因数分解の工夫(1)(標~難)(置き換え・置き換えの難問)

今回は工夫が必要な因数分解を見ていこう。なお、難関レベルの問題も少し扱う。

中学生レベルだと難問かもしれないが、高校生以上なら基本問題だと思う。

　前回　因数分解の基本と練習問題(2)(標)

　次回　因数分解の工夫(2)(標~難)

　1.2因数分解

1.2.1.因数分解の基本(1)(共通因数・公式)(基)

1.2.2 因数分解の基本(2)([tex:x^2]に係数・展開と因数分解)(標)

1.2.3 因数分解の工夫(1)(置き換え・置き換えの難問)(標~難)

1.2.4 因数分解の工夫(2)(組み合わせ・二乗－二乗・最低次数)(標~難)

　　1.2.5 因数分解の工夫(3)(複二次式・たすき掛け)(難)

1.同じ部分をAとおく(1)(標)
2.同じ部分をAとおく(2)(難)
3.展開のときのAをそのままにする(標~難)
4.演習問題
5.解答
雑感

1.同じ部分をAとおく(1)(標)

例題01　以下の式を因数分解せよ

(1) $(x+3)-2(x+3)^2$
(2) $x^2 (a+b)-4x(a+b)+4(a+b)$
(3) $a^2 (5x-2)+9b^2 (2-5x)$
(4) $(x+y)^2-4(x+y)+4$
(5) $(x^2-3)^2-7(x^2-3)+6$

解説

同じカタマリを見つけ、それをAとおく

(1) $(x+3)-2(x+3)^2$

　 $x+3$ がすべての項に入っている。　

　よって $A=x+3$ とおく

　　　 $(x+3)-2(x+3)^2$

　　　 $=A-2A^2$

　　共通因数Aでくくると
　　　　 $=A(1-2A)$

　　Aを元に戻して計算する
　　　　 $=(x+3)(1-2x-6)$
　　　　 $=(x+3)(-2x-5)$

　（　）の中のマイナスが気持ち悪いので、-1でくくると
　　　　 $=-(x+3)(2x+5)$ 　・・・答

(2) $x^2 (a+b)-4x(a+b)+4(a+b)$

　すべての項に $a+b$ が入っているので

　　 $A=a+b$ とおく
　　　 $x^2 (a+b)-4x(a+b)+4(a+b)$
　　　　 $=x^2 A-4xA+4A$

　　共通因数Aでくくる
　　　　 $=A(x^2-4x+4)$

　　Aを元に戻し $x^2-4x+4$ の部分を因数分解する
　　　　 $=(a+b) (x-2)^2$ 　・・・答

(3) $a^2 (5x-2)+9b^2 (2-5x)$

　-1でくくり、同じ部分を作る。

　　　 $＝a^2 (5x-2)-9b^2 (5x-2)$
　　 $A=5x-2$ とおく
　　　 $=a^2 A-9b^2 A$

　　共通因数Aでくくる
　　　 $=A(a^2-9b^2)$

　　あとはAを元に戻し、 $a^2-9b^2$ を因数分解すればよい

(4) $(x+y)^2-4(x+y)+4$

　　 $A=x+y$ とおくと
　　　 $=A^2-4A+4$

　　これは公式で因数分解できるので
　　　 $=(A-2)^2$

　　あとはAを元に戻せばよい。

(5) $(x^2-3)^2-7(x^2-3)+6$

　　 $A=x^2-3$ とおく
　　　　 $=A^2-7A+6$
　　　　 $=(A-1)(A-6)$

　　Aを元に戻すと

　　　　 $=(x^2-3-1)(x^2-3-6)$
　　　　 $=(x^2-4)(x^2-9)$

　　　　 $=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ 　・・・答

解答
(1) $(x+3)-2(x+3)^2$
　 $A=x+3$ とおく
　　 $(x+3)-2(x+3)^2$
　　　 $=A-2A^2$
　　　 $=A(1-2A)$
　　　 $=(x+3)(1-2x-6)$
　　　 $=(x+3)(-2x-5)$
　　　 $=-(x+3)(2x+5)$ 　・・・答
(2) $x^2 (a+b)-4x(a+b)+4(a+b)$
　 $A=a+b$ とおく
　　 $x^2 (a+b)-4x(a+b)+4(a+b)$
　　　 $=x^2 A-4xA+4A$
　　　 $=A(x^2-4x+4)$
　　　 $=(a+b) (x-2)^2$ 　・・・答
(3) $a^2 (5x-2)+9b^2 (2-5x)$
　　　 $＝a^2 (5x-2)-9b^2 (5x-2)$
　 $A=5x-2$ とおく
　　　 $=a^2 A-9b^2 A$
　　　 $=A(a^2-9b^2)$
　　　 $=(5x-2)(a-3b)(a+3b)$ 　・・・答
(4) $(x+y)^2-4(x+y)+4$
　 $A=x+y$ とおく
　　 $(x+y)^2-4(x+y)+4$
　　　　 $=A^2-4A+4$
　　　　 $=(A-2)^2$
　　　　 $=(x+y-2)^2$ 　・・・答
(5) $(x^2-3)^2-7(x^2-3)+6$
　 $A=x^2-3$ とおく
　　 $(x^2-3)^2-7(x^2-3)+6$
　　　　 $=A^2-7A+6$
　　　　 $=(A-1)(A-6)$
　　　　 $=(x^2-3-1)(x^2-3-6)$
　　　 $=(x^2-4)(x^2-9)$
　　　　 $=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ 　・・・答

練習問題01 以下の式を因数分解せよ
(1) $(a+b)^2-(a+b)$
(2) $(x-3) y^2+(x-3)y-2(x-3)$
(3) $(2a-b) x^2+(b-2a)$ 　　　　　　　　　　　　　　
(4) $(x-1)(x-y)+(y-1)(y-x)$ 　　　　　　　　　　　　　　　
(5) $(2x+y)^2-2(2x+y)+1$
(6) $(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8$

＜出典:(3)共立女子 (4)西大和学園＞

2.同じ部分をAとおく(2)(難)

例題02　以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $(x+3y)^2-2x-6y-15$
(2) $(x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+x^2+4x-12$ 　
(3) $(x^2-10)^2+(x^2-10)(2x+1)-6(2x+1)^2$
(4) $(x^2+6)^2-6x(x^2+6)+5x^2$ 　　

＜出典:(3)東大寺学園＞

解説

　(1)(2)は自分で同じ部分を作る

(1) $(x+3y)^2-2x-6y-15$

　　　 $=(x+3y)^2-2(x+3y)-15$

　　このように、すれば共通部分が出来上がる。

　　あとは $A=x+3y$ とおけば
　　　 $=A^2-2A-15$

　　となり因数分解できるようになる。

(2) $(x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+x^2+4x-12$

　　後ろの $x^2+4x-12$ を因数分解すれば

　　　　 $(x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+x^2+4x-12$ 　
　　　　　 $= (x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+(x-2)(x+6)$
　　　　 $A=(x-2)(x+6)$ とおけば
　　　　 $=A(x^2+4x+3)+A$

　　　　このようになり、Aでくくれる

(3) $(x^2-10)^2+(x^2-10)(2x+1)-6(2x+1)^2$

　　 $A=x^2-10,B=2x+1$ とおけば
　　　　 $=A^2+AB-6B^2$
　　　　 $=(A-2B)(A+3B)$

　　A, Bを元に戻して
　　　　 $=(x^2-10-4x-2)(x^2-10+6x+3)$
　　　　 $=(x^2-4x-12)(x^2+6x-7)$

　　ここで止まらず、( )の中がまだ因数分解できるか確認する

　　今回はさらに因数分解できるから
　　　　 $=(x-6)(x+2)(x-1)(x+7)$ 　・・・答

　　　　　　　　　　　　
(4) $(x^2+6)^2-6x(x^2+6)+5x^2$

　　 $A=x^2+6$ とおけばよい
　　　　 $=A^2-6xA+5x^2$

　　xが後ろにあって難しいかもしれないが、

　　以下のように因数分解できる
　　　　 $=(A-x)(A-5x)$

　　後は元に戻して、更に因数分解する

解答
(1) $(x+3y)^2-2x-6y-15$
　　 $=(x+3y)^2-2(x+3y)-15$
　 $A=x+3y$ とおく
　　 $=A^2-2A-15$
　　 $=(A+3)(A-5)$
　　 $=(x+3y+3)(x+3y-5)$ 　・・・答
(2) $(x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+x^2+4x-12$ 　
　　 $= (x-2)(x+6)(x^2+4x+3)+(x-2)(x+6)$
　 $A=(x-2)(x+6)$ とおく
　　 $=A(x^2+4x+3)+A$
　　 $=A(x^2+4x+4)$
　　 $=(x-2)(x+6) (x+2)^2$ 　・・・答
(3) $(x^2-10)^2+(x^2-10)(2x+1)-6(2x+1)^2$
　 $A=x^2-10,B=2x+1$ とおく
　 $(x^2-10)^2+(x^2-10)(2x+1)-6(2x+1)^2$
　　　 $=A^2+AB-6B^2$
　　　 $=(A-2B)(A+3B)$
　　　 $=(x^2-10-4x-2)(x^2-10+6x+3)$
　　　 $=(x^2-4x-12)(x^2+6x-7)$
　　　 $=(x-6)(x+2)(x-1)(x+7)$ 　・・・答
(4) $(x^2+6)^2-6x(x^2+6)+5x^2$ 　　
　 $A=x^2+6$ とおく
　　　 $(x^2+6)-6x(x^2+6)+5x^2$
　　　　 $=A^2-6Ax+5x^2$
　　　　 $=(A-x)(A-5x)$
　　　　 $=(x^2-x+6)(x^2-5x+6)$
　　　　 $=(x^2-x+6)(x-2)(x-3)$ 　・・・答

練習問題02 以下の式を因数分解せよ(難)
(1) $(x+4y)^2+3x+12y-88$
(2) $(x^2+2x+1)(x+2)(x-6)-3x^2+12x+36$
(3) $(3x-1)^2-2(3x-1)(x+1)-63(x+1)^2$
(4) $(x^2-12)^2-5x(x^2-12)+4x^2$

＜出典:(3)静岡学園＞

3.展開のときのAをそのままにする(標~難)

例題03　以下の式を因数分解せよ
(1) $(a-b)(a-b+2)-3$
(2) $(x^2+7x+9)(x^2+7x-11)+100$

解説

　同じカタマリを見つけAとおき、展開していく。

　今回は展開しきらずにAをそのままにしておく

　具体的に見てみよう。

(1) $(a-b)(a-b+2)-3$
　　 $A=a-b$ とおくと
　　　 $=A(A+2)-3$
　　　 $=A^2+2A-3$

　　展開のときは、ここでAを元に戻したが、

　　今回はここで因数分解する

　　　 $=(A-1)(A+3)$

　　あとはAを元に戻して
　　　 $=(a-b-1)(a-b+3)$ 　・・・答

解答
(1) $(a-b)(a-b+2)-3$
　 $A=a-b$ とおく
　　 $(a-b)(a-b+2)-3$
　　　 $=A(A+2)-3$
　　　 $=A^2+2A-3$
　　　 $=(A-1)(A+3)$
　　　 $=(a-b-1)(a-b+3)$ 　・・・答
(2) $(x^2+7x+9)(x^2+7x-11)+100$
　 $A=x^2+7x$ とおく
　　 $(x^2+7x+9)(x^2+7x-11)+100$
　　　　 $=(A+9)(A-11)+100$
　　　　 $=A^2-2A+1$
　　　　 $=(A-1)^2$
　　　　 $=(x^2+7x-1)^2$ 　・・・答

練習問題03　以下の式を因数分解せよ
(1) $(x-y)(x-y-1)-2$
(2) $(x^2-4+2x)(x^2-4-2x)-5x^2$
(3) $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$ (難)

＜出典:(1)近大付属 (2)海城高校＞

4.演習問題

演習問題01　以下の式を因数分解せよ
(1) $3(a+b)^2-(a+b)$
(2) $(b-2) a^2+16(2-b)$
(3) $(x+1)(x-y)+(y-1)(y-x)$
(4) $(y-3)^2+5(y-3)+6$
(5) $(x^2+4x)^2+8(x^2+4x)+16$
(6) $(x^2-4x-3)^2-3(x^2-4x-3)-54$
(7) $(x-1)^2 (x+3)^2-17(x-1)(x+3)-60$
(8) $(x+y-3)(x+y)-40$

＜出典:(6)海城 (7)青綾＞　

演習問題02　以下の式を因数分解せよ (難)
(1) $(a-b) c^2-9a+9b$
(2) $(x+3)(x-2)(x^2-8x+13)+3x^2+3x-18$ 　
(3) $(x+3)^2-2(x+3)(x-2)-48(x-2)^2$
(4) $(x^2-8)^2-5x(x^2-8)-14x^2$

5.解答

※解答では、わざわざAとおいて解いていない

練習問題01
(1) $(a+b)^2-(a+b)$
　　 $=(a+b)(a+b-1)$ 　・・・答
(2) $(x-3) y^2+(x-3)y-2(x-3)$
　　 $=(x-3)(y^2+y-2)$
　　 $=(x-3)(y-1)(y+2)$
(3) $(2a-b) x^2+(b-2a)$ 　　　　　　
　　 $=(2a-b) x^2-(2a-b)$
　　 $=(2a-b)(x^2-1)$
　　 $=(2a-b)(x-1)(x+1)$ 　・・・答
(4) $(x-1)(x-y)+(y-1)(y-x)$ 　
　　 $=(x-1)(x-y)-(y-1)(x-y)$
　　 $=(x-y)(x-1-y+1)$
　　 $=(x-y)^2$ 　・・・答
(5) $(2x+y)^2-2(2x+y)+1$
　　 $=( (2x+y)-1)^2$
　　 $=(2x+y-1)^2$ 　・・・答
(6) $(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8$
　　 $=( (x^2+3x)-4)( (x^2+3x)+2)$
　　 $=(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)$
　　 $=(x-1)(x+4)(x+1)(x+2)$ 　・・・答
練習問題02
(1) $(x+4y)^2+3x+12y-88$
　　 $=(x+4y)^2+3(x+4y)-88$
　　 $=( (x+4y)+11)( ( x+4y)-8)$
　　 $=(x+4y+11)(x+4y-8)$ 　・・・答
(2) $(x^2+2x+1)(x+2)(x-6)-3x^2+12x+36$
　　 $=(x^2+2x+1)(x+2)(x-6)-3(x^2-4x-12)$
　　 $=(x^2+2x+1)(x+2)(x-6)-3(x+2)(x-6)$
　　 $=(x+2)(x-6)(x^2+2x-2)$ 　・・・答
(3) $(3x-1)^2-2(3x-1)(x+1)-63(x+1)^2$
　　 $=( (3x-1)-9(x+1) )( (3x-1)+7(x+1))$
　　 $=(-6x-10)(10x+6)$
　　 $=-4(3x+5)(5x+3)$ 　・・・答
(4) $(x^2-12)^2-5x(x^2-12)+4x^2$
　　 $=( (x^2-12)-x)( (x^2-12)-4x)$
　　 $=(x^2-x-12)(x^2-4x-12)$
　　 $=(x-4)(x+3)(x-6)(x+2)$ 　・・・答
練習問題03
(1) $(x-y)(x-y-1)-2$ 　　
　　 $=(x-y)^2-(x-y)-2$
　　 $=(x-y-2)(x-y+1)$ 　・・・答
(2) $(x^2-4+2x)(x^2-4-2x)-5x^2$
　　 $=(x^2-4)^2-9x^2$
　　 $=(x^2+3x-4)(x^2-3x-4)$
　　 $(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)$ 　・・・答
(3) $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16$
　　 $=(x+2)(x+8)(x+4)(x+6)+16$
　　 $=(x^2+10x+16)(x+10x+24)+16$
　　 $=(x^2+10x)^2+40(x^2+10x)+400$
　　 $=(x^2+10x+20)^2$ ・・・答
演習問題01
(1) $3(a+b)^2-(a+b)$
　　 $=(a+b)(3a+3b-1)$ 　・・・答
(2) $(b-2) a^2+16(2-b)$
　　 $=(b-2) a^2-16(b-2)$
　　 $=(b-2)(a^2-16)$
　　 $=(b-2)(a+4)(a-4)$ 　・・・答
(3) $(x+1)(x-y)+(y-1)(y-x)$
　　 $=(x+1)(x-y)-(y-1)(x-y)$
　　 $=(x-y)( (x+1)-(y-1) )$
　　 $=(x-y)(x-y+2)$ 　・・・答
(4) $(y-3)^2+5(y-3)+6$
　　 $=(y-3+2)(y-3+3)$
　　 $=y(y-1)$ 　・・・答
(5) $(x^2+4x)^2+8(x^2+4x)+16$
　　 $=( x^2+4x+4)^2$
　　 $=( (x+2)^2 )^2$
　　 $=(x+2)^4$ 　・・・答
(6) $(x^2-4x-3)^2-3(x^2-4x-3)-54$ 　
　　 $=((x^2-4x-3)-9)( (x^2-4x-3)+6)$
　　 $=(x^2-4x-12)(x^2-4x+3)$
　　 $=(x-6)(x+2)(x-3)(x-1)$ 　・・・答
(7) $(x-1)^2 (x+3)^2-17(x-1)(x+3)-60$
　　 $=( (x-1)(x+3)+3)( (x-1)(x+3)-20)$
　　 $=(x^2+2x)(x^2+2x-23)$
　　 $=x(x+2)(x^2+2x-23)$ 　・・・答
(8) $(x+y-3)(x+y)-40$ 　　
　　 $=(x+y)^2-3(x+y)-40$
　　 $=(x+y-8)(x+y+5)$ 　・・・答
演習問題02　
(1) $(a-b) c^2-9a+9b$
　　 $=(a-b) c^2-9(a-b)$
　　 $=(a-b)(c^2-9)$
　　 $=(a-b)(c-3)(c+3)$ 　・・・答
(2) $(x+3)(x-2)(x^2-8x+13)+3x^2+3x-18$ 　
　　 $=(x+3)(x-2)(x^2-8x+13)+3(x^2+x-6)$
　　 $=(x+3)(x-2)(x^2-8x+13)+3(x+3)(x-2)$
　　 $=(x+3)(x-2)(x^2-8x+16)$
　　 $=(x+3)(x-2) (x-4)^2$ 　・・・答
(3) $(x+3)^2-2(x+3)(x-2)-48(x-2)^2$
　　 $=( (x+3)-8(x-2) )( (x+3)+6(x-2) )$
　　 $=(-7x+19)(7x-9)$
　　 $=-(7x-19)(7x-9)$ 　・・・答
(4) $(x^2-8)^2-5x(x^2-8)-14x^2$
　　 $=( (x^2-8)-7x)( (x^2-8)+2x)$
　　 $=(x^2-7x-8)(x^2+2x-8)$
　　 $=(x-8)(x+1)(x-2)(x+4)$ 　・・・答