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数学の解説と練習問題

2020年度　兵庫県公立高校入試・解説

解説高校入試過去問 2020年度公立高校解説データベース

問題と解答

http://www.syogakusya.co.jp/modules/koritsu/index.php/hyou2.html

大問3図形は比較的易しい。大問5(4)と大問6(2)がややこしかったかもしれない。

大問1

(1)

$6÷(-3)=-2$

(2)

　 $=3x-2y-x+5y$

　 $=2x+3y$

(3)

　 $=2\sqrt2+3\sqrt2$

　 $=5\sqrt2$

(4)

上×2+下より

　 $7x=21$

　 $x=3$ $y=-5$

(5)

　解の公式より

　 $x=\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$

(6)

　反比例なので、xとyの積は一定で-16

　　 $ア=-16÷4=-4$

(7)

　2回とも赤玉が出る確率は　

　　1回目に赤玉が出る確率×2回目に赤玉が出る確率

　より

　　 $\frac23×\frac23=\frac94$

(8)

　弧BCに対する円周角だから

　　 $∠BDC=∠BAC=42°$

　直径に対する円周角だから

　　 $∠BCD=90°$

　よって、

　　 $∠x=180-90-42=48°$

大問2

(1)

　高さを出すには、体積÷面積を計算する。

　この水槽の体積は、毎分12Lで水を入れて75分で満水なので

　　 $12000×75$ $cm^3$

　この水槽の底面積は

　　 $100×100=10000$ $cm^2$

　よって、

　　 $\frac{12000×75}{1000}=90$ $cm$

(2)

①

　同じく体積÷面積で出せる。

　重りを入れると、75分で満水だったのが55分で満水になるので

　この差20分で入れた水の体積が、おもりの体積

　よって、

　　 $\frac{12000×20}{60×80}=50$ $cm$

②

　Ⅰまでのとき、重りと水槽の隙間に水が溜まっていく。

　それ以降は、重りの無い上部分に水が溜まっていく。

　隙間部分の底面積は

　　 $10000-80×50=6000$ $cm^2$

　高さは60 $cm$ なので、隙間部分の体積は

　　 $6000×60$ $cm^3$

　ここに、毎分12Lの割合で水を入れるので

　　 $\frac{6000×60}{12000}=30$ 分

③

　おもりの底面積が大きいほうが、早く20cmになる

　よって、イ

　②と同じように計算すると

　　 $\frac{5200×20}{12000}=\frac{26}{3}$ 分

　よって、8分40秒

大問3

(1)　

　折り返しているから GD=AB

　平行四辺形の対辺だから　DC=AB

　これをまとめて　(i)=イ

　となる。ここから先は角度の話なので

　(ii)は辺1組、角2組の証明条件である

　よって、(ii)=カ

(2)

　二等辺三角形だから

　　∠CDF=∠CFD

　錯角だから

　　∠CFD=∠EDF

　つまり

　　∠CDF=∠EDF=∠GDE

　よって、

　　∠EDF=90÷3=30°

(3)

　頂点CからDFに垂線CHを引く

　△CDHは $1:2:\sqrt3$ の直角三角形だから

　　 $CH=\sqrt3$

　よって、 $DF=2\sqrt3$

(4)

　まず高さを求める

　DからBCの延長へ垂線DIを下ろす

　△CDIは $1:2:\sqrt3$ の直角三角形だから

　　 $DI=\sqrt3$

　平行四辺形から△DEFを引けば、五角形の面積を出せる

　　 $BF=DF=DE=2\sqrt3$

　よって

　　 $\sqrt3 (2+2\sqrt3 )-2\sqrt3 ×\sqrt3 ×\frac12$

　　 $=2\sqrt3 +3$

大問4

(1)

　最頻値は最も度数が大きい階級の階級値

　よって、最頻値は 7cm

　平均値は

　　 $\frac{30+30+84+56+90+100}{50}=7.8$ $cm$

(2)

　③の記述から、エかカのどちらか

　②の記述から、エだと確定できる。

(3)

　6.5 cm 以上の割合を求めると

　A 39÷50=0.78

　B 24÷30=0.80

よってBのほうが多く、その個数は

　300×0.80＝約240個

大問5

(1)

　比例定数が小さいと、グラフの開き具合が広い

　よって、ウ

(2)

　アのグラフは $y=\frac12 x^2$

　x座標とy座標が等しい、つまり $x=y=a$ のとき

　　 $a=\frac12 a^2$

　　 $a=2,0$

　よって、a>0だから

　　 $a=2$

(3)

それぞれの座標は　

　A(2,2) B(-2,2) C(4,2) D(4,4)

O(0,0)とD(4,4)の距離ODは

　 $OD^2=4^2+4^2$

　　 $OD=4\sqrt2$

f:id:keimathchem:20200321161138p:plain

線分ABに着目すると、

△ABCは点Dを中心に90°回転している事がわかる

よって、∠ODE=90°

円の半径だから　OD=ED

よって、△ODEは $1:1:\sqrt2$ の直角三角形

以上より、 $OE=8$

(4)

B(-2,2) , D(4,4)間の距離は

　 $BD=2\sqrt{10}$

f:id:keimathchem:20200321161923p:plain

上図で、赤い部分の面積は等しい。

よって、求める面積は

　半径DB中心角90の扇形

　　－半径DA中心角90の扇形

　　+△OABの面積

を計算すればよい。

　 $(2\sqrt{3})^2π×\frac14-(2\sqrt2)^2π×\frac14+4×2×\frac12$

　 $=8π+4$ $cm^2$

大問6

(2)が難問であった。

(1)

とりあえず、文字のまま立体を転がすと

f:id:keimathchem:20200321163225p:plain

このようになる

①

a=3, b=7 のとき

f:id:keimathchem:20200321163402p:plain

②

　数字の和は a+b=10, a<bより

　　 $20+2a+4b$

　　　 $=40+2b$

　つまり、bが最も小さくなれば、和も最小

　 a+b=10, a<bを満たす最小のbは

　　 $a=4,b=6$

③

f:id:keimathchem:20200321164733p:plain

それぞれの枠入っている 5, a ,bの数を数える

赤　 $\frac{2x+1+1}{2}×5+\frac{2x}{2}a$

青　 $(\frac{2x+2}{2}×5+\frac{2x+2}{2}×b)×2$

緑　 $\frac{2x+1+1}{2}×b+\frac{2x}{2}a$

これらの和から余分に数えた4隅の和 $10+2b$ を引けばよい。

以上にa=4,b=6を代入し計算すると

　 $33(x+1)+8x-22=41x+11$

となる。よって

　 $41x+11=2020$

　 $x=49$

(2)

最後に記録されるマスの位置について

最後に記録されるマスの位置は、

真ん中の行目、真ん中右の列目である

f:id:keimathchem:20200321170042p:plain

これは、 $x=49$ のとき

50行目51列目である。・・・答

記録される数字について

　サイコロが偶数回転がると、

　　はじめのマス目と切り替わりのマス目に記録される数字が同じ。

　サイコロが奇数回転がると、

　　はじめのマス目と切り替わりのマス目が以下のサイクルで変化する

　　　5　→　b　→　a　→ 5 → b → a

$x=3$ を例に説明する。

サイコロの動く方向が切り替わるところを、

P、A、B・・・とおいて、

P→Qまでを1周目、Q→Gを2周目・・・・とする

f:id:keimathchem:20200323170228p:plain

これを楽に計算するには、

サイコロが転がる数だけを取り出して

　 $6,7,(6,6),(5,5),(4,4),(3,3),(2,2),(1,1)$

この中に奇数は、 $2×3+1=7$ 個ある

だから、 5→b→a→5→b→a→5→bと7回変化して

最後のマス目が b になっているとわかる。

同じように考えると、

$x=49$ のとき、サイコロが転がる数だけを取り出せば

　 $98,99,(98,98),(97,97),・・・・,(2,2),(1,1)$

となり、奇数が $2×49+1=99$ 個ある

99は、3の倍数なので、5→b→aのサイクルを回すと

最後のマス目は　 $5$ である。・・答