2018(H30)年度秋田県(一般)公立高校入試・解説

問題

https://www.pref.akita.lg.jp/uploads/public/archive_0000032157_00/h30_ippan_suugaku_mondai.pdf

解答

https://www.pref.akita.lg.jp/uploads/public/archive_0000032157_00/h30_ippan_suugaku_saiten.pdf

結果

https://www.pref.akita.lg.jp/pages/archive/34429

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5－Ⅰ
大問5-Ⅱ

大問1

前半は基本問題、後半から標準的な問題となる。

後半部分をどれだけ得点できるかが勝負となる。

(8)

　時速 13 kmで a km走るのにかかる時間は　 $\frac{a}{13}$ 時間

　時速 18 kmで b km走るのにかかる時間は　 $\frac{b}{18}$ 時間

AからBまで1時間かかったので

　 $\frac{a}{13}+\frac{b}{18}=1$

(9)

アとイ以外の和は13なので、アとイの和は4

よって、(ア, イ)=(0,4), (1,3), (2, 2), (3,1), (4,0)の組み合わせがある

合計17人いるから、中央値は9番目に高い得点となる。

4つの組み合わせのうち、9番目に高い得点が2になるのは

　(ア,イ)=(2,2), (3,1),(4,0)

この3組

※4点と5点に6人いるから、2点の階級に9位が入るには、イは3点未満である必要がある

(10)

$\sqrt{306-3n}=1$ から順番に調べてもよいが

　 $\sqrt{306-3n}=\sqrt{3(102-n)}$

と変形し、 $102-n$ が3を素因数にもつ必要があると分かる

もっとも、nの値が大きくなるのは $102-n=3$ のとき

よって、 $n=99$

とするほうが早い。

※なお、他の値は

　 $102-n=3×2^2$ 　よって　 $n=90$

　 $102-n=3×3^2$ 　よって　 $n=75$

　 $102-n=3×4^2$ 　よって　 $n=54$

というふうに調べていける。

(11)

円周角の問題で盲点になりがちな事は

　①「直径に対する円周角は90°」

　②「円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°」

　③「弧の長さの比＝円周角の比」

　④「円周角の定理の逆の利用」

今回は①と②を使う

　直径BCに対する円周角なので

　　 $∠BDC=90°$

　よって

　　 $∠ADC=41+90=131°$

　円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°なので

　　 $∠ABC+∠ADC=180$

　よって

　　 $∠ABC=180-131=49°$

(12)

　これも定期テストレベルの典型問題

　　 f:id:keimathchem:20181208163206p:plain

図のようにACを結び、EFとの交点をGとする。

△ABCにおいて中点連結定理より

　　 $EG=BC÷2=5.5$

△ACDにおいて中点連結定理より

　　 $GF=AD÷2=1.5$

よって、

　 $EF=1.5+5.5=7$ $cm$

(14)

回転させると以下の図のようになる。

　　 f:id:keimathchem:20181208164807p:plain

全体から、半径CGの円を底面とする高さCDの円柱を引けばよい。

BEFGは正方形なのでEF=4

よって、全体の体積は

　 $4×4×π×8=128π$

CはBGの中点なので、CG=2

よって、引く部分の体積は

　 $2×2×π×4=16π$

よって、求める体積は

　 $128π-16π=112π$ $cm^3$

(15)

　母線の長さが分かれば、三平方の定理から高さが求められる。

　 $側面積＝母線×半径×π$ を使おう

　側面積は、表面積から底面積を引けばいいので

　　 $40π-4π=36π$

　よって、

　　 $36π=母線×2×π$

　　 $母線=18$

　よって三平方の定理より

　　 $18^2=高さ^2+2^2$

　　　 $高さ=8\sqrt5$ $cm$

大問2

(1)②の変化の割合と、(3)の正答率が低い。確かに忘れがちな問題である。

(1)②

$変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$ である。

　 $x=a$ のとき $y=-a^2$

　 $x=a+1$ のとき $y=-(a+1)^2$

よって、

　 $\frac{-(a+1)^2-(-a^2)}{a+1-a}=5$

　 $-2a-1=5$

　　 $a=-3$

(3)

45°の作図と言われると、90°を作り角二等分線を引く以外に、

直角二等辺三角形を利用する方法がある。これを忘れがち

つまり、図のどちらかの直角二等辺三角形を作れば良い。

f:id:keimathchem:20181208171808p:plain

解答では左の図を作図している。

大問3

(4)の正答率が1.5%と極端に低かった。おそらく相似な図形を正しく見つけられなかったのだろう。宮城県の前期のときにも述べたが、四角形とその対角線がでたとき円周角の定理の逆が盲点になりやすいので、疑ってみよう。

(4)

高さが共通なのでACとAEと線分比を求めればよい。

∠ABE=∠ACD。円周角の定理の逆より、点B, C, D, Eは同一円周上にある。

　　 f:id:keimathchem:20181208173356p:plain

△ABE∽△ACDより

　 $AE:AD=4:5$

△AED∽ABCより

　 $AD:AC=1:3$

よって、

　 $AE:AD=4:15$

よって

　 $△ABE:△ABC=4:15$

大問4

　活用の問題。情報を整理しならが意味を考えるので(2)の正答率が低い。

　聞かれている事自体は大したことはない。(2)①関数という用語の意味をあまり重要に考えていないので盲点となったのだろう。

(2)

①

　]tex:y] は $x$ の関数であるとは、「 $x$ の値を決めたとき、 $y$ の値も決まる」ということを意味する。今回、 $x$ の数値を範囲内で適当に決めてあげれば、そこから $y$ の値が計算できるので、関数であるといえる。

②

送り方A

　小さい袋だけつかって、最も料金を低くするには、できるだけ小さな袋にパンフレットを詰めればよいので、7部入りの小さな袋が5つと、5部入りの小さな袋1つを送ればよい。このときの料金は、 $92×5+92×1=552$ 円

送り方B

　表2の大きい封筒の重さを見ると、1部で19g、2部で15gなので、この差はパンフレット1部あたり6g分と分かる。よって、1部で19gなので、封筒自体の重さは13gである。ゆえに、大きい袋にまとめて40部入れると、その重さは $13+40×6=253$ gとなる。このときの料金は表1から 380円と分かる。

以上より、その差は

　 $552-380-172円$

ゆえに、送り方Bのほうが172円安い。

大問5－Ⅰ

(2)(3)の正答率が低い。(2)は典型的な問題ではあるが、Aから垂線をおろしたり、アを延長して $x$ 軸との交点を取ったりと、自分で図を補助する必要がある。これが難しかったのだろうか。(3)はサイコロの目で決まる座標が△AOBの内部にある確立を求める問題。サイコロと座標の問題は頻出のパターンなので、必ず練習しておこう。正しく図をかければ1つ1つ数えても解けるので、時間が余っているなら地道に数え上げてもよい。

(2)

アの直線と $x$ 軸との交点をCとする。

△AOBの面積は△AOCから△BOCを引けばよい。

アの式は　 $y=-x+8$ なので、Cの座標は $y=0$ を代入して

　 $C(8,0)$

よって

　 $△AOC=8×5÷2＝20$ $cm^2$

　 $△BOC=8×2÷2=8$ $cm^2$

よって、この差が△AOBの面積なので

　 $20-8=12$ $cm^2$

(3)

　一つずつ点を打って確認しても良い。

$\frac{n}{m}$ は点Oからサイコロによって決まる点へ引いた直線の傾きを表している。イとウの傾きから

　 $/frac{5}{3}≧\frac{n}{m}≧\frac{1}{3}$

これを満たす組は以下の24個

　(m, n)=(1, 1) (2,1),(2,2)(2,3),(3,1), (3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3), (6,4), (6,5),(6,6)

この内、ウよりも上にあり△AOBに入らないものは以下の9個

(4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)

よって、△AOBの内部に入るのは15個

ゆえに、 $\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

大問5-Ⅱ

(2)の正答率が低い。確かに学校ではあまり練習しない内容である。

(1)

点Aはア上の点なので、 $x=3$ とすると

　 $y=\frac{1}{4}×3^2$

　 $y=\frac{9}{4}$

よって

　 $A(3,\frac{9}{4}$

イはこの点を通るので、イの式に代入して

　 $\frac{9}{4}=-3+b$

　 $b=\frac{21}{4}$

(2)

①

m=1から順に数えるのが分かりやすい。

$m=1$ のとき、点[tex(m,n)]は $x=1$ 上にある。

$x=1$ とア, イの交点は $(1,\frac{1}{4})$ , $(1,5)$

つまり、 $(1,1)~(1,6)$ の内、

　 $(1,5)$ より上

　 $(1,\frac{1}{4})$ より下

にある点は図形の内部または周上にない。

よって、内部・周上にあるのは

　 $(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5)$

　　 f:id:keimathchem:20190116194914p:plain

これを繰り返していく

$m=2$ のとき、

　　 $x=2$ とア, イの交点は $(2,1)$ , $(2,4)$

　よって、この間にある点は

　　 $(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)$

$m=3$ のとき、

　　 $x=3$ とア, イの交点は $(3,\frac{9}{4})$ , $(3,3)$

　よって、この間にある点は

　　 $(3,3)$

以上の10個の点が図形内部または周上の点である

よって、

　 $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

これが答えとなる。

②

とりあえずアの式は固定なので、

(1,1)~)(6,6)の中でアのグラフより下側にある点は図形内部に入らない。

これら図形内部に入らない外側の点の個数を数えると、以下の図のように17個ある。

　 f:id:keimathchem:20190116210603p:plain

確立が二分の一になるには、図形内部と周上に入らない点が18個なければならないので、下図のように、アより上側にあって、(1,1)～(6,6)の中で一番右上にある(4,6)をイが通る時が、ギリギリ図形内部と周上にある点の個数が19個(外部に17個)で、これより $b$ の値が小さいと、内部と周上の点の個数が18個(外側に18個)となる。