因数分解の工夫(2)(標～難)（組み合わせ(難)・二乗-二乗・最低次数整理)

今回は標準レベル上位から難関レベルの因数分解を見ていこう。

高校入試の因数分解では難問に含まれる問題も少し扱う。

前回　因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

次回　因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本(1)(共通因数・公式)(基)

1.2.2 因数分解の基本(2)([tex:x^2]に係数・展開と因数分解)(標)

1.2.3 因数分解の工夫(1)(置き換え・置き換えの難問)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫(2)(組み合わせ・二乗－二乗・最低次数)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫(3)(複二次式・たすき掛け)(難)

1.組み合わせの工夫(1)
2.組み合わせの工夫(2)(難)
3.二乗－二乗の公式の利用(難)
4.最低次数の文字について整理(難)
5.演習問題
6.解答

1.組み合わせの工夫(1)

例題1　以下の式を因数分解せよ
(1) $2x+2y+xz+yz$ 　
(2) $3a-6b+2ab-9$
(3) $x+3y-xz-3yz$
(4) $xy^2-4x+2y^2-8$
(5) $x^2-2x-y^2-2y$ 　

＜出典; (4)四天王寺高等学校 (5)関西大倉高等学校＞

解説

　同じ部分ができるように、組み合わせを考える。

(1) $2x+2y$ と $xz+yz$ の組に分けて考える

　　　　 $2x+2y+xz+yz$ 　
　　　　　 $=2(x+y)+z(x+y)$

　このようになり、 $A=x+y$ とおけば良さそうだ。

(2) $2ab-6b$ と $3a-9$ の組に分けて考える

　　　　 $3a-6b+2ab-9$
　　　　　 $=2ab-6b+3a-9$
　　　　　 $=2b(a-3)+3(a-3)$

(3) $x-xz$ と $3y-3yz$ の組に分けて考える

　　　　 $x+3y-xz-3yz$
　　　　　 $=x-xz +3y-3yz$
　　　　　 $=x(1-z)+3y(1-z)$

(4) $xy^2-4x$ と $+2y^2-8$ の組に分けて考えると

　　　 $xy^2-4x+2y^2-8$
　　　　　 $=(y^2-4)x+2(y^2-4)$

(5) $x^2-y^2$ と $-2x-2y$ の組に分けて考える

　※前者 $x^2-y^2$ は $(x+y)(x-y)$ とできるし

　　後者 $-2x-2y$ は共通因数でくくる

　　　　 $x^2-2x-y^2-2y$ 　
　　　　　 $=x^2-y^2-2x-2y$
　　　　　 $=(x+y)(x-y)-2(x+y)$

　あとは $A=x+y$ とおけばよい

解答
(1) $2x+2y+xz+yz$ 　
　　 $=2(x+y)+(x+y)z$
　 $A=x+y$ とおく
　　 $=2A+Az$
　　 $=A(2+z)$
　　 $=(x+y)(2+z)$ 　答

(2) $3a-6b+2ab-9$
　　 $=2ab-6b+3a-9$
　　 $=2b(a-3)+3(a-3)$
　 $A=a-3$ とおく
　　 $=2bA+3A$
　　 $=A(2b+3)$
　　 $=(a-3)(2b+3)$ 　答

(3) $x+3y-xz-3yz$
　　 $=x-xz+3y-3yz$
　　 $=x(1-z)+3y(1-z)$
　 $A=1-z$ とおく
　　 $=xA+3yA$
　　 $=A(x+3y)$
　　 $=(1-z)(x+3y)$ 　答

(4) $xy^2-4x+2y^2-8$
　　 $=(y^2-4)x+2(y^2-4)$ 　
　 $A=y^2-4$ とおく
　　 $=Ax+2A$
　　 $=A(x+2)$
　　 $=(y^2-4)(x+2)$ 　
　　 $=(y-2)(y+2)(x+2)$ 　答

(5) $x^2-2x-y^2-2y$ 　
　　 $=x^2-y^2-2x-2y$
　　 $=(x+y)(x-y)-2(x+y)$

　 $A=x+y$ とおくと

　　 $=A(x-y)-2A$

　　 $=A( (x-y)-2 )$

　　 $=(x+y)( (x-y)-2 )$
　　 $=(x+y)(x-y-2)$ 　答

練習問題1-1　以下の式を因数分解せよ(標)
(1) $xy+2x+2y+4$
(2) $3ab+2ac-6bc-a^2$
(3) $x^2+3x-6y-4y^2$
(4) $a^2+2ab-ac-2bc$
(5) $4x^2 y^2+16x^2-y^2-4$
(6) $a^2 b+b-ab^2-a$

＜出典: (5)久留米大付属 (6)市川＞

練習問題1-2(難)　以下の式を因数分解せよ
(1) $x^4+4x^3 y-y^4-4xy^3$
(2) $a^3-a^2+2a^2 b-9a-18b+9$

2.組み合わせの工夫(2)(難)

例題2 以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $x^2+2xy-2x-2y+y^2$
(2) $a^2-ab+2a+b-3$
(3) $x^2-2xy+y^2-x+y-2$
(4) $x^2+y^2+4+2xy-4x-4y$
＜出典:(1)智弁和歌山 (2)海城 (3)四天王寺＞

解説

　同じ部分ができる組に分ける。

　いろんな組み合わせを試してみよう。

(1) $x^2+2xy+y^2$ と $-2x-2y$ で分けよう

　※ $x^2+2xy+y^2$ は公式で因数分解できる

　　 $-2x-2y$ は共通因数でくくる

　　　 $x^2+2xy-2x-2y+y^2$
　　　　　 $=x^2+2xy+y^2-2x-2y$
　　　　　 $=(x+y)^2-2(x+y)$

　これで同じ部分ができた。

(2) $a^2+2a-3と-ab+b$ の組に分ける

　※前者 $a^2+2a-3$ は、公式で因数分解

　　後者 $-ab+b$ は、 $-b$ で共通因数をとる。

　　　 $a^2-ab+2a+b-3$
　　　　　 $=a^2+2a-3-ab+b$
　　　　　 $=(a-1)(a+3)-b(a-1)$

　これで同じ部分ができた。

(3) $x^2-2xy+y^2$ を先に因数分解してみると

　　　 $x^2-2xy+y^2-x+y-2$
　　　　　 $=(x-y)^2-(x-y)-2$

　このようにすれば、 $A=x-y$ とおける

(4) $x^2+y^2+4+2xy-4x-4y$

　　　 $=(x^2+2xy+y^2)-4x-4y+4$
　　　 $=(x+y)^2-4(x+y)+4$
　これで、 $A=x+y$ とおける。

　補足

　　(4)は以下の展開公式でも解ける

　　　 $x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2$

　　高校レベルの公式なのでしらなくても問題ない

解答
　※これ以降、解答はAとおかないで解く
(1) $x^2+2xy-2x-2y+y^2$
　 $=x^2+2xy+y^2-2x-2y$
　 $=(x+y)^2-2(x+y)$
　 $=(x+y)(x+y-2)$ 答　

　　
(2) $a^2-ab+2a+b-3$
　 $=a^2+2a-3-ab+b$
　 $=(a-1)(a+3)-b(a-1)$
　 $=(a-1)(a-b+3)$ 答

(3) $x^2-2xy+y^2-x+y-2$ 　
　 $=(x-y)^2-(x-y)-2$
　 $=(x-y+1)(x-y-2)$ 答

(4) $x^2+y^2+4+2xy-4x-4y$
　 $=x^2+2xy+y^2-4x-4y+4$
　 $=(x+y)^2-4(x+y)+4$
　 $=(x+y-2)^2$ 　答

練習問題2　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $a^2+b^2-ax-2ab+bx$
(2) $a^2+ab+a-2b-6$
(3) $4x^2+4xy-8x+y^2-4y-5$
(4) $x^2+y^2+2xy+2x+2y+1$
(5) $(a+b)^2-(b+2)^2-a+2$
＜出典:(1)関西第一 (3)岡山白陵・改 (4)雲雀丘学園 (5)ラ・サール＞

3.二乗－二乗の公式の利用(難)

例題3 以下の式を因数分解せよ (難)
(1) $(x-3）^2-36$
(2) $4x^2-y^2+4yz-4z^2$

＜出典:(2)愛光＞

解説
　この内容を前節と同時に扱う参考書が多いが、
　私立難関校はこの問題がよく出題されるので
　練習量を確保するために分けた。
　
(1)
　 $A=x-3$ とおくと
　　　 $=A^2-36$
　となり、二乗－二乗の形になっている
　　　 $=(A-6)(A+6)$
　あとはAを元に戻せばよい

(2)
　(1)と違い、全部展開された形になっている
　 $-y^2+4yz-4z^2$ で因数分解するとよい

　　　 $4x^2-y^2+4yz-4z^2$
　　　　 $=4x^2-(y^2-4yz+4z^2)$
　　　　 $=4x^2-(y-2z)^2$
　あとは(1)と同じように $A=y-2z$ として解く

解答
(1) $(x-3)^2-36$
　 $=(x-3+6)(x-3-6)$
　 $=(x+3)(x-9)$ 答

(2) $4x^2-y^2+4yz-4z^2$
　 $=4x^2-(y^2-4yz+4z^2)$
　 $=4x^2-(y-2z)^2$
　 $=(2x-y+2z)(2x+y-2z)$ 答

練習問題3　以下の式を因数分解せよ
(1) $4x^2-1-2y-y^2$
(2) $x^2 y^2-9x^2+6x-1$
(3) $ab^2-ac^2+2ac-a$
(4) $x^2-9y^2+20x+100$
＜出典:(1)帝塚山 (2)智弁和歌山 (3)桐光学園 (4)清教学園＞

4.最低次数の文字について整理(難)

例題4　以下の式を因数分解せよ (難)
(1) $a^3 c^3-a^3 b+a^3 b^2-ac^3-ab^2+ab$
(2) $ab+bc+b^2+ac$
(3) $a^2-ab+3a+b-4$

＜出典:(3)四天王寺＞

解説

　実は前節までの問題も、この手法で解ける物もある

　今回は以下の手順だけ知っておこう。

　例として(1)で説明する。

(1) $a^3 c^3-a^3 b+a^3b^2-ac^3-ab^2+ab$

① 出てきている文字が最高何乗まであるか調べる

　下図のようにこの中で一番次数が小さいのはbである

　 f:id:keimathchem:20200425224744p:plain

②次数が一番小さい文字bを、次数の大きい順になるように並び替える

f:id:keimathchem:20200425224808p:plain

図のように $b^2$ の項、 $b$ の項、 $b$ が無い項それぞれのカタマリをつくる。

後は、それぞれのカタマリの共通因数をくくったり、公式を使って因数分解したりする。

以上のようにすれば、同じ部分が簡単に見つかったりする。項が多い式の因数分解は「1.最低次数で整理」「2.組み合わせを考える」の順番で考えるとよい。

解答
(1) $a^3 c^3-a^3 b+a^3 b^2-ac^3-ab^2+ab$
　 $=a^3 b^2-ab^2-a^3 b+ab+a^3 c^3-ac^3$
　 $=(a^3-a) b^2-(a^3-a)b+(a^3-a) c^3$
　 $=(a^3-a)(b^2-b+c^3)$

　 $=a(a^2-1)(b^2-b+c^3)$
　 $=a(a-1)(a+1)(b^2-b+c^3)$ 　答

(2) $ab+bc+b^2+ac$

　 $ab+ac+b^2+bc$
　 $=(b+c)a+b(b+c)$
　 $=(a+b)(b+c)$ 　答

(3) $a^2-ab+3a+b-4$

　 $=-ab+b+a^2+3a-4$ 　
　 $=-(a-1)b+a^2+3a-4$
　 $=-(a-1)b+(a-1)(a+4)$
　 $=(a-1)(a-b+4)$ 　答　

練習問題4　以下の式を因数分解せよ (難)
(1) $ax^2-2-x+2ax$
(2) $x^2+xy+2x-2y-8$
(3) $x^2-10y^2-3xy+2yz+zx$
(4) $9x^2-12xy-3xz+4y^2+2yz$
(5) $a(a-2b-2c)+b(b+2c)$
(6) $ab^2 c+a^2 b^2-abc-a^2 b-2ab-2bc+2a+2c$

＜出典:(2)愛光 (4)明治大付属中野 (5)久留米大付属 (6)青山学院付属

5.演習問題

演習問題　以下の式を因数分解せよ
(1) $2a-2ac-bc+b$
(2) $ab-3a-3b+9$
(3) $m^2-mn+n-m$
(4) $x^2-x^2 y-y^2-xy^2$ 　
(5) $9x^2 +y^2-6xy-3x+y$
(6) $9x^2-12xy+4y^2-12x+8y-12$
(7) $x^2-6y^2+xy+6yz-3zx$ 　
(8) $a^3+3a^2 b-a^2-4a-12b+4$
(9) $x^2-y^2+2y-1$
(10) $a^2+2ab+b^2+a^2 b+ab^2$ 　
(11) $x^2+2xy-2x-2y+1$ 　
(12) $a^2-4a-4b^2+4$
(13) $a^3+b^3-a^2 b-ab^2-bc^2-c^2 a$

＜出典:(3)学習院 (4)雲雀丘学園(5)桐光学園・改

　　　 (6)愛光 (7)弘学館 (8)東大寺学園 (9)青雲

　　　 (10)市川 (11)早稲田大学本庄 (12)市川

　　　 (13)灘　　　　　　　　　　　　　　　＞

6.解答

練習問題1-1　
(1) $xy+2x+2y+4$
　　 $=x(y+2)+2(y+2)$
　　 $=(x+2)(y+2)$ ・・・答
(2) $3ab+2ac-6bc-a^2$
　　 $=3ab-6bc+2ac-a^2$
　　 $=3b(a-2c)-a(a-2c)$
　　 $=(a-2c)(3b-a)$ ・・・答
(3) $x^2+3x-6y-4y^2$
　　 $=x^2-4y^2+3x-6y$
　　 $=(x-2y)(x+2y)+3(x-2y)$
　　 $=(x-2y)(x+2y+3)$ ・・・答
(4) $a^2+2ab-ac-2bc$
　　 $=a(a-c)+2b(a-c)$
　　 $=(a+2b)(a-c)$ ・・・答
(5) $4x^2 y^2+16x^2-y^2-4$
　　 $=4x^2 (y^2+4)-(y^2+4)$
　　 $=(4x^2-1)(y^2+4)$
　　 $=(2x-1)(2x+1)(y^2+4)$ ・・・答
(6) $a^2 b+b-ab^2-a$
　　 $=a^2 b-ab^2-a+b$
　　 $=ab(a-b)-(a-b)$
　　 $=(a-b)(ab-1)$ ・・・答
練習問題1-2
(1) $x^4+4x^3 y-y^4-4xy^3$
　　 $=x^4-y^4+4x^3 y-4xy^3$
　　 $=(x^2-y^2 )(x^2+y^2 )+4xy(x^2-y^2)$
　　 $=(x-y)(x+y)(x^2+y^2+4xy)$ ・・・答
(2) $a^3-a^2+2a^2 b-9a-18b+9$
　　 $=a^3-9a+2a^2 b-18b-a^2+9$
　　 $=a(a^2-9)+2b(a^2-9)-(a^2-9)$
　　 $=(a^2-9)(a+2b-1)$
　　 $=(a-3)(a+3)(a+2b-1)$ ・・・答
練習問題2　
(1) $a^2+b^2-ax-2ab+bx$
　　 $=a^2-2ab+b^2-ax+bx$
　　 $=(a-b)^2-(a-b)x$
　　 $=(a-b)(a-b-x)$ ・・・答
(2) $a^2+ab+a-2b-6$
　　 $=a^2+a-6+ab-2b$
　　 $=(a+3)(a-2)+b(a-2)$
　　 $=(a-2)(a+b+3)$ ・・・答
(3) $4x^2+4xy-8x+y^2-4y-5$
　　 $=4x^2+4xy+y^2-8x-4y-5$
　　 $=(2x+y)^2-4(2x+y)-5$
　　 $=(2x+y+1)(2x+y-5)$ ・・・答
(4) $x^2+y^2+2xy+2x+2y+1$
　　 $=x^2+2xy+y^2+2x+2y+1$
　　 $=(x+y)^2+2(x+y)+1$
　　 $=(x+y+1)^2$ ・・・答
(5) $(a+b)^2-(b+2)^2-a+2$
　　 $=a^2+2ab+b^2-b^2-4b-4-a+2$
　　 $=a^2-a-2+2ab-4b$
　　 $=(a-2)(a+1)+2b(a-2)$
　　 $=(a-2)(a+2b+1)$ 　・・・答
練習問題3　
(1) $4x^2-1-2y-y^2$
　　 $=4x^2-(y^2+2y+1)$
　　 $=4x^2-(y+1)^2$
　　 $=(2x-y-1)(2x+y+1)$ 　・・・答
(2) $x^2 y^2-9x^2+6x-1$
　　 $=x^2 y^2-(9x^2-6x+1)$
　　 $=x^2 y^2-(3x-1)^2$
　　 $=(xy-3x+1)(xy+3x-1)$
(3) $ab^2-ac^2+2ac-a$
　　 $=a(b^2-c^2+2c-1)$
　　 $=a(b^2-(c^2-2c+1))$
　　 $=a(b^2-(c-1)^2 )$
　　 $=a(b-c+1)(b+c-1)$ 　・・・答
(4) $x^2-9y^2+20x+100$
　　 $=x^2+20x+100-9y^2$
　　 $=(x+10)^2-9y^2$
　　 $=(x-3y+10)(x+3y+10)$ 　・・・答
練習問題4
(1) $ax^2-2-x+2ax$
　　 $=ax^2+2ax-x-2$
　　 $=(x+2)ax-(x+2)$
　　 $=(x+2)(ax-1)$ 　・・・答
(2) $x^2+xy+2x-2y-8$
　　 $=xy-2y+x^2+2x-8$
　　 $=(x-2)y+x^2+2x-8$
　　 $=(x-2)y+(x+4)(x-2)$
　　 $=(x-2)(x+y+4)$ 　・・・答
(3) $x^2-10y^2-3xy+2yz+zx$
　　 $=zx+2yz+x^2-3xy-10y^2$
　　 $=(x+2y)z+x^2-3xy-10y^2$
　　 $=(x+2y)z+(x-5y)(x+2y)$
　　 $=(x+2y)(x-5y+z)$ 　・・・答
(4) $9x^2-12xy-3xz+4y^2+2yz$
　　 $=-3xz+2zy+9x^2-12xy+4y^2$
　　 $=-(3x-2y)z+(3x-2y)^2$
　　 $=(3x-2y)(3x-2y-z)$ 　・・・答
(5) $a(a-2b-2c)+b(b+2c)$
　　 $=a^2-2ab-2ac+b^2+2bc$
　　 $=-2ac+2bc+a^2-2ab+b^2$
　　 $=-2(a-b)c+(a-b)^2$
　　 $=(a-b)(a-b-2c)$ 　・・・答
(6) $ab^2 c+a^2 b^2-abc-a^2 b-2ab-2bc+2a+2c$
　　 $=ab^2 c-abc-2bc+2c+a^2 b^2-a^2b-2ab+2a$
　　 $=(ab^2-ab-2b+2)c+(ab^2-ab-2b+2)a$
　　 $=(a+c)(ab^2-ab-2b+2)$
　　 $=(a+c)( ab(b-1)-2(b-1) )$
　　 $=(a+c)(b-1)(ab-2)$ 　・・・答
演習問題
(1) $2a-2ac-bc+b$
　　 $=2a(1-c)+b(1-c)$
　　 $=(2a+b)(1-c)$ 　・・・答
(2) $ab-3a-3b+9$
　　 $=ab-3b-3a+9$
　　 $=(a-3)b-3(a-3)$
　　 $=(a-3)(b-3)$ 　・・・答
(3) $m^2-mn+n-m$
　　 $=m(m-n)-(m-n)$
　　 $=(m-n)(m-1)$ 　・・・答
(4) $x^2-x^2 y-y^2-xy^2$
　　 $=x^2-y^2-x^2 y-xy^2$
　　 $=(x-y)(x+y)-xy(x+y)$
　　 $=(x+y)(x-xy-y)$ 　・・・答
(5) $9x^2 +y^2-6xy-3x+y$
　　 $=(3x-y)^2-(3x-y)$
　　 $=(3x-y)(3x-y-1)$ 　・・・答
(6) $9x^2-12xy+4y^2-12x+8y-12$
　　 $=(3x-2y)^2-4(3x-2y)-12$
　　 $=(3x-2y-6)(3x-2y+2)$ 　・・・答
(7) $x^2-6y^2+xy+6yz-3zx$
　　 $=-3zx+6yz+x^2+xy-6y^2$
　　 $=-3z(x-2y)+(x-2y)(x+3y)$
　　 $=(x-2y)(x+3y-3z)$ 　・・・答
(8) $a^3+3a^2 b-a^2-4a-12b+4$
　　 $=3b(a^2-4)+a^3-4a-a^2+4$
　　 $=3b(a^2-4)+a(a^2-4)-(a^2-4)$
　　 $=(a^2-4)(a+3b-1)$
　　 $=(a-2)(a+2)(a+3b-1)$ ・・・答
(9) $x^2-y^2+2y-1$
　　 $=x^2-(y-1)^2$
　　 $=(x-y+1)(x+y-1)$ 　・・・答
(10) $a^2+2ab+b^2+a^2 b+ab^2$
　　 $=(a+b)^2+ab(a+b)$
　　 $=(a+b)(a+b+ab)$ 　・・・答
(11) $x^2+2xy-2x-2y+1$
　　 $=x^2-2x+1+2xy-2y$
　　 $=(x-1)^2+2y(x-1)$
　　 $=(x-1)(x+2y-1)$ 　・・・答
(12) $a^2-4a-4b^2+4$
　　 $=a^2-4a+4-4b^2$
　　 $=(a-2)^2-4b^2$
　　 $=(a-2b-2)(a+2b-2)$ 　・・・答
(13) $a^3+b^3-a^2 b-ab^2-bc^2-c^2 a$
　　 $=-c^2 a-bc^2+a^3-ab^2+b^3-a^2 b$
　　 $=-(a+b) c^2+a(a^2-b^2 )-b(a^2-b^2)$
　　 $=-(a+b) c^2+a(a+b)(a-b)-b(a+b)(a-b)$
　　 $=(a+b)(-c^2+a(a-b)-b(a-b) )$
　　 $=(a+b)(a^2-2ab+b^2-c^2)$
　　 $=(a+b)( (a-b)^2-c^2)$
　　 $=(a+b)(a-b-c)(a-b+c)$ ・・・答