ページコンテンツ

数学の解説と練習問題

2018(H30)年度千葉県(前期)公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題・解答　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/cba/cba1/cba-su/su_1.html

結果　https://www.pref.chiba.lg.jp/kyouiku/shidou/press/2018/koukounyuushi/documents/h30kennsakekka.pdf

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5
感想

大問1

　いずれの正答率も高い。どの県も大問1は落とせない問題がでる。

(6)

$(x+3)(x-5)+2(x+3)$

　 $=(x+3)(x-5+2)$

　 $(x+3)(x-3)$

この様に、ｘ+3を共通因数としてくくると速い。

大問2

(3)以降から正答率が下がる。

(3)

　平面図は図形を上から見た図。

　立面図は図形を正面から見た図。

よって、この三角柱は以下のようになる。

　 f:id:keimathchem:20190127132325p:plain

三平方の定理より

　 $AC^2=8^2-6^2$

　 $AC=2\sqrt7$

よって体積は

　 $6×2\sqrt7×\frac12×6=36\sqrt7$ $cm^3$

(4)

　大きい方のサイコロの出た目を $a$

　小さい方のサイコロの出た目を $b$

とする。和の最大値は12である。12までの素数について

　 $a+b=2$ のとき $(a,b)=(1,1)$

　 $a+b=3$ のとき $(a,b)=(1,2),(2,1)$

　 $a+b=5$ のとき $(a,b)=(1,4)(2,3),(3,2),(4,1)$

　 $a+b=7$ のとき $(a,b)=(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)(6,1)$

　 $a+b=11$ のとき $(a,b)=(5.6),(6,5)$

よって

　 $\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

(5)

　点Rの位置が分かれば、Rから垂線を下ろせばP, Qを作図できる。

　 f:id:keimathchem:20190127134019p:plain

上図左のような図を作図したい。

上図右のように、BRは∠ABCの二等分線になっていることが分かる

よって、∠ABCの二等分線を作図し、ACとの交点をRとする。

そして点RからAB,ACに垂線を降ろし、その足をP,Qとすればよい。

　 f:id:keimathchem:20190127135003p:plain

大問3

(2)①の正答率は29.7と低い。おそらく点Bを求められなかったか、平行なら傾きが等しいことを忘れていたのだろう。(2)②の正答率は6.1と非常に低い。面積問題は解き方をまとめた問題集等で、一通り解いておこう。

(2)①

まず、BとCの座標を求めよう。

OA:OB=1:4で $A(1,2)$ なので

　 $B(4,8)$ 　

よって、Cの $y$ 座標は 8 なので

　 $C(-2,8)$

※　Bの座標の求め方について

下図のようにAの $x$ 座標とBの $x$ 座標についても、

1：4が成り立つ。また、 $y$ 座標についても同じことが言える。

つまり、Bの各座標はAの各座標を4倍すればよい。

　　 f:id:keimathchem:20190127152543p:plain

OB//CDなので、OBとCDの傾きが等しい。

OBは、 $y=2x$ なので、CDは、 $y=2x+b$ とおける。

この式に、 $C(-2,8)$ を代入し

　 $y=-2x+12$

※頂点Dについて

平行四辺形の頂点Dを求めるには、よく使う手法として

　　①長さ利用　②傾き利用　③直線の式を出してその交点

がある。

①長さ利用

　BCの長さは $6$ なので、ODの長さも $6$

　よって、　 $D(-6,0)$

②傾き利用

　OからBまで、右に4進んで、上に8進む。

　DからCまでも同様なので、Cから左に4、下に8進めばよい。

　よって、 $D(-6,0)$

③直線を出して交点

　 CDの式は、 $y=-2x+12$ 。Dはこれと $x$ 軸の交点

　よって、 $D(-6,0)$

①や②からDの座標をだして、CDを通る直線を求めてもよい。

(2)②

点Pの座標を文字でおいて、台形の面積を表したりするのは難しい。

今回は、面積から高さを出して座標を求める手法でいく。

下図の様に、点Pの $y$ 座標は、△OPDの高さなので

△OPDの面積が分かれば出せそうだ。

　 f:id:keimathchem:20190127155650p:plain

平行四辺形OBCDの面積は

　 $6×8=48$

よって、台形OAPDの面積は

　 $48×\frac38=18$

△OPDの面積は、ここから△OPAの面積を引けば出せる。

△OPAの面積を出そう。、

　△OPBの面積と△OBCの面積は等しく、(等積変形)

　その面積は、平行四辺形OBCDの半分である。

f:id:keimathchem:20190127160341p:plain

よって、

　 $△OPB=24$

また、OA:AB=1:3 なので

　 $△OPA=24×\frac14=6$

△OPDの面積は、

　 $△OPD=台形OAPD-△OPA$

　 $△OPD=12$

ODの長さは 6 なので、△OPDの高さは4

よって、点Pの $y$ 座標も4である。

Pは $y=2x+12$ 上の点なので

　 $P(-4,4)$

大問4

(2)の正答率が6.1と低い。B,E,Gを通る円の中心がどこにあるかを調べる必要がある。

円の中心は①OB=OE=OGとなる点Oを探す。②直径に対する円周角が90°で有ることを利用などのパターンがある。

AB=CG=4なので、

BG//ACで、∠BGF＝90°である。

つまり、B, G, Fを通る円は、BFを直径とする円である。

なお、∠FDB=90°であるから、この円はDも通り、

ACはこの円の接線である。

f:id:keimathchem:20190127164401p:plain

BFの長さはEFと等しいので、

EFの長さを求めにいこう。

△DCG∽△FDCより

　 $CG:DC=DC:CF$

　 $4:6=6:CF$

　 $CF=9$

よって、EF=13

よって、直径 $BF=13$ であるから、

半径は　 $\frac{13}{2}$

大問5

いわゆる俵算の問題。数列とその和で考えてもいいし、数え方の工夫を考えてもとける。数列の和のやり方を知っておいたほうが楽に解ける。

(1)

5番目は、4番目に青紙が5枚増える。

6番目は、5番目に白紙が6枚増える。

　 f:id:keimathchem:20190127170102p:plain

この様に図を書いてもいい。

なお、

　青紙は以下の様に奇数番目に増え、

　その数はその番目までの奇数の和になっている。

　　1番目 1

　　3番目 1+3

　　5番目 1+3+5

　白紙は偶数番目に増え、

　その数はその番目までの偶数の和である。

　　2番目 2

　　4番目 2+4

　　6番目 2+4+6

　紙の総数は、その番目までの自然数の和である。

　　1番目 1

　　2番目 1+2

　　3番目 1+2+3

(2)

青紙の総数が36になるように奇数を足していくと

　1+3+5+7+11+13=36

となる。よって13番目である。

(3)

1+2+3+・・・+30を計算すればよい。

こういった等差数列の和は、以下の様に考える

f:id:keimathchem:20190127171316p:plain

1~30までの和を反対に書いたものを、

上の様に足し合わせると、31が30個できる。

これは1～30の和2つ分なので、

　 $1+2+3+・・・+30=\frac{31×30}{2}$

となる。よって、465枚。

※

　ピラミッドの様に図形を積んでいく問題は、

　以下の図のように、同じ図形をくっつけて四角形をつくる

　　 f:id:keimathchem:20190127172015p:plain

　よって、 $n$ 番目の紙の総数は

　　 $\frac{n(n+1)}{2}$

　である。これに $n=30$ を代入すればよい。

(4)

　紙の総数は、(3)の問題のから　

　　 $\frac{n(n+1)}{2}$

　で出せると分かる。

　※ $\frac{31×30}{2}$ から予測しても、

　　図形から求めてもよい。

　よって、

　　 $\frac{n(n+1)}{2}=1275$

　　　 $n=50$

　白紙は偶数番目に増え、　

　その数はその番目までの偶数の和であるから

　　 $2+4+・・・+48+50$

　これを計算すればよい。

　　 f:id:keimathchem:20190127174030p:plain

　52が25個あるから

　　 $2+4+・・・+48+50$

　　　 $=\frac{52×25}{2}$

　　　 $=650$ 枚

※

　偶数番号の白紙の数は(3)のように四角形を作ると

　 f:id:keimathchem:20190127174258p:plain

のようになり、

　　 $\frac{n(n+2)}{2}$

で計算できる。これに $n=50$ を代入すればよい。

なお、奇数番号はこの式では計算できない。

感想

やはり、ある程度数列の知識を身に着けておいたほうが、規則性の問題で有利になる。各大問の難易度はある程度高いが、思いつけばパット解ける。ずっと難し問題を考えて止まらないようにしよう。中1の投影図を忘れている子が結構いる様子。入試対策の時期に流してしまわないようにしたい。