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数学の解説と練習問題

2次方程式の文章題(1)(代入、数量関係、面積体積)(基～標)

解説中3数学 2次方程式基礎問題方程式標準問題文書問題

今回は、2次方程式の簡単な文章題を見ていこう

前回　←解の問題(2)(解と係数、文字解、式の値、整数問題)(難)

次回　→2次方程式と文章題(3)(速度、割合、食塩水)(難)

3.3 2次方程式と文章題

　　3.3.1 2次方程式の文章題(1)(代入、数量関係、面積体積)(基～標)

　　3.3.2 2次方程式と文章題(2)(点の移動、関数(標)

　　3.3.3 2次方程式と文章題(3)(速度、割合、食塩水)(難)

　　3.3.4 2次方程式の文章題(4)(図形の重なり)(標~難)

1.代入の利用
2.数量関係①
3.数量関係②
4.数量関係③
5.面積の問題①
6.面積の問題②道幅
7.体積の問題
8.演習問題
9.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

1.代入の利用

例題01

あるビルの屋上から、地面に向かってボールを落とした。落ち始めてから x 秒後に y m落ちたとすると、 $y=5x^2$ という関係がある。なお、ボールはビルの屋上と同じ高さから落としたとする。

(1) ボールが450cｍ落ちるには何秒かかるか

(2) ボールは4秒後に地面に達した。ビルの高さを求めよ。

解説

問題文にある式に与えられた数値を代入していく。

ただし、単位に気をつける

(1)

　 $y=450$ cmではない。 yの単位はmなので、cmをmに直す。

　 $y=45$ mを $y=5x^2$ に代入すると

　　　 $45=5x^2$

　　　 $x=±3$

　時間にマイナスなんて無いから

　　　 $x=3$

　よって、3秒後・・・答

(2)

　 $y=5x^2$ に $x=4$ を代入すると

　　 $y=5×16=80$

　よって、80m・・・答

解答

(1) $y=5x^2$ に $y=45$ を代入すると

　 $45=5x^2$

　　 $x=3$ 　(x≧0)

　よって、3秒後・・・答

(2) $y=5x^2$ に $x=4$ を代入すると

　　 $y=5×16=80$

　よって、80 m・・・答

練習問題01

自動車がブレーキを掛け始めてから完全に停止するまでに進む距離を制動距離と言う。

時速x $km$ で走る自動車の制動距離をy $m$ とすると、 $y=\frac{1}{150} x^2$ が成り立つ。

(1) 時速30 kmで走る自動車の制動距離を求めよ。

(2) 制動距離が10mである自動車の速さを求めよ。

2.数量関係①

例題02

(1) ある数を2乗してから3加えた数と、3加えてから2倍した数は等しくなった。このとき、ある数を求めよ.

(2 )ある数とその数の平方の和が156となる。この数を求めよ。

解説

問題文にある通りに計算し式を立てる。

なお、平方は二乗という意味。

(1)

　ある数をxとする

　　　ある数を2乗してから3加えた数→ $x^2+3$

　　　3加えてから2倍した数→ $2(x+3)$

　これらが等しくなったので。

　　　 $x^2+3=2(x+3)$

　あとは解くだけ

(2)

　ある数をxとする。

　　　ある数とその数の平方の和→ $x+x^2$

　これが156になるから

　　　 $x+x^2=156$

　あとは解くだけ

解答

(1)

　 $x^2+3=2(x+3)$

　 $x^2+3=2x+6$

　 $x^2-2x-3=0$

　 $(x-3)(x+1)=0$

よって、 $3,-1$ ・・・答

(2)

　 $x+x^2=156$

　 $x^2+x-156=0$

　 $(x-12)(x+13)=0$

よって、 $12,-13$ ・・・答

練習問題02

(1) ある数xを2加えてから2乗した数と、2乗してから2加えた数が等しくなった。ある数xを求めよ。

(2) 年齢差が5歳の兄弟がいる。3年後、兄の年齢の二乗が弟の年齢の20倍になるとき、兄弟の年齢はそれぞれ何歳か。　

3.数量関係②

例題03

(1) ある数 x を2乗してから3加えるところを、3加えてから2乗してしまったため、答えが216大きくなってしまった。xを求めよ。

(2) ある二桁の整数について、1の位の数と10の位の数の和が12であり、これは1の位の数と10の位の数の積は27であった。この二桁の整数を求めよ。。

解説

大小関係を正確に把握しなければならない。どちらがどれだけ大きいか考えよう。

(1)

　x を2乗してから3加える　→　 $x^2+3$

　3加えてから2乗　→　 $(x+3)^2$

問題文から $x^2+3$ より、 $(x+3)^2$ のほうが216大きいとわかる。

よって、

　　 $x^2+3=(x+3)^2-216$

これを解く。

(2)

　二桁の整数は $10x+y$ とおける (中2の内容)

1の位の数と10の位の数の和が12　→　 $x+y=12$ ・・・①

1の位の数と10の位の数の積は27　→　 $xy=27$ ・・・②

①より $y=12-x$ として、②に代入すると

　 $x(12-x)=27$

あとは解くだけ。

※もちろん、yと置かなくても解ける。

解答

(1)

　 $x^2+3=(x+3)^2-216$

　 $x^2+3=x^2+6x+9-216$

　 $6x=210$

　 $x=35$ ・・・答

(2)

　 $x(12-x)=27$

　 $x^2-12x+27=0$

　 $(x-3)(x-9)=0$

　 $x=3,9$

　　 $x=3$ のとき $y=9$

　　 $x=9$ のとき $y=3$

以上より、 $39,93$ ・・・答

練習問題03

(1) ある整数 x を2乗してから2加えるところを、2加えてから2乗してしまったため、答えが30小さくなってしまった。xを求めよ。

(2) ある2数は、その和が2で積が-5になるという。この2数を求めよ。

4.数量関係③

例題04

(1) 3つの連続する整数について、小さい方の2数の平方の和は3つの数の和より、4大きくなった。等しい。この3つの整数を求めよ。

(2) 連続する3つ偶数について、最も小さい数と最も大きい数の積は、真ん中の数9倍より12小さい。この3つの偶数を求めよ。

解説

中2では連続する整数を x, x+1, x+2とおくことが多かった。

しかし、今回は真ん中をxとして、x-1, x, x+1としたほうが計算が楽になる場合が多い

(1)

3つの連続する整数を　 $x-1,　x,　x+1$ とおく

　　小さい方の2数の平方の和→ $(x-1)^2+x^2$

　　3つの数の和→ $(x-1)+x+(x+1)=3x$

よって

　 $3x=(x-1)^2+x^2-4$

これを解く。xは整数であることに注意

(2)

連続する3つ偶数を $2x-2,　2x,　2x+2$ とおく

　　最も小さい数と最も大きい数の積　→　 $(2x-2)(2x+2)$

　　真ん中の数の9倍　→　 $18x$

$(2x-2)(2x+2)$ は $18x$ より12小さいので

　 $(2x-2)(2x+2)=18x-12$

これを解く。xは整数であることに注意

解答

(1)

3つの連続する整数を　 $x-1,　x,　x+1$ とおく

　 $3x=(x-1)^2+x^2-4$

　 $3x=2x^2-2x-3$

　 $2x^2-5x-3=0$

これを解いて　

　 $x=3$ (xは整数)

よって、2, 3, 4・・・答

(2)

連続する3つ偶数を $2x-2,　2x,　2x+2$ (xは整数)とおく

　 $(2x-2)(2x+2)=18x-12$

　 $4x^2-4=18x-12$

　 $4x^2-18x+8=0$

　 $2x^2-9x+4=0$

これを解いて、 $x=4$ (xは整数)

よって、6, 8, 10・・答

練習問題04

(1)連続する3つの自整数について、最も小さい数と大きい数の積は、真ん中の数の4倍より1小さくなる。この3つの自然数を求めよ。

(2) 3つの連続する偶数について、3つの偶数の和は、真ん中の偶数の2乗より4小さい。最も小さい偶数を求めよ。

5.面積の問題①

例題05

(1) 縦の長さが横の長さより2 $cm$ 長い長方形の面積が168 $cm^2$ であった。縦と横の長さを求めよ。

(2) ある正方形の縦の長さを2 $cm$ ,横の長さを3 $cm$ 伸ばした長方形の面積は、元の正方形の面積より31 $cm^2$ 大きくなった。もとの正方形の1辺の長さを求めよ。

(3) 28 $cm$ の針金を2つにわけ。それぞれで正方形をつくったところ、その面積の和が25 $cm^2$ となった。小さい方の正方形の1辺の長さを求めよ。

解説

図を書いて、面積を求めてみるとよい。

(1)

縦の長さをx cmとすると、横の長さは縦より2 cm 長いので、

横の長さはx+2 cmとなる。

f:id:keimathchem:20180812020509p:plain

この長方形の面積は　 $x(x+2)$ だから

　 $x(x+2)=168$

　 $x+2x-168=0$

　 $(x-12)(x+14)=0$

長さはマイナスにならないので、

　 $x=12$

よって縦の長さは12 cm

横の長さは縦より2長いので、14 cm ・・・答

(2)

もとの正方形の1辺の長さをxとする

f:id:keimathchem:20180812020538p:plain

　長方形の縦の長さは $x+2$ , 横の長さは $x+3$ である。

よって、

　正方形の面積は $x^2$ 、長方形の面積は $(x+2)(x+3)$

正方形の面積の方が31 $cm^2$ 大きいので、

　 $x^2=(x+2)(x+3)-31$

(3)

　 f:id:keimathchem:20180812020602p:plain

上図のように、一方の針金を $x$ cmとすると、もう一方の針金は $28-x$ cmである

$x$ cmの針金を折り曲げると、下図のようになる。

　 f:id:keimathchem:20180812020634p:plain

つまり、

　 $x$ cmの針金を正方形にすると、1辺は　 $\frac x4$ cmとなる

同様に、

　 $28-x$ cmの針金を正方形にすると、1辺は　 $\frac{28-x}{4}$ cm

だから、

　それぞれの面積は　 $\frac{x^2}{16}$ , $\frac{(28-x)^2}{16}$

面積の和が25なので、

　 $\frac{x^2}{16}+\frac{(28-x)^2}{16}=25$

　

解答

(1)

縦の長さをxとすると

　 $x(x+2)=168$

　 $(x-12)(x+14)=0$

　 $x=12$ (x>0)

よって縦の長さ12 cm 、横の長さ14 cm ・・・答

(2)

もとの正方形の1辺の長さをxとする

　 $x^2=(x+2)(x+3)-31$

　 $x^2=x^2+5x-25$

　 $x=5$

以上より、元の正方形の1辺は5 cm・・・答

(3)

　一方の針金を $x$ cmとすると

　 $\frac{x^2}{16}+\frac{(28-x)^2}{16}=25$

　 $x^2-28x+192=0$

　 $(x-12)(x-16)=0$

　 $x=12,16$

小さい方の1辺は $12÷4=3$

以上より、3 cm・・・答

練習問題05

(1) 縦の長さが横の長さより2 $cm$ 長い長方形の面積は143 $cm^2$ であった。縦と横の長さを求めよ。

(2) ある円の半径を2 $cm$ 伸ばすと、面積が元の円の面積の $\frac94$ 倍になった。元の円の半径を求めよ。

(3)周りの長さが32 $cm$ で、面積が63 $cm^2$ の長方形の縦と横の長さを求めよ。

6.面積の問題②道幅

例題06

(1) 横の長さが、縦の長さより2 $m$ 短い長方形の土地に、図のように道幅1 $m$ の道をつくり、残りの土地を畑にした。畑の面積が208 $m^2$ のとき、長方形の土地の縦の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812025310p:plain

(2) 横の長さが、縦の長さより6 $m$ 長い長方形の土地の周りに道幅1 $m$ の道をつくり、残りを花壇にした。花壇の面積が道の面積の2倍であるとき、元の土地の縦の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812025438p:plain

解説

(1)

元の土地の縦の長さをxとすると、横の長さは $x-2$

下図のように、道の部分を移動すると、

f:id:keimathchem:20180812183741p:plain

畑の縦の長さは $x-1$ 、横の長さは $x-4$ となる

この畑の面積が208なので、

　 $(x-1)(x-4)=208$

これを解けば良い

(2)

元の土地の縦の長さをxとすると、横の長さは $x+6$

よって、元の土地の面積は　 $x(x+6)$

図から、花壇の縦の長さと横の長さを考えよう、。

f:id:keimathchem:20180812185859p:plain

花壇の縦の長さは $x-2$ 、横の長さは $x+4$ である。

よって、花壇の面積は　 $(x-2)(x+4)$

道の面積は、元の面積から花壇の面積を引けばいいので　 $x(x+6)-(x-2)(x+4)$

道の面積の2倍が花壇の面積なので

　 $(x-2)(x+4)=2 \{x(x+6)-(x-2)(x+4)\}$

これを解く

※

　元の面積から、花壇の面積を引かなくても道の面積を出せる。

道を長方形に分けて足せばよい。例えば、

　　 $1×(x+6)×2+1×(x-2)×2=4x+8$

こちらのほうが楽。

解答

(1)

　 $(x-1)(x-4)=208$

　 $x^2-5x-204＝0$

　 $(x-17)(x+12)=0$

　 $x=17$ (x>4)

よって、縦の長さ　17m・・・答

(2)

　 $(x-2)(x+4)=2 \{x(x+6)-(x-2)(x+4)\}$

　 $x^2+2x-8=2(x^2+6x-x^2-2x+8)$

　 $x^2+2x-8=8x+16$

　 $x^2-6x-24=0$

解の公式より

　 $x=3+\sqrt{33}$ 　(x>2)

よって、縦の長さは　 $x=3+\sqrt{33}$ m・・・答

練習問題06

(1) 正方形の土地に、図のように道幅が2 $m$ の道をつくった。残りの土地が道の面積の3倍であるとき、正方形の土地の1辺の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812205825p:plain

(2) 横の長さが、縦の長さより2 $m$ 短い長方形の土地の周りに道幅1 $m$ の道をつくった。道の面積が、残りの土地の面積の $frac13$ であるとき、この土地の縦と横の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812210009p:plain

7.体積の問題

例題07

横の長さが、縦の長さより5 $cm$ 長い長方形の紙がある。図のように、この紙の四隅から1辺2 $cm$ の正方形を切り取り、ふたのない直方体の容器をつくる。この立方体の容積が100 $cm^3$ のとき、もとの長方形の縦の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812190801p:plain

解説

縦の長さをxとすると、横の長さは $x+5$

ふたのない直方体の容器とは、以下の図のように作る

f:id:keimathchem:20180812193354p:plain

よって、体積について

　 $2(x+1)(x-4)=100$

が成り立つ。

解答

縦の長さをxとする

　 $2(x+1)(x-4)=100$

　 $x^2-3x-54=0$

　 $(x-9)(x+6)=0$

　 $x=9$ 　(x>4)

よって、縦の長さは 9 cm・・・答

練習問題07

正方形の紙の四隅から、図のように1辺3 $cm$ の正方形を切り取り、容積が420 $cm^3$ の直方体の容器をつくった。元の正方形の1辺の長さを求めよ。

f:id:keimathchem:20180812210255p:plain

8.演習問題

(1) 地面から秒速v(m/s)で真上にボールを投げると、投げ上げてからt秒後の高さh(m)は $h=vt-5t^2$ で求められる。地面の高さ0mから投げ上げたとするとき、以下の問いに答えよ。

①30m/sで投げ上げた時、ボールがはじめの位置に戻るのは何秒後か

②30m/sで投げ上げた時、ボールの最高点は何mか

(2) ある数xを二乗してから8を加えた数と、ある数に8を加えたあと2倍した数が等しいとき、この数を求めよ。

(3)連続する2つの正の奇数の平方の和が1154となった。この2つの奇数を求めよ。

(4) 連続する4つの正の奇数a, b, c, d ( a < b < c < d )について、bとcの和の平方は、dの平方からaの平方を引いた差の6倍より160大きい。aを求めよ。

(5) 1辺の長さ3cmの立方体の各辺の長さをx cmずつ伸ばすと、表面積が30%増えた。xの値を求めよ。

(6) 40 cmの糸を2本に切り分け、その糸で円を2つつくる。小さい方の円の面積の9倍が大きい方の円の面積に等しくなったとき、それぞれ何 cmに分けたか。

(7) 縦の長さ8cm、横の長さ12cmの大きさの絵を台紙に貼り付けたところ、周囲の余白の幅が等しくなった。絵の面積が余白の面積の $\frac{3}{4}$ 倍であるとき、余白の幅を求めよ。

＜出典: (4)東邦大付属東邦(7)京都女子＞

9.解答

練習問題・解答

練習問題01

(1)

$x=30$ を代入すると

　 $y=\frac{1}{150}×900=6$

よって、6 m

(2)

$y=10$ を代入すると

　 $10=\frac{1}{150} x^2$

　 $x^2=1500$

　 $x=±10\sqrt{15}$

よって、速さは時速 $10\sqrt{15}$ km・・・答

練習問題02

(1)

　 $(x+2)^2=x^2+2$

　 $x^2+4x+4=x^2+2$

　 $4x=-2$

　　 $x=-\frac12$ ・・・答

(2)

　現在の兄の年齢を $x$ 歳、弟の年齢 $x-5$ 歳とおける。

　すると、3年後の兄の年齢は $x+3$ 歳、弟の年齢 $x-2$ 歳になる。

よって、

　 $(x+3)^2=20(x-2)$

　 $x^2+6x+9=20x-40$

　 $x^2-14x+49=0$

　 $(x-7)^2=0$

　　 $x=7$

よって、兄の年齢は7歳　弟の年齢は2歳・・・答

練習問題03

(1)

　 $x^2+2=(x+2)^2+30$

　 $x^2+2=x^2+4x+34$

　 $4x=-32$

　　 $x=-8$ ・・・答

(2)

2数をx, yとおく

　和が2　 $x+y=2$

　積が-5　 $xy=-5$

よって、

　 $x(2-x)=-5$

　 $x^2-2x-5=0$

解の公式より

　　 $x=1±\sqrt6$

以上より、

　 $x=1+\sqrt6$ のとき $y=1-\sqrt6$

　 $x=1-\sqrt6$ のとき $y=1+\sqrt6$ 　・・・答

練習問題04

(1)

真ん中の数をxとする。

　 $(x-1)(x+1)=4x-1$

　 $x^2-1=4x-1$

　 $x^2-4x=0$

　 $x(x-4)=0$

　 $x=4$ 　(xは自然数なので $x≠0$ )

よって、3、4、5・・答

(2)

真ん中の偶数を2xとする

　 $6x=4x^2-4$

　 $2x^2-3x-2=0$

解の公式より

　 $x=2$ (xは整数)

よって、真ん中の数は $2×2＝4$

ゆえに、2、4、6・・・答

練習問題05

(1)

縦の長さをxとする

　 $x(x-2)=143$

　 $x^2-2x-143=0$

　 $(x-13)(x+11)=0$

　　 $x=13$ (x>0)

よって、縦の長さは13 cm, 横の長さは11 cm・・・答

(2)

　元の円の半径をxとする。元の円の面積は $πx^2$

　半径を2 cm伸ばした円の面積は $π(x+2)^2$

よって、

　 $\frac94 πx^2=π(x+2)^2$

　 $9x^2=4(x+2)^2$

　 $9x^2=4x^2+16x+16$

　 $5x^2-16x-16=0$

解の公式より

　　 $x=4$ (x>0)

以上より、半径は4 cm・・・答

(3)

長方形の短い方の1辺をxとすると、長い方は16-xとおける

　 $x(16-x)=63$

　 $x^2-16x+63=0$

　 $(x-7)(x-9)=0$

　 $x=7$ (8>x)

(x=9とすると、もう一方の辺が7cmとなる。これは短い方をxとおいたことにに反する)

よって。短い方は7cm 長い方は9cm・・・答

練習問題06

(1)

1辺の長さをxとする。

　土地全体の面積は　 $x^2$

　道以外の土地の面積は　 $(x-2)^2$

　道の面積は　 $x^2-(x-2)^2=4x-4$

よって、

　 $(x-2)^2=3(4x-4)$

　 $x^2-4x+4=12x-12$

　 $x^2-16x+16=0$

解の公式より

　 $x= 8±4\sqrt3$

よって、1辺の長さは $x= 8±4\sqrt3$ ・・・答

(2)

縦の長さをxとすると、横の長さはx-2

　土地の面積は　 $x(x-2)$

　残りの土地の面積は　 $(x-2)(x-4)$

　道の面積は　 $x(x-2)-(x-2)(x-4)=4x-8$

よって、

　 $\frac{1}{3}(x-2)(x-4)=4x-8$

　 $x^2-6x+8=12x-24$

　 $x^2-18x+32=0$

　 $(x-16)(x-2)=0$

　 $x=16$ (x>2)

よって、縦16 m，横14m・・・答

練習問題07

元の正方形の1辺の長さをxとする

　 $3(x-6)^2=420$

　 $(x-6)^2=140$

　 $x=6+2\sqrt{35}$ (x>6)

以上より、1辺 $6+2\sqrt{35}$ cm・・・答

演習問題・解答

(1)

①　はじめの位置に戻るとき、 $h=0$ である

よって、 $h=vt-5t^2$ より

　 $0=30t-5t^2$

　 $t(t-6)=0$

　 $t=0,6$

以上より、6秒後・・・答

②　ボールはt=0のときに投げられ、t=6のとき戻ってくる。

よって、真ん中の $t=3$ のとき最高地点にある。

　 $h=30×3-5×9$

　 $h=45$

以上より、45m・・・答

(2)

　 $x^2+8=2(x+8)$

　 $x^2+8=2x+16$

　 $x^2-2x-8=0$

　 $(x+2)(x-4)=0$

　　 $x=-2,4$ ・・・答

(3)

連続する2つの奇数を 2x-1, 2x+1とおく(xは自然数)

　 $(2x-1)^2+(2x+1)^2=1154$

　 $8x^2=1152$

　 $x^2=144$

　 $x=12$ (x>0)

よって、23,25・・・答

(4)

xを2以上の整数とすると、(2x-3>0とするための設定。 )

　a=2x-3　b=2x-1　c=2x+1　d=2x+3

とおける。

　bとcの和の平方は　 $16x^2$ 　

　dの平方からaの平方を引いた差は　 $(2x+3)^2-(2x-3)^2=24x$

よって、

　 $16x^2=6×24x+160$

　 $x^2-9x-10=0$

　 $(x-10)(x+1)=0$

　 $x=10$

よって、 $a=17$

(5)

　元の立体の表面積は $54 cm^2$

　また、x cm伸ばした立体の表面積をxで表すと $6(x+3)^2$ $cm^2$

ゆえに、

　 $6(x+3)^2=54×1.3$

　 $(x+3)^2=11.7$

　 $x=-3+\frac{3\sqrt{130}}{10}$ (x>0)・・・答

(6)

　二本に分けた糸の短い方をxとすると、長い方は40-x

つまり、

　小さい方の円の周の長さが $x$

　大きい方の円の周の長さが $40-x$

になる。

また、 $円の面積=\frac{円周^2}{4π}$ であるから

　小さい方の円の面積　 $\frac{x^2}{4π}$

　大きい方の円の面積　 $\frac{(40-x)^2}{4π}$

ゆえに、

　 $\frac{(40-x)^2}{4π}=9×\frac{x^2}{4π}$

　 $(40-x)^2=9x^2$

　 $8x^2+80x-1600=0$

　 $x^2+10x-200=0$

　 $(x-10)(x+20)=0$

　 $x=10$ (x>0)

よって、10cmと30cmに分けた・・・答

補足　円の面積について

半径 $r$ , 円周 $l$ ,円の面積 $S$ とする

　円周の公式　 $l=2πr$ ・・・①

　面積の公式　 $S=πr^2$ ・・・②

①より $r=\frac{l}{2π}$

これを②に代入し

　 $S=π×\frac{l^2}{4π^2}$

よって、

　 $S=\frac{l^2}{4π}$

ゆえに、

　 $円の面積=\frac{円周^2}{4π}$

(7)

余白の幅をx cmとする。

　元の絵の面積は　 $96$

　余白の面積は　 $(12+2x)(8+2x)-96$

よって、

　 $96=\frac{3}{4}×\{ (12+2x)(8+2x)-96 \}$

整理すると、

　 $x^2+10x-32=0$ 　

　 $x=-5+\sqrt{57}$ 　(x>0)

ゆえに、余白の幅は $x=-5+\sqrt{57}$ cm・・・答

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