因数分解の基本(2)(標)(x^2の項に係数・展開と因数分解)

今回は、基本～標準レベルの因数分解を2パターン学んでいこう。

1.共通因数と公式

例題01　以下の式を因数分解せよ
(1) $4x^2-36$
(2) $2x^2+6x-8$
(3) $-x^2-5x-6$
(4) $3x^3 y-12xy^3$

解説

因数分解は基本的に

　1.共通因数を見つける

　2.公式を使えるか考える

の順で考えていく。

(1) $4x^2-36$

　例えば、この問題をいきなり公式を使って

　　 $4x^2-36=(2x-6)(2x+6)$

　として、このまま答えに書くとバツになる。

　まず初めに共通因数でくくろう。

　　 $4x^2-36$

　　　 $=4(x^2-9)$ 　(共通因数4)

　　　 $=4(x-3)(x+3)$ 　(公式)　・・・答

　とする。

補足

　因数分解に慣れているなら、いきなり公式を使っても

　　 $4x^2-36$

　　　 $=(2x-6)(2x+6)$

　　　 $=2×2(x-3)(x+3)$

　　　 $=4(x-3)(x+3)$ 　・・・答

　とできるが、慣れるまでは共通因数を1番最初に考えることをオススメする。

(2) $2x^2+6x-8$

　この問題では、すべての項が2の倍数なので

　　 $2x^2+6x-8$

　　　 $=2(x^2+3x-4)$ (共通因数2)

　　　 $=2(x-1)(x+4)$ (公式) ・・・答

(3) $-x^2-5x-6$

　 $x^2$ の前に付いているマイナスを取りたい。

　なので、全体を共通因数 $-1$ でくくる

　　 $-x^2-5x-6$

　　　 $=-(x^2+5x+6)$ (共通因数-1)

　　　 $=-(x+2)(x+3)$ (公式)　・・・答

(4) $3x^3 y-12xy^3$ 　　

　まず、はじめに共通因数でくくる

　　 $3x^3 y-12xy^3$

　　　 $=3xy(x^2-4y^2)$ (共通因数3xy)

　　　 $=3xy(x-2y)(x+2y)$ (公式)　・・・答

補足

　 $x^2$ の前に数字がある問題の場合、

　　1.共通因数 $2x^2+6x-8$

　　2.2乗の公式 $4x^2+12x+9$

　　3.組み合わせの工夫 $4x^2+2x+y-y^2$ 　　

　　4.たすき掛け $3x^2+7x+2$

　の大体4パターンが考えられる。この内3,4は発展問題なので、公立レベルは1, 2ぐらいしか出ない。よって、 $x^2$ の前に付いている数字・文字で共通因数を取れるかを始めに考え、取れなかったら2乗の公式で考えると良い。

解答
(1) $4x^2-36=4(x^2-9)$
　　　　　　 $=4(x-3)(x+3)$ 　・・・答
(2) $2x^2+6x-8=2(x^2+3x-4)$
　　　　　　　　 $=2(x-1)(x+4)$ 　・・・答
(3) $-x^2-5x-6=-(x^2+5x+6)$
　　　　　　　　　 $=-(x+3)(x+2)$ 　・・・答
(4) $3x^3 y-12xy^3=3xy(x^2-4y^2)$
　　　　　　　　　 $=3xy(x-2y)(x+2y)$ 　・・・答

練習問題 01
(1) $3x^3-27x$
(2) $xy＾2-xy-2x$
(3) $-3x^2-18x-27$
(4) $4ax^2+24axy+36ay^2$

2.展開をしてから因数分解

例題02　以下の式を因数分解せよ
(1) $x(x-4)+3$
(2) $(x+2)(x+3)-2$
(3) $3x(x+3)-(x+2)(x-5)-1$

解説

　工夫の方法が全く思いつかなかったりした場合、

　全部展開して整理するとよい。

　工夫の方法については次回以降に見ていく。

解答
(1) $x(x-4)+3$

　　　 $=x^2-4x+3$

　　　 $=(x-1)(x-3)$ 　・・・答
(2) $(x+2)(x+3)-2$

　　　 $=x^2+5x+4$
　　　 $=(x+1)(x+4)$ ・・・答
(3) $3x(x+3)-(x+2)(x-5)-1$

　　　 $=3x^2+9x-x^2+3x+10-1$

　　　 $=3x^2+12x+9$
　　　 $=3(x^2+4x+3)$

　　　 $=3(x+1)(x+3)$ 　・・・答

練習問題02　以下の式を因数分解せよ
(1) $(x-1)(x-2)-12$
(2) $2(x-3)^2-x(x-3)$
(3) $(x-2)(x+7)-7x-1$ 　
(4) $-(x+3)(x-5)+(4x+1)(x-3)$
(5) $(2x-7)^2-3(x-1)(x+1)$ 　　　　　　　　　　

＜出典:(3)東洋大付属姫路 (5)慶應義塾＞

練習問題03　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $(2x-3)(x+4)-(x+2)(x-2)-7(x+1)$ 　　　　　　　
(2) $x(x-5)(x+3)-6x+2x(x-6)(x-8)$ 　
(3) $(3x-2y)^2-(x-2y)(x-11y)-xy$ 　　　　　

＜出典:(1)筑波大付属 (2)大阪女子学院 (3)ラ・サール＞

演習問題

演習問題01　以下の式を因数分解せよ
(1) $2x^3-18x$
(2) $3x^2-15x+18$
(3) $x^3+4x^2+4x$
(4) $-x^2-9x-20$
(5) $(x+4y)(x-7y)+6xy$
(6) $x(x-4y)-2y(x+8y)$
(7) $2(x+1)^2-(x+2)(x-5)$

演習問題02　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $(x-2y)^2+(x+y)(x-5y)+7y^2$ 　　　　　
(2) $(3x+4)(x-3)-(x+2)(x-2)+9x+8$ 　　　　

＜出典:(1)愛光 (2)筑波大付属＞

解答

練習問題 01
(1) $3x^3-27x=3x(x^2-9)=3x(x+3)(x-3)$ 　・・・答
(2) $xy^2-xy-2x=x(y^2-y-2)=x(y+1)(y-2)$ 　・・・答
(3) $-3x^2-18x-27=-3(x^2+6x+9)=-3(x+3)^2$ 　・・・答
(4) $4ax^2+24axy+36ay^2=4a(x^2+6xy+9y^2 )=4a(x+3y)^2$ 　・・・答
練習問題02　
(1) $(x-1)(x-2)-12$
　　 $=x^2-3x-10$
　　 $=(x-5)(x+2)$ 　・・・答
(2) $2(x-3)^2-x(x-3)$
　　 $=2x^2-12x+18-x^2+3x$
　　 $=x^2-9x+18$
　　 $=(x-3)(x-6)$ 　・・・答
(3) $(x-2)(x+7)-7x-1$ 　
　　 $=x^2+5x-14-7x-1$
　　 $=x^2-2x-15$
　　 $=(x+3)(x-5)$ 　・・・答
(4) $-(x+3)(x-5)+(4x+1)(x-3)$
　　 $=-x^2+2x+15+4x^2-12x+x-3$
　　 $=3x^2-9x+12$
　　 $=3(x^2-3x+4)$ (これ以上できない)　・・・答　
(5) $(2x-7)^2-3(x-1)(x+1)$ 　
　　 $=4x^2-28x+49-3x^2+3$
　　 $=x^2-28x+52$
　　 $=(x-2)(x-26)$ 　・・・答
練習問題03　
(1) $(2x-3)(x+4)-(x+2)(x-2)-7(x+1)$ 　
　　 $=2x^2+8x-3x-12-x^2+4-7x-7$
　　 $=x^2-2x-15$
　　 $=(x+3)(x-5)$ 　・・・答
(2) $x(x-5)(x+3)-6x+2x(x-6)(x-8)$ 　
　　 $=x^3-2x^2-15x-6x+2x^3-28x^2+96x$
　　 $=3x^3-30x^2+75x$ 　
　　 $=3x(x^2-10x+25)$
　　 $=3x(x-5)^2$ 　・・・答
(3) $(3x-2y)^2-(x-2y)(x-11y)-xy$
　　 $=9x^2-12xy+4y^2-x^2+13xy-22y^2-xy$
　　 $=8x^2-18y^2$
　　 $＝2(4x^2-9y^2)$
　　 $=2(2x-3y)(2x+3y)$ 　・・・答

演習問題01　
(1) $2x^3-18x$
　　 $=2x(x^2-9)$
　　 $=2x(x-3)(x+3)$ 　・・・答
(2) $3x^2-15x+18$
　　 $=3(x^2-5x+6)$
　　 $=3(x-2)(x-3)$ 　・・・答
(3) $x^3+4x^2+4x$
　　 $=x(x^2+4x+4)$
　　 $=x(x+2)^2$ 　・・・答
(4) $-x^2-9x-20$
　　 $=-(x^2+9x+20)$
　　 $=-(x+4)(x+5)$ 　・・・答
(5) $(x+4y)(x-7y)+6xy$ 　
　　 $=x^2-3xy-28y^2+6xy$
　　 $=x^2+3xy-28y^2$
　　 $=(x-4y)(x+7y)$ 　・・・答
(6) $x(x-4y)-2y(x+8y)$
　　 $=x^2-4xy-2xy-16y^2$
　　 $=x^2-6xy-16y^2$
　　 $=(x+2y)(x-8y)$ 　・・・答
(7) $2(x+1)^2-(x+2)(x-5)$
　　 $=2x^2+4x+2-x^2+3x+10$
　　 $=x^2+7x+12$
　　 $=(x+3)(x+4)$ 　・・・答
演習問題02　
(1) $(x-2y)^2+(x+y)(x-5y)+7y^2$
　　 $=x^2-4xy+4y^2+x^2-4xy-5y^2+7y^2$
　　 $=2x^2-8xy+6y^2$
　　 $=2(x^2-4xy+3y^2)$
　　 $=2(x-y)(x-3y)$ 　・・・答
(2) $(3x+4)(x-3)-(x+2)(x-2)+9x+8$
　　 $=3x^2-9x+4x-12-x^2+4+9x+8$
　　 $=2x^2+4x$
　　 $=2x(x+2)$ 　・・・答