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数学の解説と練習問題

顔の形をした図形(洛南高校)

解説標準問題図形円高校入試過去問平面図形三平方の定理その他

今回は少し趣向を変えて、最近見た面白かった問題を紹介、解説することにする。

問題

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(1) 図のように、Oを中心とする半径4の円をかき、直径ABと平行で長さ $4\sqrt{3}$ となる弦CD,EFを引く

(2) CE, DFを直径とする円を円Oの外部に書く。また、CDを4分割してできた線分を1辺とする正三角形をCDの下側に4つ書く。

(3) (2)の正三角形の4つの頂点のうち、隣り合う2つの頂点を通り、AB上に中心がある円を二つ書く

(4) Oを中心とし、半径 $2\sqrt2$ の円をEFの下側に書き、EFとその円周の交点をG, Hとする。

問1 口の部分(赤色)の周の長さを求めよ

問2 髪の部分(黒色)の面積を求めよ

問3 二つの耳の部分(橙色)の面積の和を求めよ

問4 目の部分(青色)の円の半径を求めよ。

＜H18 洛南高校＞

解説

見た目のインパクトがかなり大きく、面白い。

問題用紙をめくった瞬間この顔を見ると、びっくりするだろう。

京都府内では1,2を争う難関校の問題ではあるが、問題自体は思ったより難しく無い。

問1

　線分OE, OF, OG, OHを引き、顔の下部分のみを取り出して考える。

　△OEFはOE=OFの二等辺三角形なので、OからEFに垂線を降ろしその足をIとする。

　もちろん、IはEFの中点なので,IE=IF= $2\sqrt3$ である。

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　求めたいのは弧GHの長さである。

　これは、中心角である∠GOHを求めれば、おうぎ形OGHから求められそうである。

　三角形OGHを見ると、正三角形っぽい。

　よって三角形OGHの辺の長さを求めていく。

　三角形OEIは直角三角形だから、

　三平方の定理より

　　 $OE^2=OI^2+EI^2$

　　 $4^2=OI^2+(2\sqrt3)^2$

　　 $OI=2$

　また、三角形OGIは直角三角形だから

　三平方の定理より

　　 $OG^2=OI^2+GI^2$

　　 $(2\sqrt2)^2=2^2+GI^2$

　　 $GI=\sqrt2$

　もちろん、三角形OGHは二等辺三角形だから、

　　 $GH=2GI=2\sqrt2$

　よって、OG=GH=HOより三角形OGHは正三角形

　よって、∠GOH=60°

　ゆえに、おうぎ形OGHについて

　　 $弧GH=2×(2\sqrt2)×\frac{60}{360}$

　　　　 $=\frac23 \sqrt2$ 　・・・答

問2

　正三角形部分は簡単に求められそうなので、弦CDより上側の面積を求めたい。

　髪の部分を取り出して考える。(図のように、CDに垂線をおろす。)

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　おうぎ形OCDから三角形OCDを引けば、図のCDより上の部分(黒い部分)の面積を求める事ができる。よって、中心角である∠CODを求めたい。

　CDとEFはABに対して対称な位置にあるので、OJ=2

　OKは円Oの半径なので、OK=4

　すなわち、JK=2

三角形OCKについて、

　OJ=JK=2, CJ⊥OKなので、三角形OCKはCK=COの二等辺三角形

　ゆえに、CK=KO=OC=4

　よって、三角形OCKは正三角形

　ゆえに、∠COK=60°

　対称なので、∠DOK=∠COK=60°

　以上より∠COD=120°

髪の上側の面積は

　 $上側の面積＝おうぎ形OCD-三角形OCD$

　 $=4×4×π×\frac{120}{360}-2×(4\sqrt2)×\frac12$

　 $=\frac{16}{3}-4\sqrt3$

髪の下側の正三角形の部分は

　 $\sqrt3 ×\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=3\sqrt3$

以上より、髪全体の面積は

　 $=\frac{16}{3}-\sqrt3$ 　・・・答

問3

　こちらも耳の部分を取りだして考える。

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　図イのように、CEとOAの交点をLとする。

　もちろん、LC=LEなので、Lは耳の部分の円の中心である。

　耳の部分1つ分は、図イから

　　 $耳一つ=緑の半円+青三角形OCE-赤斜線部分おうぎ形OCE$

　で求められる。

　ここでも中心角∠COEが必要だが、

　問1, 2から JI=4と分かるので、CE=4となる。

　よって、三角形OCEは正三角形となる。

　ゆえに∠COE=60°

　と、すぐに求められる。

以上より、耳1つ分の面積は

　　 $耳1つ=2×2×π÷2$

　　　　　　　　　 $+4×2\sqrt3÷2$

　　　　　　　　　　　　 $-4×4×π×\frac{60}{360}$

これを計算して

　　 $耳1つ=4\sqrt3 -\frac{2}{3}$

よって

　　 $耳2つ=8\sqrt3 -\frac{4}{3}$ 　・・・答

問4

　目の部分を取り出して考える。

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　図のように、目の中心をMとおき、そこからCDに引いた垂線の足Nとする。

　三角形の頂点と円Mが交わる点をそれぞれPQとする。

　∠PNQ=60°で、△MNP≡△MNQなので

　∠MNP＝30°

　また、PN=CN= $\sqrt3$ , MN=OJ=2

　よって、三角形MNPは1:2: $\sqrt3$ の直角三角形

　ゆえに、

　　MN=1・・・答