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数学の解説と練習問題

展開の工夫(1)(標)(置き換え・マイナスでくくる)

解説中3数学展開標準問題式の計算

今回は、標準レベル(公立高校レベル)の展開の問題を見ていこう。

このレベルまで出来れば、展開の問題は大抵なんとかなる。

前回　←少し複雑な展開（標)

次回　→展開の工夫(2) (難)

関連記事

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開(標)(計算・分数)

1.1.3.展開の工夫(1)(標)(置き換え・マイナスでくくる)

1.1.4.展開の工夫(2)(難)(順番の工夫・因数分解の利用)

1.共通部分をAと置く
2.マイナスでくくる
3.その他
演習問題
解答

1.共通部分をAと置く

左右の( )の中で同じ部分を見つけ、それをAと置くパターン。

例題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x+y-3)(x+y+3)$

(2) $(x+2y-z)(x+2y+3z)$

(3) $(x+2y-3)(x-3y-3)$

解説

同じ部分を見つけよう

(1) (x+y-3)(x+y+3)

(2) (x+2y-z)(x+2y+3z)

(3) (x+2y-3)(x-3y-3)

赤字の部分が一緒だ。

この部分をAとおく。

たとえば(1)の問題なら、以下のようにする

(1) (x+y-3)(x+y+3)

　 $A=x+y$ と置く　　　←必ず途中式に書く!

　 $(x+y-3)(x+y+3)$

　　　 $=(A-3)(A+3)$

　　　 $=A^2-9$ 　　　　←ここで止めない。

　　　 $=(x+y)^2-9$ 　　　　←Aを元に戻す

　　　 $=x^2+2xy+y^2-9$ 　・・・答

定期テストや記述式の問題だと、

　「 $A=x+y$ とおく」という記述が無いと減点対象になる。

　Aを元に戻す操作を忘れることがあるので気をつけよう。

(2) $(x+2y-z)(x+2y+3z)$

　(1)とやり方は全く同じだ。

　 $A=x+2y$ と置く

　　　 $=(A-z)(A+3z)$

　　　 $=A^2+2Az-3z^2$

　あとは元に戻して計算すればよい。

(3) $(x+2y-3)(x-3y-3)$

　順番を入れ替えるとわかりやすい。

　　 $=(x-3+2y)(x-3-3y)$

　 $A=x-3$ と置く

　　 $=(A+2y)(A-3y)$

という感じで解くとよい

解答

(1) $(x+y-3)(x+y+3)$

　 $A=x+y$ と置く

　　　 $=(A-3)(A+3)$

　　　 $=A^2-9$ 　

　　　 $=(x+y)^2-9$ 　

　　　 $=x^2+2xy+y^2-9$ 　・・・答

(2) $(x+2y-z)(x+2y+3z)$

　 $A=x+2y$ と置く

　　　 $=(A-z)(A+3z)$

　　　 $=A^2+2Az-3z^2$

　　　 $=(x+2y)^2+2z(x+2y)-3z^2$

　　　 $=x^2+4xy+4y^2+2xz+4yz-3z^2$ 　・・・答

(3) $(x+2y-3)(x+3y-3)$

　 $A=x-3$ と置く

　　　 $=(A+2y)(A-3y)$

　　　 $=A^2-Ay-6y^2$

　　　 $=(x-3)^2-(x-3)y-6y^2$

　　　 $=x^2-6x+9-xy+3y-6y^2$ 　・・・答

練習問題01　以下の計算をせよ

(1) $(a-b+2c)(a-b-2c)$

(2) $(2x+3y+z)(2x-5y+z)$

(3) $(a-b+2)(a-b-2)-(a-b-2)^2$

2.マイナスでくくる

例題02　以下の式を展開せよ

(1) $(x+y-3)(x-y+3)$

(2) $(x+2y+z)(x-2y-z)$

(3) $(a+2c-3b)(a+3b-2c)$

解説

(1) (x+y-3)(x-y+3)

(2) (x+2y+z)(x-2y-z)

(3) (a+2c-3b)(a+3b-2c)

赤い部分は符号だけが逆で、あとは一緒だと分かる。

この様な場合、－1でくくるとよい。

補足　

－1でくくるには

　－をカッコの前に付けて、中の符号を逆にする。

(1) $+a+b$ 　＝　 $-(-a-b)$

(2) $-a+b$ 　＝　 $-(+a-b)$

(3) $a-b$ 　＝　 $-(-a+b)$

(4) $-a-b$ 　＝　 $-(+a+b)$

このようになる。

では、あらためて(1)の問題を見てみよう

(1) (x+y-3)(x-y+3)

　赤字を－1でくくると、

　　　＝(x+y-3)(x-(+y-3))

　A＝y-3と置くと

　　　＝(x+A)(x-A)

あとは展開して、Aを元に戻せばよい。

解答

(1) $(x+y-3)(x-y+3)$

　　　 $=(x+y-3)(x-(+y+3))$

　　 $A=y-3$ と置く

　　　 $=(x+A)(x-A)$

　　　 $=x^2-A^2$

　　　 $=x^2-(y-3)^2$

　　　 $=x^2-y^2+6y-9$ 　・・・答

(2) $(x+2y+z)(x-2y-z)$

　　　 $=(x+2y+z)(x-(+2y+z))$

　　 $A=2y+z$ と置くと

　　　 $=(x+A)(x-A)$

　　　 $=x^2-A^2$

　　　 $=x^2-(2y+z)^2$

　　　 $=x^2-4y^2-4yz-z^2$ 　・・・答

(3) $(a+2c-3b)(a+3b-2c)$

　　　 $=(a-3b+2c)(a+3b-2c)$

　　　 $=(a-(+3b-2c))(a+3b-2c)$

　　 $A=3b-2c$ と置くと

　　　 $=(a-A)(a+A)$

　　　 $=a^2-A^2$

　　　 $=a^2-(3b-2c)^2$

　　　 $=a^2-9b^2+12bc-4c^2$ 　・・・答

練習問題02　以下の式を展開せよ。

(1) $(a+b-5)(a-b+5)$

(2) $(a-3b+c)(a+3b-c)$

(3) $(x+2y+z)(x-2y-z)$

3.その他

例題03　以下の式を展開せよ

(1) $(x+y-3)^2$

(2) $(a+2b-c+d)(a+2b+c-d)$

解説

(1) $(x+y-3)^2$

　一部の項をまとめてAと置くと良い。

　　 $A=x+y$ とおく。

　　　 $(x+y-3)^2$

　　　　 $=(A-3)^2$

　　　　 $=A^2-6A+9$

　あとはAを元に戻せばよい。

補足

高校1年生で学ぶ以下の公式を使ってもよい。

　 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

　

(2) $(a+2b-c+d)(a+2b+c-d)$

　今回は共通部分が二組ある→共通部分をA,Bと置けば良い。

　　　 $(a+2b-c+d)(a+2b+c-d)$

　　　　 $=(a+2b-(c-d))(a+2b+c-d)$

　　 $A=a+2b, B=c-d$ と置く

　　　　 $=(a+2b-(c-d))(a+2b+c-d)$

　　　　 $=(A-B)(A+B)$

　　　　 $=A^2-B^2$

　あとはA,Bを元に戻せば良い。

解答

(1) $(x+y-3)^2$

　 $A=x+y$ とおく。

　　 $(x+y-3)^2$

　　　 $=(A-3)^2$

　　　 $=A^2-6A+9$

　　　 $=(x+y)^2-6(x+y)+9$

　　　 $x^2+2xy+y^2-6x-6y+9$ 　・・・答

(2) $(a+2b-c+d)(a+2b+c-d)$

　　　 $=(a+2b-(c-d))(a+2b+c-d)$

　 $A=a+2b, B=c-d$ と置く

　　　 $=(A-B)(A+B)$

　　　 $=A^2-B^2$

　　　 $=(a+2b)^2-(c-d)^2$

　　　 $=a^2+4ab+4b^2-c^2+2cd-d^2$ 　・・・答

練習問題03　以下の式を展開せよ

(1) $(x+y-2)^2$

(2) $(a-b+c-2)(a-b-c+2)$

(3) $(x-2y-2z-1)(x+2y+2z-1)$

演習問題

演習問題　以下の式を計算せよ。

(1) $(3a-b+c)(3a-b-c)$

(2) $(b+c)(a+b+c)$

(3) $(x-y+4)(x+y-4)$

(4) $(2a+b-3)^2$

(5) $(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

(6) $(x+y+2)(x+y-3)-(x+y-4)(x+y+5)$

解答

練習問題01　

(1) $(a-b+2c)(a-b-2c)$

　 $A=a-b$ とおく

　　　 $=(A+2c)(A-2c)$

　　　 $=A^2-4c^2$

　　　 $=(a-b)^2-4c^2$

　　　 $=a^2-2ab+b^2-4c^2$ 　・・・答

(2) $(2x+3y+z)(2x-5y+z)$

　　　 $=(2x+z+3y)(2x+z-5y)$

　 $A=2x+z$ とおく

　　　 $=(A+3y)(A-5y)$

　　　 $=A^2-2Ay-15y^2$

　　　 $=(2x+z)^2-2y(2x+z)-15y^2$

　　　 $=4x^2+4xz+z^2-4xy-2yz-15y^2$ 　・・・答

(3) $(a-b+2)(a-b-2)-(a-b-2)^2$

　　 $A=a-b$ とおく

　　　 $=(A+2)(A-2)-(A-2)^2$

　　　 $=A^2-4-A^2+4A-4$

　　　 $=4A-8$

　　　 $=4(a-b)-8$

　　　 $=4a-4b-8$ 　・・・答

練習問題02　

(1) $(a+b-5)(a-b+5)$

　　　 $=(a+b-5)(a-(b-5))$

　 $A=b-5$ とおく

　　　 $=(a+A)(a-A)$

　　　 $=a^2-A^2$

　　　 $=a^2-(b-5)^2$

　　　 $=a^2-b^2+10b-25$ 　・・・答

(2) $(a-3b+c)(a+3b-c)$

　　　 $=(a-(3b-c))(a+3b-c)$

　 $A=3b-c$ とおく

　　　 $=(a-A)(a+A)$

　　　 $=a^2-A^2$

　　　 $=a^2-(3b-c)^2$

　　　 $=a^2-9b^2+6bc-c^2$ 　・・・答

(3) $(x+2y+z)(x-2y-z)$

　　　 $=(x+2y+z)(x-(2y+z)$

　 $A=2y+z$ とおく

　　　 $(x+A)(x-A)$

　　　 $=x^2-A^2$

　　　 $=x^2-(2y+z)^2$

　　　 $=x^2-4y^2-4yz-z^2$ 　・・・答

練習問題03

(1) $(x+y-2)^2$

　 $A=x+y$ とおく

　　　 $=(A-2)^2$

　　　 $=A^2-4A+4$

　　　 $=(x+y)^2-4(x+y)+4$

　　　 $=x^2+2xy+y^2-4x-4y+4$ 　・・・答

(2) $(a-b+c-2)(a-b-c+2)$

　　　 $=(a-b+c-2)(a-b-(c-2)$

　 $A=a-b, B=c-2$ とおく

　　　 $=(A+B)(A-B)$

　　　 $=A^2-B^2$

　　　 $=(a-b)^2-(c-2)^2$

　　　 $=a^2-2ab+b^2-c^2+4c-4$ 　・・・答

(3) $(x-2y-2z-1)(x+2y+2z-1)$

　　　 $=(x-1-2y-2z)(x-1+2y+2z$

　　　 $=(x-1-(2y+2z))(x-1+2y+2z$

　 $A=x-1, B=2y+2z$ とおく

　　　 $=(A-B)(A+B)$

　　　 $=A^2-B^2$

　　　 $=(x-1)^2-(2y+2z)^2$

　　　 $=x^2-2x+1-4y^2-8yz-4z^2$ 　・・・答

演習問題　

(1) $(3a-b+c)(3a-b-c)$

　 $A=3a-b$ とおく

　　　 $=(A+c)(A-c)$

　　　 $=A^2-c^2$

　　　 $=(3a-b)^2-c^2$

　　　 $=9a^2-6ab+b^2-c^2$ 　・・・答

(2) $(b+c)(a+b+c)$

　 $A=b+c$ とおく

　　　 $=A(a+A))$

　　　 $=aA+A^2$

　　　 $=a(b+c)+(b+c)^2$

　　　 $=ab+ac+b^2+2bc+c^2$ 　・・・答

(3) $(x-y+4)(x+y-4)$

　　　 $=(x-(y-4))(x+y-4)$

　 $A=y-4$ とおく

　　　 $=(x-A)(x+A)$

　　　 $=x^2-A^2$

　　　 $=x^2-(y-4)^2$

　　　 $=x^2-y^2+8y-16$ 　・・・答

(4) $(2a+b-3)^2$

　 $A=2a+b$ とおく

　　　 $=(A-3)^2$

　　　 $=A^2-6A+9$

　　　 $=(2a+b)^2-6(2a+b)+9$

　　　 $=4a^2+4ab+b^2-12a-6b+9$ 　・・・答

(5) $(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

　 $A=a^2+b^2$ とおく

　　　 $=(A-ab)(A+ab)$

　　　 $=A^2-a^2 b^2$

　　　 $=(a^2+b^2)^2-a^2 b^2$

　　　 $=a^4+2a^2 b^2+b^4-a^2 b^2$

　　　 $=a^4+a^2 b^2+b^4$ 　・・・答

(6) $(x+y+2)(x+y-3)-(x+y-4)(x+y+5)$

　 $A=x+y$ とおく

　　　 $=(A+2)(A-3)-(A-4)(A+5)$

　　　 $=A^2-A-6-A^2-A+20$

　　　 $=-2A+14$

　　　 $=-2(x+y)+14$

　　　 $=-2x-2y+14$ 　・・・答

※中学では回答を整理する必要がない。

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式と練習問題(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開と練習問題(標)

1.1.3.展開の工夫と練習問題(1)(標)

1.1.4.展開の工夫と練習問題(2)(難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本と練習問題(基)

1.2.2 因数分解の基本と練習問題(2)(標)

1.2.3 因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫と練習問題(2)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

1.3展開と因数分解の利用

　　1.3.1 式の利用と練習問題(基)

　　1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

　　1.3.3 式の利用と練習問題(難)