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数学の解説と練習問題

展開公式と練習問題(基)

解説中3数学展開基礎問題式の計算

今回は展開の公式をマスターしていこう。

公式がなくても分配法則で解けるが、この先の因数分解や2次方程式、高校数学のことを考えて、必ず公式で展開できるようになっておこう。

次回→少し複雑な展開

関連記事

　1.1式の展開

　　1.1.1展開公式(基)

　　1.1.2.少し複雑な展開(標)(計算・分数)

1.1.3.展開の工夫(1)(標)(置き換え・マイナスでくくる)

1.1.4.展開の工夫(2)(難)(順番の工夫・因数分解の利用)

0.展開公式
1.公式①
2.公式②
3.公式③
4.公式④
5.演習問題
6.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答
7.補足

0.展開公式

まずは、よくある展開公式を見てみよう。

展開公式

1. $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

2. $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

3. $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$

4. $(x+a)(x-a)=x^2-a^2$

数学が得意なら展開公式を見ただけで、なんとかなるかもしれない。

でもこれだけ見せられて、練習問題を解けと言われてもどうして良いか分からない...

そこで、一つずつ展開の方法を見ていこう。

1.公式① $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

問題01 以下の式を展開せよ

(1) $(x+2)(x-6)$

(2) $(x+y)(x+3y)$

(3) $(2x+1)(2x+3)$

解説

公式1を詳しく見ると

f:id:keimathchem:20190708152356p:plain
と計算している。

少し例を見てみよう。

(1) (x+2)(x-6)

　＝x²+(2+(-6))×x+2×(-6)

　＝x²-4x-12　・・・答

(3) (2x+1)(2x+3)

　＝(2x)²+(1+3)×2x+1×3

＝4x²+8x+3　・・・答

「前・・後ろ・・」と言いながら計算していこう

解答

(1) $(x+2)(x-6)$

　　 $=x^2+(2+(-6))×x+2×(-6)$

$=x^2-4x-12$ 　・・・答

(2)後ろに文字がついていてもやることは同じ

　 $(x+y)(x+3y)=x^2+(y+3y)×x+3y×y$

　 $=x^2+4xy+3y^2$ 　・・・答

(3)真ん中の項に、前(2x)を掛けるのを忘れないように

　 $(2x+1)(2x+3)=(2x)^2+(1+3)×2x+1×3$

　 $=4x^2+8x+3$ 　・・・答

※誤答例

　(2x+1)(2x+3)=(2x)²+(1+3)x+1×3

=4x²+4x+3　・・・誤

練習問題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x-3)(x-4)$

(2) $(x-5y)(x+4y)$

(3) $(3x+2)(3x-1)$

2.公式② $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$

問題02 以下の式を展開せよ

(1) $(x+3y)^2$

(2) $(2x+3y)^2$

解説

公式2では

f:id:keimathchem:20190708153410p:plain

と計算している。真ん中の項を2倍するのを忘れないように！

例を見てみよう

(1) (x+3y)²

　　＝x²+　2×3y×x　+(3y)²

＝x²+6xy+9y²

解答

(1) 真ん中の項に特に注意

$(x+3y)^2=x^2+2×x×3y+(3y)^2$

　 $=x^2+6xy+9y^2$ 　・・・答

(2) $(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2$

$=4x^2+12xy+9y^2$ 　・・・答

　　　　　　　 ( $=4x^2+6xy+9y^2$ は✕)

3.公式③ $(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$

2. $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ のプラスとマイナスが入れ替わっただけだ。

問題03 以下の式を展開せよ

(1) $(x-4)^2$

(2) $(2x-y)^2$

解答

(1) $(x-4)^2=x^2+2×x×(-4)+(-4)^2$

　 $=x^2-8x+16$ 　・・・答

(2) $(2x-y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(-y)+(-y)^2$

　 $=4x^2-4xy+y^2$ 　・・・答

練習問題02　以下の式を展開せよ

(1) $(x-3)^2$

(2) $(x+2y)^2$

(3) $(2x+4y)^2$

(4) $(3x-y)^2$

4.公式④ $(x+a)(x-a)=x^2-a^2$

問題04 以下の式を展開せよ

(1) $(x+2)(x-2)$

(2) $(7-x)(7+x)$

(3) $(2x-4y)(2x+4y)$

解説

この公式では　

f:id:keimathchem:20190708153828p:plain

と計算している

解答

(1) $(x+2)(x-2)=x^2-2^2$

$=x^2-4$ 　・・・答

(2)文字と数字が逆でも関係ない

　 $(7-x)(7+x)=7^2-x^2$

$=49-x^2$ 　・・・答

(3) $(2x-4y)(2x+4y)=(2x)^2-(4y)^2$

　 $=4x^2-16y^2$ 　・・・答

練習問題03　以下の式を展開せよ

(1) $(x-5)(x+5)$

(2) $(2-3y)(2+3y)$

(3) $(5x+7y)(5x-7y)$

5.演習問題

演習問題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x+5)(x+2)$

(2) $(2x-3)(2x-8)$

(3) $(x-2y)^2$

(4) $(2x+2)^2$

(5) $(x-6)^2$

(6) $(x-9y)(x+9y)$

(7) $(2x+5y)(2x-5y)$

演習問題02　以下の式を展開せよ

(1) $(x-4)(x+12)$

(2) $(7-3y)(7+3y)$

(3) $(x-5y)^2$

(4) $(2x-1)(2x+1)$

(5) $(4+2x)^2$

(6) $(3x-4y)(3x+5y)$

(7) $(3-5x)(5x+3)$

6.解答

練習問題・解答

練習問題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$

(2) $(x-5y)(x+4y)=x^2-xy-20y^2$

(3) $(3x+2)(3x-1)=9x^2+3x-2$

練習問題02　以下の式を展開せよ

(1) $(x-3)^2=x^2-6x+9$

(2) $(x+2y)^2=x+4xy+4y^2$

(3) $(2x+4y)^2=4x^2+16xy+16y^2$

(4) $(3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2$

練習問題03　以下の式を展開せよ

(1) $(x-5)(x+5)=x^2-25$

(2) $(2-3y)(2+3y)=4-9y^2$

(3) $(5x+7y)(5x-7)=25x^2-49y^2$

演習問題・解答

演習問題01　以下の式を展開せよ

(1) $(x+5)(x+2)=x^2+7x+10$

(2) $(2x-3)(2x-8)=4x^2-22x+24$

(3) $(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2$

(4) $(2x+2)^2=4x^2+8x+4$

(5) $(x-6)^2=x^2-12x+36$

(6) $(x-9y)(x+9y)=x^2-81y^2$

(7) $(2x+5y)(2x-5y)=4x^2-25y^2$

演習問題02　以下の問いに答えよ

(1) $(x-4)(x+12)=x^2+8x-48$

(2) $(7-3y)(7+3y)=49-9y$

(3) $(x-5y)^2=x^2-10xy+25y^2$

(4) $(2x-1)(2x+1)=4x^2-1$

(5) $(4+2x)^2=16+16x+4x^2$

(6) $(3x-4y)(3x+5y)=9x^2+3xy-20y^2$

(7) $(3-5x)(5x+3)$

$=(3-5x)(3+5x)$

$=9-25x^2$ 　　　　　　　　　

7.補足

ここまで紹介した展開公式は、(2x-3)(3x-4)の様な式では使えない。

カッコの中の前部分が異なるからだ。

　(2x＋5)(2x＋1) ←展開公式が使える

　(2x－3)(3x－4) ←展開公式が使えない

よって(2x－3)(3x－4) は分配法則を使って展開する必要がある。

一応解答を書いておく

　 $(2x-3)(3x-4)=6x^2-8x-9x+12$

$=6x^2-17x+12$ 　・・・答

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　1.1式の展開

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1.1.3.展開の工夫と練習問題(1)(標)

1.1.4.展開の工夫と練習問題(2)(難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本と練習問題(基)

1.2.2 因数分解の基本と練習問題(2)(標)

1.2.3 因数分解の工夫と練習問題(1)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫と練習問題(2)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫と練習問題(3)(難)

1.3展開と因数分解の利用

　　1.3.1 式の利用と練習問題(基)

　　1.3.2 式の利用と練習問題(標~難)

　　1.3.3 式の利用と練習問題(難)