2次方程式の解き方(補足)(二元二次連立方程式)(難)

今回は、補足として2元2次連立方程式の解き方を見ていこう。

基本は、文字を減らすことを考えればよい。

　前回　←2次方程式の解き方(3)(難)

　次回　→解の問題(1)(代入、解から式を作る、直前の形)(基~標)

3.1 2次方程式の解き方

　　3.1.1 基本的な2次方程式の解き方(1)(基)

　　3.1.2 2次方程式のの解き方(2)(展開・置き換え・二乗利用)(標)

　　3.1.3 2次方程式の解き方(3)(たすき掛け、係数が平方根、文字係数)(難)

　　3.1.4 補題・2元2次連立方程式

2元2次連立方程式の解き方は以下の通り

　①代入によってどちらの文字を消す

　②加減によってどちらかの文字を消す

　③文字解の利用(加減を利用することもある)

　④xy,x+y利用

解は最高4組存在する。

例題以下の連立方程式を解け

(1) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 \\ 2x^2+xy+y^2=16　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(2) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x^2-2xy-2x+3y^2=7 \\ x^2+2xy+6x-3y^2=9　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(3) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2-2xy+5y=2 \\ x^2-xy-2y^2=0　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(4) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+2xy-2y^2=2 \\ 3x^2-xy+2y^2=4　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(5) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=2 \\ x^2-xy+y^2=1　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

解答・解説

(1)代入によって、文字を消す

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=1 ・・・①\\ 2x^2+xy+y^2=16・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　①の式を $y=1-x$ と変形し、②に代入すればyを消去できる

　　 $2x^2+xy+y^2=16$

　　 $2x^2+x(1-x)+(1-x)^2=16$

　　 $2x^2+x-x^2+1-2x+x^2=16$

　　 $2x^2-x-15=0$

　　 $(x-3)(2x+5)=0$

　　　 $x=3,-\frac52$

xの値を $y=1-x$ にそれぞれ代入すると

　　 $x=3$ のとき、 $y=1-3=-2$

　　 $x=-\frac52$ のとき、 $y=1+\frac52=\frac72$

　以上より、 $(x,y)=(3,-2),(-\frac52,\frac72)$ ・・・答

(2) 加減を利用し、片方の文字を完全に消す。

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x^2-2xy-2x+3y^2=7・・・① \\ x^2+2xy+6x-3y^2=9・・・②\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

①+②をすれば、yを含む項をすべて消すことができる。

　①+②より

　　 $2x^2+4x=16$

　　 $x^2+2x-8=0$

　　 $(x-2)(x+4)=0$

　　　 $x=2,-4$

あとは、xの値を①、②の好きな方にそれぞれ代入

　 $x=2$ を①に代入し

　　　 $4-4y-4+3y^2=7$

　　　 $3y^2-4y-7=0$

　　　 $(y+1)(3y-7)=0$

　　　　 $y=-1,\frac73$

　 $x=-4$ を①に代入し

　　　 $16+8y+8+3y^2=7$

　　　 $3y^2+8y+17=0$

　　この方程式に実数解はない

以上より、 $(x,y)=(2,-1),(2,\frac73)$ ・・・答

(3)文字解の利用

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2-2xy+5y=2・・・① \\ x^2-xy-2y^2=0・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

加減によって、文字をへらすことができない。

今回は②の式を因数分解して、文字解を出す。

　　 $x^2-xy-2y^2=0$

　　 $(x+y)(x-2y)=0$

　　　 $x=-y,\ 2y$

これを、①の式に代入すればxを消去できる。

　(a) $x=-y$ を①に代入し

　　　　 $y^2+2y^2+5y=2$

　　　　 $3y^2+5y-2=0$

　　　　 $(3y-1)(y+2)=0$

　　　　 $y=\frac13,-2$

　　 $x=-y$ より

　　　 $y=\frac13$ のとき $x=-\frac13$ ,

　　　 $y=-2$ のとき $x=2$

　(b) $x=2y$ を①に代入し

　　　　 $4y^2-4y^2+5y=2$

　　　　 $5y=2$

　　　　 $y=\frac25$

　　 $x=2y$ より

　　　　 $x=\frac45$

(a)(b)より、

　 $(x,y)=(2,-2),(-\frac13,\frac13),(\frac45,\frac25)$ ・・・答

(4) これも文字解を利用する

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+2xy-2y^2=2・・・① \\ 3x^2-xy+2y^2=4・・・②\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

加減で文字を完全に消せないし、直接因数分解して文字解もだせない。

今回は、加減によって、文字解を出せる式を自分で作ろう。

　②－①×2より

　　　 $x^2-5xy+6y^2=0$

　　　 $(x-2y)(x-3y)=0$

　　　　 $x=2y, \ 3y$

後は(3)と同じようにする。

　(a) $x=2y$ を①に代入し

　　　 $4y^2+4y^2-2y^2=2$

　　　 $y^2=\frac13$

　　　 $y=±\frac{\sqrt3}{3}$

　(b) $x=3y$ を①に代入し

　　　 $9y^2+6y^2-2y^2=2$

　　　 $y^2=\frac{2}{13}$

　　　 $y=±\frac{\sqrt{26}}{13}$

以上より、

　 $(x,y)=(\frac{2\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3}),(-\frac{2\sqrt3}{3},-\frac{\sqrt3}{3}),(\frac{3\sqrt{26}}{13},\frac{\sqrt{26}}{13}),(-\frac{3\sqrt{26}}{13},-\frac{\sqrt{26}}{13})$ ・・・答

(5)

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=2・・・① \\ x^2-xy+y^2=1・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

最後の問題は。xyの値からx+yの値を求め,連立する。)

　①－②より

　　 $2xy=1$

　　 $xy=\frac12$

次に、 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ の値を求める

　①より $x^2+xy+y^2=2$ 、また $xy=\frac12$ だから

　　　 $(x+y)^2$

　　　　 $=x^2+2xy+y^2$

　　　　 $=x^2+xy+y^2+xy$

　　　　 $=2+\frac12$

　　　　 $=\frac52$

　すなわち、

　　 $(x+y)^2=\frac52$

　　 $x+y=±\frac{\sqrt{10}}{2}$

　つまり、

　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} xy=\frac12 \\ x+y=±\frac{\sqrt{10}}{2}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　これを解けばよい。

(二次方程式を作ってもよい)

　　(a) $y=\frac{\sqrt{10}}{2}-x$ を $xy=\frac12$ に代入し

　　　　 $x(\frac{\sqrt{10}}{2}-x)=\frac12$

　　　　 $-x^2+\frac{\sqrt{10}}{2} x-\frac12=0$

　　　　 $2x^2-\sqrt{10} x+1=0$

　　　解の公式より、

　　　　 $x=\frac{\sqrt{10}±\sqrt{2}}{2}$

　　　よって、

　　　　 $x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

　　　　 $x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ のとき、 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

　　(b) $y=-\frac{\sqrt{10}}{2}-x$ を $xy=\frac12$ に代入

　　　(a)と $\sqrt{10}$ の符号が違うだけなので

　　　　　 $x=\frac{-\sqrt{10}±\sqrt{2}}{2}$

　　　よって、

　　　　 $x=\frac{-\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$ のとき、 $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

　　　　 $x=\frac{-\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ のとき、 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

以上をまとめると

　 $(x,y)=(\frac{±\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{±\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} )$ ・・・答

練習問題　以下の連立方程式を解け

(1) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+3y^2+12y=0 \\ x+y-2=0　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(2) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x^2-4ax+4a^2-6x+12a-16=0 \\ x-3a=1　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(3) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5 \\ 2(x-1)^2+y=7　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(4) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-4(x+y)+4=0 \\ (3x-2y)^2+(3x-2y)=6　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(5) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2-4xy+3y^2=0 \\ x^2-3xy+y=-6　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(6) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x-y=\sqrt3 \\ x^2-y^2=9　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(7) $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=1 \\ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

＜出典:(1)東邦大付属東邦 (2)大阪星光 (3)西大和 (4)慶応 (6)(7)渋谷教育幕張＞

練習問題解答

(1)

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+3y^2+12y=0・・・① \\ x+y-2=0・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　②より、 $x=-y+2$

　これを、①に代入し

　　 $(-y+2)^2+3y^2+12y=0$

　　 $y^2+2y+1=0$

　　 $(y+1)^2=0$

　　　 $y=-1$

　よって、 $x=3$

以上より、 $x=3,y=-1$ ・・・答

(2)　①を変形してから代入したほうが早い

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x^2-4ax+4a^2-6x+12a-16=0・・・① \\ x-3a=1・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　②より $x=3a+1$

　①式は

　　 $x^2-4ax+4a^2-6x+12a-16=0$

　　 $(x-2a)^2-6(x-2a)-16=0$

　　 $(x-2a+2)(x-2a-8)=0$

　ここに $x=3a+1$ を代入し

　　 $(a+3)(a-7)=0$

　　　 $a=-3,7$

　よって、 $(x,y)=(-8,-3),(22,7)$ ・・・答

(3) 　加減によって、yを消去できる。

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y=5・・・① \\ 2(x-1)^2+y=7・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

②－①より

　 $(x-1)^2=2$

　　 $x=±\sqrt2+1$

これを①に代入し

　 $(±\sqrt2+1-1)^2+y=5$

　 $2+y=5$

　　 $y=3$

よって、 $(x,y)=(±\sqrt2+1,3)$ ・・・答

※ $A=x-1$ とすれば、分かりやすい。

(4)①、②を別々解く

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (x+y)^2-4(x+y)+4=0・・・① \\ (3x-2y)^2+(3x-2y)=6・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　①より

　　 $(x+y)^2-4(x+y)+4=0$

　　 $(x+y-2)^2=0$

　　　 $x+y=2$ ・・・③

　②より

　　 $(3x-2y)^2+(3x-2y)=6$

　　 $(3x-2y)^2+(3x-2y)-6=0$

　　 $(3x-2y+3)(3x-2y-2)=0$

　　　 $3x-2y+3=0$ ・・・④

　　　 $3x-2y-2=0$ ・・・⑤

③④を連立して

　 $x=\frac15,y=\frac95$

③⑤を連立して

　 $x=\frac65, y=\frac45$

以上より

　 $(x,y)=(\frac15,\frac95),(\frac65, \frac45)$ ・・・答

※ $x+y=A, \ 3x-2y=B$ とおく分かりやすい。

(5) ①を因数分解して文字解を出す

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2-4xy+3y^2=0・・・① \\ x^2-3xy+y=-6・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　①より

　　 $x^2-4xy+3y^2=0$

　　 $(x-y)(x-3y)=0$

　　　 $x=y, 3y$

　 $x=y$ を②に代入し

　　 $y^2-3y^2+y=-6$

　　 $2y^2-y-6=0$

　　 $(y-2)(2y+3)=0$

　　　 $y=2,-\frac32$

　 $x=3y$ を②に代入し

　　 $9y^2-9y^2+y=-6$

　　　 $y=-6$

　以上より、 $(x,y)=(2,2),(-\frac32,-\frac32),(-18,-6)$ ・・・答

(6) x+y利用パターン。xyを経由せずに出せるので多少楽

　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x-y=\sqrt3・・・① \\ x^2-y^2=9・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　②より

　　 $x^2-y^2=9$

　　 $(x+y)(x-y)=9$

　①を代入し

　　 $\sqrt3(x+y)=9$

　　 $x+y=3\sqrt3$ ・・・③

　①③を連立し

　　 $(x,y)=(2\sqrt3,\sqrt3)$ ・・・答

(7) xy,x+y利用パターン

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=1・・・① \\ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3・・・②　\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

　①－②× $xy$ より

　　 $4xy=1$

　　 $xy=\frac14$ ・・・③

　ここで、 ①③より

　　 $(x+y)^2$

　　　 $=x^2+2xy+y^2$

　　　 $=x^2+xy+y^2+xy$

　　　 $=\frac54$

　よって、

　　　 $x+y=+\frac{\sqrt5}{2}$ ・・・④

　　　 $x+y=+\frac{\sqrt5}{2}$ ・・・⑤

(a) ③④より

　　 $x(\frac{\sqrt5}{2}-x)=\frac14$

　　 $4x^2-2\sqrt5 x+1=0$

　　　 $x=\frac{\sqrt5±1}{4}$

　よって

　　 $x=\frac{\sqrt5+1}{4}$ を④に代入し $y=\frac{\sqrt5-1}{4}$

　　 $x=\frac{\sqrt5-1}{4}$ を④に代入し $y=\frac{\sqrt5+1}{4}$

(b) ③⑤より

　　 $x(-\frac{\sqrt5}{2}-x)=\frac14$

　　 $4x^2+2\sqrt5 x+1=0$

　　　 $x=\frac{-\sqrt5±1}{4}$

よって

　　 $x=\frac{-\sqrt5+1}{4}$ を⑤に代入し $y=\frac{-\sqrt5-1}{4}$

　　 $x=\frac{-\sqrt5-1}{4}$ を⑤に代入し $y=\frac{-\sqrt5+1}{4}$

(a)(b)をまとめると

$(x,y)=(\frac{\sqrt5±1}{4},\frac{\sqrt5 \mp 1}{4}),(\frac{-\sqrt5±1}{4},\frac{-\sqrt5 \mp 1}{4})$ ・・・答

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