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数学の解説と練習問題

2018(H30)年度　大阪府公立高校入試(C問題)

2018年度公立高校解説データベース解説高校入試過去問

2018(H30)年度　大阪公立入試(C問題)

問題　

http://www.pref.osaka.lg.jp/attach/6221/00284525/H30Ippan-106Suugaku-C-Mondai.pdf

解答

http://www.pref.osaka.lg.jp/attach/6221/00284525/H30Ippan-106Suugaku-C-Saishi.pdf

大問1
大問2
大問3
感想

大問1

(1)(4)普通に計算。

(5)　パターン数が少いので一つずつ調べる

　A (1,4)ならBは(3)or(7)or(9)　　B(7)のみ

　A (1,5)ならBは(3)or(7)or(9)　　B(3), (9)の2つ

　A (4,5)ならBは(3)or(7)or(9)　　B(3)のみ

以上より $\frac49$ ・・・答

(6)

　訂正後の合計は　 $5×3+6×2+7×5+8×6+9×3+10×1=147$

　　　　　平均は　 $147÷20=7.35$

　訂正前の平均は　 $7.35-0.1=7.25$

　　　　　合計は　 $7.25×20=145$

つまり、 $2$ 冊分の訂正が行われたことがわかる。

訂正後の中央値が7.5冊。これが変わらないようにするには

5冊を7冊にしなければならない。

（8、9冊だと中央値が変わる。10、6、5冊だと範囲が変わる）

以上より　あ 5冊　い 7冊・・答

(7)

　 $a=10x+y$ とすると、 $b=10y+x$ とおける

よって、

　 $20＜\frac{a+b}{8}＜21$

　 $160＜a+b＜168$

　 $160＜11x+11y＜168$

　 $14.54...＜x+y＜15...27$

ｘ，ｙは整数なので

　 $x+y=15$

また、 $a=10x+y$ が奇数なので、 $y=1 or 3 or 5 or 7 or 9$

これを満たすxとyの組は(6,9) (8,7)

以上より、 $a=69,87$ ・・・答

※

　 $a=10x+y$ が奇数なので、 $y=1or3or5or7or9$

　 $160＜11x+11y＜168$ にひとつずつ代入してxをチェクしてもよい。

(8)

まず各座標を求める。

　 $A(-2,\frac43)$ , $B(4,\frac{16}{3})$ , $C(-2,0)$

OBの式は $y=\frac43 x$

　よって、 $D(t,　\frac43 t)$

ABの式は $y=\frac23 x+\frac83$

　よって、 $E(t,　\frac23 t+\frac83)$

△BEDの面積をtで表すと

　 $△BED=ED×BからEDへの垂線の長さ×\frac12$

　　　　　 $=(\frac23 t+\frac83-\frac43 t)×(4-t)×\frac12$

　　　　　 $=\frac12 (4-t)(\frac83-\frac23 t)$

一方で、△OACの面積は

　 $△OAC=2×\frac43×\frac12=\frac43$

よって、△BEDの面積は

　 $△BED=\frac43×2＝\frac83$

△BEDの面積について方程式を立てると、

　 $\frac12 (4-t)(\frac83-\frac23 t)＝\frac83$

　 $(4-t)(\frac43-\frac13 t)=\frac83$

　 $(4-t)^2=8$

　 $t=4-2\sqrt2$ (0<t<4)

以上より、 $t=4-2\sqrt2$ ・・・答

大問2

(1)

△ABCは直角三角形だから、∠BAC=45°

△ABEは二等辺三角形で、AF=FEだから

　∠ABF=∠FBE= $\frac12 a$

よって、

　∠AGB=∠BAC+∠ABF= $45+\frac12 a$ ・・・答

(2)

①

　解答そのまま

　ECとFBが平行で有ることを、中点連結から示すことに気がつけば簡単

②

　①を利用すると苦しい。そこで別の相似を探す

　△BGCで三平方の定理より

　　BG= $3\sqrt5$

　△BCG∽△AFGより

　　 $3\sqrt5 : 3=3:GF$

　　 $GF=\frac{9}{3\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}$ ・・・答

　※

　　△AEC∽△BCGから、CEを出して、(2)の中点連結定理からGFを出してもよい

③

　相似が多いので、面積比から攻める

　①の△BDG∽△EDCより

　　 $GD:CD=BG:CE$

　 CEは②のGFの二倍(中点連結)なので

　　 $GD:CD=3\sqrt5:\frac{6\sqrt5}{5}=5:2$

一方AG=GCより

　 $AG:GD:DC=7:5:2$

よって、

　 $AD:DC=6:1$

△ABCと△ABDは高さ共通なので、

面積比と底辺の長さの比は同じ

よって

　 $△ABD=△ABC×\frac67=\frac{108}{7}$ ・・・答

大問3

個人的に少数のほうがやりやすい

(1)

①

△ABCの高さhは三平方の定理より

　 $h=3\sqrt3$ (60°の直角三角形)

よって面積は

　 $6×3\sqrt3÷2=9\sqrt3$ ・・・答

②

△DFCで三平方の定理より

　 $CD=10$ (3:4:5の直角三角形)

△DHG∽△DACより

　 $GH:6=6:10$

　 $GH=3.6$ ・・・答

③

△DHG∽△DACより

　 $6:10=DH:8$

　 $DH=4.8$

△DHI∽△DCBより

　 $HI:6=4.8:10$

　 $HI=2.88$ ・・・答

(2)

①

　GJ＝x とする

△GJCで三平方の定理より

　 $JC^2=25-x^2$

△AJCで三平方の定理より

　 $JG=36-(2+x)^2$

よって、

　 $25-x^2=36-(2+x)^2$

　 $x=\frac74$ ・・・答

②

　計算が面倒

　△BJCの面積を求めれば、高さのGJ,JDがすぐに分かるので体積が出せる。

　ここで、∠BJCは直角ではないことに気をつけよう。

△GJCで三平方の定理より

　 $JC^2=25-(\frac74)^2$

　 $JC=\frac{\sqrt{351}}{4}$

△BJCはJC=JBの二等辺三角形だから、高さｈは三平方の定理より

　 $h^2=\frac{351}{16}-9$

　 $h=\frac{3\sqrt{23}}{4}$

よって、△BJCの面積は

　 $\frac{3\sqrt{23}}{4}×6×\frac12=\frac{9\sqrt{23}}{4}$

よって、GBCDの体積は

　 $\frac{9\sqrt{23}}{4}×(\frac74+6-\frac74)×\frac13$

　 $=\frac{9\sqrt{23}}{2}$ ・・・答

感想

ほんとに大阪のCなのかと思うぐらい、簡単になった。

ただし、時間は厳しい

時間内に問題を解く練習を繰り返さないと時間が足りない。

全部解けなくても、ぱっと分かる問題から処理していこう。

特に図形は思いつかなければ飛ばして、次の大問の簡単な問題に取り組もう。