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数学の解説と練習問題

2020年度　京都公立高校入試（前期)・解説

解説 2020年度公立高校解説高校入試過去問データベース

より詳しい解説は気が向いたら行います。

解いたばかりなので、とくに検証とかしてません。

大問1

(1)

　 $与式=8×\frac94 -(-16)$

　　 $=18+16=34$

(2)

　 $与式=\frac{3(4a-3)-2(6a-5)}{18}$

　　 $=\frac{12a-9-12a+10}{18}$

　　 $=\frac{1}{18}$

(3)

　 $与式=-\frac{2x^2y^3 ×8×9}{3×xy×4y}$

　　 $12x^2 y$

(4)

　中心角をa°とすると

　　 $\frac{a}{360}=\frac{6}{16}$

　　 $a=\frac{3}{8}×360$

　　 $a=135$

　よって中心角は135°

(5)

　 $x=5,y=-3$ を代入すると

　　 $5a+3b=23$

　　 $10+3a=31$

　となる。下の式より

　　 $a=7$

　これを、上の式に代入し

　　 $b=-4$

(6)

　 $a^2+12a+35$

　　 $=(a+5)(a+7)$

　ここにaの値を代入し

　　 $=(\sqrt{30}-1)(\sqrt30+1)$

　　 $=30-1$

　　 $=29$

(7)

　解の公式より

　　 $x=\frac{8±\sqrt{112}}{6}$

　　 $x=\frac{8±4\sqrt{7}}{6}$

　　 $x=\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$

(8)

　傾きが正の1次関数と、上に凸な放物線を選ぶ

　　ア　ウ　カ

(9)

　 $1-(Bが残らない確率)$ を計算する。

　　 $1-\frac{2×1}{6×5}$

　　 $=\frac{14}{15}$

大問2

(1)

　6冊以上8冊未満のところに、25位と26位が入っている。

　中央値は階級値を答えるので、7冊

(2)

　1年と3年で、4冊以上6冊未満の相対度数が等しいので

　　 $x=\frac{10}{50}×40=8$

　また、

　　 $Y+Z=40-2-6-4-6=14$

　　 $\frac{Y}{40}＞\frac{15}{50}$

　　 $Z≧1$

　これらを満たすのは、

　　 $Y=13,Z=1$

大問3

(1) 公式の解答そのままなので略

(2)

(1)の相似より

　　 $12:9=BE+9:12$

　　 $9BE=63$

　　　 $BE=7$

(3)

△ADCの頂点DからACへ垂線を下ろすとわかりやすい。

　　 $AC=6\sqrt3×2=12\sqrt3$

また、

　　 $△ACD=12\sqrt3 ×6÷2=36\sqrt3$

　　 $△ABC=\frac{7}{9}△ACD$

　　　　 $=\frac{7}{9}×36\sqrt3$

　　　　 $=28\sqrt3$

大問4

(1)

　Bは $y=-\frac{1}{2} x+7$ 上の点なので

　　B(6，4)

　AC:CD=5：4なので

　　A(-3,1)

(2)

　 Cは $y=-\frac{1}{2} x+7$ 上の点なので

　　C(2,6)

　よって

　　AC　 $y=x+4$

(3)

　OC//BE

OC $y=3x$ なので

BE $y=3x-14$

よって、

　 $3x-14=x+4$

　　 $x=9$

E(9,13)

大問5

(1)

　 $DB=PQ$ で、△BCDは直角二等辺三角形なので

　　 $PQ=DB=6\sqrt2$

(2)

　 $CR=\sqrt{6^2+6^2+6^2}=6\sqrt3$

よって、対角線×対角線÷2で面積をだすと

　 $6qrt2×6sqrt3÷2=18\sqrt6$

また、

　 $CQ^2=6^2+3^2$

　　 $CQ=3\sqrt5$

CQ,PR間の距離をhとすると、

四角形CQRPの面積について

　 $18\sqrt6=3\sqrt5×h$

が成り立つ。これを解いて

　 $h=\frac{6\sqrt{30}}{5}$

(3)

　求める体積は、三角錐Q-RMPの体積と等しい。

　△RMPを底面とすると、高さは $DA＝6$

　よって、△RMPの面積を求める。

　面AEFBを取り出して考えるとわかりやすい

　　 $△RMP=△RSM+△SPM$

　　　 $△RSM=△AEF×\frac{7}{10}×\frac{1}{2}×\frac{3}{7}$

　　　 $△SPM=△ ABF×\frac{3}{5}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$

　 $△AEF=△ABF$ なので、

　　 $△RMP=\frac{3}{8}△AEF$

　　　　 $=\frac{3}{8}×6×12÷2$

　　　　 $=\frac{27}{2}$

　よって求める体積は

　　 $\frac{27}{2}×6×\frac{1}{3}=27$

大問6

(1)

　nが6の倍数になったとき、赤玉の数が1つ増える

　　n=6 初めて6の箱に赤玉が1個入る

　　n=12 初めて6の箱に赤玉が2個入る

　よって、ア18、イ24

(2)

　a回目の操作で、3の箱の赤玉が初めてbになる

　　→ $a=3b$

　a+85回目の操作で、8の箱の赤玉が初めてbになる

　　→ $a+85=8b$

　2式を連立すると

　　 $a=51, b=17$

(3)

　267回目までに、4の箱には

　　 $264÷4=66あまり3$

　より、66個の赤玉が入る

　267回目までに、9の箱には赤玉が29個あり

　66個の黄色玉が、9の箱に入ったとき、玉は合計で、95個入っている。

　よって、9の箱の黄色の玉が66個に初めてなるのは

　　 $9×95=855$

　より、855回目の操作である

　855回目の操作までに、4の箱には

　　 $855÷4=213あまり3$

　より、213個の玉が入っている。

　このうち、66個が赤玉なので、黄玉の数は

　　 $213-66=147$ 個

　となる。