 $y=\frac{\sqrt2}{2}$ ・・・答

　　2.1 平方根の基本と練習問題(基)

　　2.2 計算への準備と練習問題(基)

　　2.3 平方根の計算

　　　2.3.1 平方根の計算と練習問題(基)

　　　2.3.2 平方根の計算と練習問題(標～難)　

　　 2.4 平方根の利用

　　　2.4.1 整数・自然数になるようにする（標~難)

　　　2.4.2 整数部分,小数部分(標~難)

　　　2.4.3 不等式と平方根(標~難)

　　　2.4.4 平方根の補充問題(難)