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数学の解説と練習問題

2018年8月度検索ワードへの回答

その他

検索されたワードへの回答をします。

問題そのものを調べて、ここにたどり着いたりしているようなので、

答えられそうなものは答えておきます。

ただし、

　「ルート　整数　個数」などは個別記事へ行ったほうが詳しいので

　「になるような」などは何を答えたら良いのか分からないので

回答しません。

ワード1. $a^2-b^2$ の因数分解

回答　

　　展開公式を調べていたのだろう
　　 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

　　他の公式は個別記事へ

ワード2.　 $(x+y)^3$ 　展開

回答

　　 $(x+y)^3=x^3+3x^2 y+3xy^2+y^3$

補足

　　 $(x-y)^3=x^3-3x^2 y+3xy^2-y^3$

　　高校レベルのなので、他の公式は他サイトへ

ワード3.　 $x^2+y^2+z^2$ 　因数分解

回答　因数分解不可能

補足　

　　 $x^3+y^3+z^3-3xyz$ なら $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

　　同じような検索で $a^2+b^2+c^2$ と文字を変えたものもあった。

ワード4. $mn-m+n=36$

おそらく、「　m, nが自然数のとき、 $mn-m+n=36$ を満たすm,nの組を求めよ」　

的な問題だろう。

回答

　　 $mn-m+n=36$

　　 $(m+1)(n-1)+1=36$

　　 $(m+1)(n-1)=35$

　掛けて35になるには、35×1、7×5の組しか無い

　　35×1の組　m=34 n=2◯　　m=0 n=36✕

　　7×5の組　m=6 n=6◯　　m=4 n=8◯

　以上より、(m,n)=(34,2) (6,6) (4,8)

補足

　　 $mn+αm+βn=(m+α)(n+β)-αβ$ と変形出来る。

ワード5. 144は何の二乗

回答　±12の二乗

補足

　 $11^2=121$ 　 $12^2=144$

　 $13^2=169$ 　 $14^2=196$

　 $15^2=225$ 　 $16^2=256$

同じような検索ワードは

　121の平方根　→±11

　169の平方根　→±13

　225の平方根　→±15

ワード6. $\sqrt1$ 　整数

回答　整数です。 $\sqrt1=1$ です

補足1

　同じようなワードは

　　0の平方根　→0
　　11の平方根　→ $±\sqrt11$
　　5の平方根　→ $±\sqrt5$
　　7の平方根　→ $±\sqrt7$

　二乗して11になる数字は思いつかない。このようなときに根号を使う。

補足2　

　「 $\sqrt{64}$ の平方根」での検索回数が結構あった。
　　　64の平方根なら、±8
　　　 $\sqrt{64}$ の根号を外すなら　8

　　そのままの意味なら $±\sqrt8$ になるが、おそらく上記のどちらかだろう。

ワード7. $\sqrt{108}$ 　素因数分解

回答

　　108を素因数分解すると $2^2×3^3$

補足　

　　 $\sqrt{108}=6\sqrt3$

他に検索されたのは

　 $\sqrt{123}$ 　→　ルートの前に数字を出せない

　 $\sqrt{175}$ 　→　 $5\sqrt7$

　 $\sqrt{50}$ 　→　 $5\sqrt2$

　 $\sqrt{54}$ 　→　 $3\sqrt6$

　 $\sqrt{78}$ 　→　ルートの前に数字を出せない

　 $\sqrt{98}$ 　→　 $7\sqrt2$

詳しいやり方は個別記事を参照

ワード8. $\sqrt{15}+\sqrt{15}$

回答

　ルートの足し算はルートの前の数字だけで計算する
　 $1\sqrt{15}+1\sqrt{15}=2\sqrt{15}$ と考えればよい。

補足

他に簡単な計算で検索されたのは

・足し算は係数同士を計算

　　 $\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3sqrt2$

・同じルート同士をかけると中身だけ出てくる

　　 $\sqrt3×\sqrt3=3$

　　 $\sqrt3×2\sqrt3=6$
・ルートの足し算は中身が同じでないと出来ない

　　 $\sqrt3-\sqrt5$ 　これ以上計算できない

　　 $\sqrt6+\sqrt3$ 　これい以上計算できない

ワード9. $\sqrt5$ の整数部分

回答　

　　2＜ $\sqrt5$ ＜3より、整数部分は2
補足　

　　小数部分は $\sqrt5-2$

他に　

　「 $\sqrt7$ の小数部分をaとするとき、a(a+4)の値をもとめなさい」
と問題をそのままの履歴があった。

　　 $4＜7＜9$ より、 $2＜\sqrt7＜3$
　よって、 $\sqrt7$ の整数部分は2
　よって、小数部分 $a=\sqrt7-2$
　　 $a(a+4)=(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=3$ ・・・答

ワード10. $\sqrt{n^2+60}$

　おそらく、 $\sqrt{n^2+60}$ が整数となるような自然数nの値を求めよ

　という問題だろう。

回答

　 $\sqrt{n^2+60}=a$ (aは整数, a≧0)

　 $n^2+60=a^2$

　 $a^2-n^2=60$

　 $(a-n)(a+n)=60$

a+n>a-nかつ、a+n>0

また、a-nとa+nの積が60(偶数)であるから、

　　(a-n)×(a+n)　は　偶数×偶数 or 奇数×偶数

この内、奇数×偶数では、aもしくはnが分数となるため不適

よって、

　a+n=30 a-n=2　a=16, n=14

　a+n=10 a-n=6　a=8, n=2

以上より、n=2,14・・・答

ワード11. (x+y+5)(x+y-8)+30を因数分解

回答　置き換えタイプの問題

　 $A=x+y$ とおくと

　　 $=(A+5)(A-8)+30$

　　 $=A^2-3x-10$

　　 $=(A-5)(A+2)$

　よって、

　　 $=(x+y-5)(x+y+2)$ ・・・答

補足

　因数分解の工夫の個別記事参照

ワード12. $5＜\sqrt{3a}＜6$ を満たす正の整数aの値

回答

　すべて二乗して

　　 $25＜3a＜36$

　すべて3で割って

　　 $8.33...＜a＜12$

よって、 $a=9,10,11$

補足

　詳しくは個別記事参照