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数学の解説と練習問題

2019(H31)年度公立高校入試・正答率が低い難問②

2019年度公立高校解説解説中3数学高校入試過去問データベース

今回は、2019年度の公立入試問題の中で、正答率が低かった問題を詳紹介する。

なお、2019年度9月1日現在、正答率が公式に発表され、問題がインタネット上で公開されているもののみ扱う。

※2020年3月まで、2019年度入試で解答・解説がほしい問題を募集します。

　コメントかメールでご連絡ください。

marhchem.hatenablog.com

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7.滋賀県大問4(2)③ 正答率0.7%
8.青森県大問5(4) 正答率0.7%
9.兵庫県大問4(4) 正答率0.7%
9.青森県大問3(2)エ正答率0.7%
11高知県(A) 大問3(3) 正答率0.9%
12.広島県大問6(2) 正答率1.5%

7.滋賀県大問4(2)③ 正答率0.7%

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解答・解説

(1) 正答率　23.3％

(2) ①　正答率　1.1%

　 ②　正答率　6.5%

　 ③　正答率　0.7%

③が難しい。2019年滋賀県は、大問3・大問4ともに正答率が低く、平均点が38.1/100であった。

(1)

　△ABEは直角三角形だから

　　 $AE^2=AB^2+BE^2$

　　 $2=x^2+BE^2$

　　　 $BE=\sqrt{2-x^2}$ 　・・・答

(2)

①

平行線と線分の比で攻めると

　　AS:SB=FU:UE

　よって、 AF//SU//BE

　ゆえに、 AS:SB=FP:PB=1:1

　以上より、点PはBFの中点

②

　正六角形の一辺の長さを $x$ とおいて

　六角形の面積を $x$ で表し、方程式を作ろう。

　

f:id:keimathchem:20190908234000p:plain

　図のように、二等辺三角形×2個と、長方形に分ける。

　　 $AB=x$ とする。

　　六角形の1つの角は　 $180-\frac{360}{6}=120°$

　　だから、△ABPは∠BAG=60° の直角三角形

　　よって、

　　　 $AP=\frac12 x$

　　　 $BP=\frac12 \sqrt3 x$

　　　 $BF=\sqrt3 x$

　　以上より

　　　二等辺三角形2個分　

　　　　　 $\sqrt3 x ×\frac12 x÷2×2=\frac12 \sqrt3 x^2$

　　　長方形　

　　　　　 $x×\sqrt3 x=\sqrt3 x^2$

　　よって。正六角形の面積は　

　　　 $\frac32 \sqrt3 x^2$

　　ゆえに

　　　 $\frac32 \sqrt3 x^2=40\sqrt3$

　　これを解いて

　　　 $x=\frac{4\sqrt{15}}{3}$ 　・・・答

③

　△STUからオレンジ色の三角形を引けば、目的の面積を出せる。

　　　 f:id:keimathchem:20190908233419p:plain

△ABF∽△SBP、AB:SB=1:2 なので

　△SBPは△ABFの $\frac14$

さらに、オレンジの三角形は、△SBPの半分なので、

オレンジの三角形1つ分は、△ABFの $\frac18$

　(2)②より、 $BF=4\sqrt5$ ,　 $AP=\frac{2\sqrt{15}}{3}$

　　なので、オレンジ三角形3個分は

　　　 $4\sqrt5×\frac{2\sqrt{15}}{3}÷2×3$

　　　 $=\frac52 \sqrt3$

正三角形△STUの面積を求める。

まずは、1辺の長さを求めよう。

　 f:id:keimathchem:20190909002726p:plain

　図の赤い部分に着目する。

　正六角形だから　 $BE=2AF$

　△ABFで中点連結定理より

　　 $SP=\frac12 AF$

　△FBEで中点連結定理より

　　 $PU=\frac12 BE=AF$

　よって、

　　 $SU=SP+PU=1.5AF$

(2)②より、 $AF=\frac{4\sqrt{15}}{3}$ だから

　　 $SU=2\sqrt{15}$

△STUの1辺の長さが出せた。

よって、△STUの面積は

　　 $△STU=\frac{\sqrt3}{4}×SU^2=15\sqrt3$ 　※

以上より、目的の面積は

　 $15\sqrt3-\frac52 \sqrt3=\frac{25\sqrt3}{2}$ ・・・答

※

　正三角形1辺の長さを $x$ とすると、

　正三角形の面積 $S$ は

　　 $S=\frac{\sqrt3}{4}x^2$

　もちろん、高さを計算して面積を出してもよい。

8.青森県大問5(4) 正答率0.7%

f:id:keimathchem:20190907180850p:plain

解答・解説

(1) 正答率 20.4%

(2) 正答率 3.4%

(3) 正答率イ3.9% ウ8.1%

(4) 正答率 0.7%

誘導に乗れば、(4)は意外と楽に解くことが出来る。

(1)

1-30番のページ数

f:id:keimathchem:20190909003049p:plain

　1組は30番まで30人いる。

　つまり、1組だけで15ページ分必要。

　3ページ目から1組の掲載が始まるので

　1組の最後は

　　 $2+15=17ページ目$ 　・・・答

3-1番のページ数

f:id:keimathchem:20190909003114p:plain

　後ろから遡ればよい

　47ページから3組の掲載が始まので

　　 $48-15=33ページ目$ 　・・・答

(2)

f:id:keimathchem:20190909003655p:plain

　2組は18ページから始まり、32ページまである。

　上の表のように、18ページ目を①として通し番号をつける。

　すると、下段の番号は、通し番号の二倍になっている。

　通し番号は、「ページ数－17」で計算できるので

　　 $ア=2(x-17)=2x-34$ 　・・・答

(3)

裏のページを1枚目から書き出す

f:id:keimathchem:20190909005203p:plain

右のページ数は枚数の2倍

左のページ数と右のページ数の和は常に49

よって、 $イ:49-2n$ , 　 $ウ:2n$ 　・・・答

(4)

誘導に乗れば、(4)の答えは裏だと予測できる。

$n$ 枚目の裏について検証する

　(3)より、左のページ数は $49-2n$

　(2)より $a=2(49-2n)-34$

同様に

　(3)より、右のページ数は $2n$

　(2)より $b=2×2n-34$

$a-b=10$ より

　 $2(49-2n)-34-(4n-34)=10$

　　 $n=11$

よって、11枚目の裏・・・答

※

一応、表も検証しておく

$n$ 枚目の表について

　左のページ数は $2n-1$

　　 $a=2(2n-1)-34$

　右のページ数は $49-(2n-1)=50-2n$

　　 $2(50-2n)-34$

よって、

　 $2(2n-1)-34- \{ 2(50-2n)-34 \} =10$

　　 $8n=112$

　 $n$ が整数ではないので不適

9.兵庫県大問4(4) 正答率0.7%

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解答・解説

(1)　(2)　正答率57.6%

(3)　正答率 79.6%

(4)　正答率 0.7%

最後の問題のみ難しかったようだ。

(3)の合同の証明が伏線

(4)

　△ABQと△CBPは合同であるから

　△ABQが最大のとき、△CBPの面積も最大になる。

　△CBPの面積が最大となるような点Pは、

　弧BCの真ん中にある。

　また、△QBPは正三角形、△AQBは二等辺三角形だから

　 $QA=QB=QP$ となるため、点Qは点Oと重なる。

　よって、図は以下のようになる

f:id:keimathchem:20190909013805p:plain

下図のように、赤い扇形から、オレンジの三角形を引けば、

目的の面積の半分を求めることが出来る。

f:id:keimathchem:20190909013159p:plain

(2)より、円の半径は $2\sqrt3$ であるから

　 $(2\sqrt3×3\sqrt3×π×\frac{120}{360}-2\sqrt3×3÷2)×2$

　　 $=8π-6\sqrt3$ ・・・答

9.青森県大問3(2)エ正答率0.7%

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解答・解説

(2)

ア正答率 52.4%

イ正答率 5.9%

ウ正答率 0.7%

エ正答率あ17.1%　い9.8%

(2)ア

　底面積　 $5×5×π×2＝50π$

　側面積　 $10π×10=100π$

　よって、 $150π$ ・・・答

(2)イ

　点Pは1周360°を30秒で移動する。

　よって、5秒には

　　 $∠AOP=360÷30×5=60°$ ・・・答

　直角三角形△APBを利用して、BPを出す。

　∠AOP=60°であるから、△AOPは正三角形

　よって、 $AP=5$

　△APBについて、三平方の定理より

　　 $BP^2=10^2+5^2$

　　　 $BP=5\sqrt5$ ・・・答

(2)ウ

　OP//OQのとき

　　∠AOP+∠BOQ＝0°,180°,360°,540°,720°・・・

　となる。

　　 $x$ 秒後には

　　　 $∠AOP=12x$ , $∠BOQ=8x$

　よって、

　　 $12x+8x=0$ のとき, 出発地点は考えないので×

　　 $12x+8x=180$ のとき, $x=9$

　　 $12x+8x=360$ のとき, $x=18$

　　 $12x+8x=540$ のとき, $x=27$

　これ以上は、点Pが点Aで止まるので考えない。

　よって、9秒, 13秒, 27秒・・・答

(2)エ

　PQが最も近づくのは、出発地点。

　よって、あ＝10・・・答

　PQが最も遠ざかるのは、PとQが円の反対側にあるとき

　このとき、PQの長さは、下図AB'の長さと等しい。

　　　 f:id:keimathchem:20190909231228p:plain

　△ABB'は∠BAB'=45°の直角三角形だから

　　 $AB'=10\sqrt2$

　よって、い＝ $10\sqrt2$ ・・・答

11高知県(A) 大問3(3) 正答率0.9%

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解答・解説

(1) 正答率 14.3%

(2) 正答率 9.6%

(3) 正答率 0.9%

(1)

$0≦x≦6$ 　のとき、QはCからFへ向かっている。

　 f:id:keimathchem:20190909233431p:plain

図のように、

　 $BP=x$ , 　 $CQ=2x$

四角形PBCQは台形だから

　 $(x+2x)×8÷2=12x$ 　・・・答

(2)

四角形BCEFの面積は、 $12×8=96$

PQが四角形BCEFの面積を半分にするとき、

四角形PBCQの面積が、 $48$ になる。

$0≦x≦6$ のとき、(1)より

　 $12x=48$

　　 $x=4$

$6≦x≦12$ のとき、

$x=12$ で、P,QはそれぞれE,Cと重なるので、

明らかに、PQは四角形BCEFの面積を2等分する。

よって、 $x=12$

以上より、 $x=4,12$ ・・・答

※方程式を立てて $x=12$ を出すには、以下のようにする。

　 f:id:keimathchem:20190909234207p:plain

$6≦x≦12$ のとき、

C→F→Cの経路は、 $24$

また、点Qは、C→F→Qと移動するので、

　 $QC=24-2x$

よって、四角形PBCQの面積は

　 $(x+24-2x)×8÷2=96-4x$

よって、

　 $96-4x=48$

　 $x=12$ ・・・答

(3)

DP,DQを $x$ で表し、方程式を立てる。

$6≦x≦12$ のとき

$DP^2=36+(12-x)^2$

　 $DQ=9+(2x-12)^2$

$DP=DQ$ より、 $DP^2=DQ^2$

　 $36+(12-x)^2=9+(2x-12)^2$

　 $3x^2-24x-27=0$

これを解くと、 $x=9,-1$

$6≦x≦12$ より　 $x=9$

このとき、

　 $PQ^2=8^2+3^2$

　　 $PQ=\sqrt{73}$ ・・・答

※

$0≦x≦6$ のときも $x=9$ がでるが

　 $0≦x≦6$ を満たさないので不適

12.広島県大問6(2) 正答率1.5%

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解答・解説

(1) 正答率 73.1%

(2) 正答率 1.3 %

　座標が整数である点(格子点)はあまり学校や問題集で扱う機会がないが、毎年どこかの県で1回は出題されているので、やり方を知っておこう。

(1)

　切片を見るだけ

　 $y$ 座標は $4$ 　・・・答

(2)

　格子点問題の基本は、「書き出し」である。

　Aは②のグラフ上にあるので、①が通る点は

　　 $y=-\frac{2}{3} x+4$

　よりも下にある。

　そのような点を調べると以下のようになる。

　　 f:id:keimathchem:20190915164815p:plain

　このうち、傾き $a$ が最も小さくなるのは

　 $(4,1)$ を通るとき

　よって、 $a=\frac{1}{4}$ 　・・・答

※

全て調べなくても、グラフを書けば

$(4,1)$ で $a$ が最小になると気がつく。

　 f:id:keimathchem:20190915165228p:plain