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数学の解説と練習問題

2018(H30)年度群馬県(後期)公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/gnm/gnm2/gnm-su/su_1.html

結果　http://www.pref.gunma.jp/03/x28g_00043.html

昨年度と比べて平均点が10点ほど低く、難化している様子。大問5,大問6が難しく感じたのだろう。それ以外は特に難しい問題はないので、失点しないように。

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5
大問6

大問1

(8)は北海道の大問3で同じ問題が出ている。書き方を覚えてしまってもよい。

(9)は連立方程式の典型問題。確実にできるようにしよう。

(8)

円と直線の距離が最も近くなるということは、　円の中心と直線の距離も最も小さくなる。

距離が最も短いのは、Oから直線に引いた垂線である。

　　 f:id:keimathchem:20190119005729p:plain

(9)

十の位の数と一の位の数をそれぞれ、 $a,b$ とすると。

　2桁の自然数は　 $10a+b$

　入れ替えた数は　 $a+10b$

よって、

　 $a+10b=(10a+b)+36$

十の位の数と一の位の数の和が10だから

　 $a+b=10$

この2式を連立すればよい

　 $a=3,b=7$

よって、37

大問2

　反比例は1年で習って、2、3年で余り触れないので忘れがち。

(1)

比例定数は　 $-2×2=-4$

よって、 $y=-\frac{4}{x}$

(2)

　グラフは解答を見たほうが早い。

　x=1から、取れそうな点を探して1つずつ点を打って結ぶ

　マイナス側のグラフも忘れないように。

大問3

平均値、中央値、最頻値の問題。(2)は教科書に乗っている説明を覚えていれば簡単。

他の県でも同じような説明問題がでるので、覚えておこう。

(1)

　中央値は順位的に真中の値。なお、度数分布表なら階級値を答える。

　今回は大きい順に書いてくれているから真中が分かりやすい。

　7県あるので、真中は4番目の埼玉県。

　よって、 $14000$ t

(2)

　例えば5人の収入が

　　1億円、20万円、20万円、18万円、16万円

　とすると、平均収入は2014万円程度となるが、

　みんな2014万ほどもらっているわけではない。

　このように極端に大きい数値がデータにあると、

　平均値は代表値として不適切である。

　中央値の20万のほうが良い。

　同様に、茨城県だけ極端に大きいので、平均値は不適切である。

　

大問4

　2次方程式の文章題いわゆる「動点問題」の典型問題。

　非常によくでるパターンなので、必ずできるようになろう。

　 $x$ の値場合分けする

(1)

　 $0≦x≦6$ のとき、PはAB上に、QはAD上にある。

　　　 f:id:keimathchem:20190119014606p:plain

　図1のようになるから、

　　 $y=x×x×\frac{1}{2}×6×\frac{1}{3}$

　　 $y=x^2$

(2)

　 $6≦x≦12$ のとき、PはAC上に、QはDと重なる。

　　 f:id:keimathchem:20190119014759p:plain

底面である三角形APDの高さは 6cm で一定である。

よって、

　 $y=6×6×\frac{1}{2}×6×\frac{1}{3}$

　 $y=36$

つまり $y$ の値は一定である。

(3)

$12≦x≦18$ の場合も式を出しておく

$12≦x≦18$ のとき、PはCD上に、QはDと重なる。

　　 f:id:keimathchem:20190119015051p:plain

$x$ $cm$ となるのは、図の赤の部分

底面APDの底辺PDの長さは $18-x$

よって

　 $y=(18-x)×6×\frac{1}{2}×6\frac{1}{3}$

　 $y=6(18-x)$

$0≦x≦6$ のとき、 $y=2x^2$ だから

　 $x^2=12$

　 $x=2\sqrt3$

$12≦x≦18$ のとき、 $y=6(18-x)$ だから

　 $6(18-x)=12$

　 $x=16$

大問5

あまり見慣れないタイプかもしれないが、最悪1つずつ調べていけば答えにたどり着く。いい方法が浮かばないなら1つずつ調べていくような力は重要。

(1)

　1が出た時、素数(2,3,5,7)が塗りつぶされる。

　2以上はその数の倍数が塗りつぶされる。

　　1のマスだけは、素数でも誰の倍数でもないので

　　塗りつぶされることはない。

(2)

　　1は斜めの(3,5,7)でビンゴ

　 2、4、5、6は縦横斜めにその倍数が並んでいない。　

　　3は右端の(3,6,9)でビンゴ

　よって、 $\frac13$

(3)

　1回目でビンゴにならないので、1回目が2,4,5,6について考えればよい。

　1回目が2,4,5,6のなんであれ、(2)の1と3が2回目に出れば必ずビンゴになる。

　また、1回目に2、2回目に5が出た時と、その逆の1回目に5、2回目に2が出た時もビンゴになる

　だから、ビンゴになるのは $4×2+2=10$ 通り

　よって、 $\frac{5}{18}$

大問6

多少設定が難しいと感じるかもしれないが、前半の問題は比較的解きやすいので、そこだけでも得点しておきたい。後半の問題は求める部分の図を書けるかに第一のハードルがある。

(1)

f:id:keimathchem:20190119160158p:plain

　△OEFと△OBFの合同の証明。

接線なので ∠OFE=OFB=90° だから、直角三角形の合同の証明。

　半径だから　OE=OB

　共通だから　OF=OF

直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので・・・

と証明していく。

※

直角三角形の合同は実は入試で時々でるが、忘れている子が多い。

忘れている場合は普通の合同条件でも証明できる。

その場合は例えば、

　二等辺三角形だから　∠OEF=∠OBF で

　　∠EOF=90－∠OEF, ∠BOF=90－∠OBF　

　よって、∠EOF=∠BOF

これと、∠OFE=OFB,OF=OFで一辺とその両端の・・・

という流れで証明できる。

(2)

①

f:id:keimathchem:20190119161700p:plain

EF-BFだから、BFを2倍すればよい。

△OBFは直角三角形だから

　 $BF^2=36-4$

　 $BF=4\sqrt2$

よって、 $BE=8\sqrt2$

②

ECを含む△OECがどんな三角形になるか考える。

OE,OCの長さが分かるので、△OECの角の情報について考えよう。

とりあえず、適当に図を書いて、

f:id:keimathchem:20190119162135p:plain

半径だから $OF=3$ $OB=6$

接戦だから $∠OFB=90°$

ということは　△OBFは $1:2:\sqrt3$ の直角三角形

よって、 $∠BOF=60°$

(1)で合同を証明したから、 $∠EOF=∠BOF=60°$

よって、 $∠EOC=180-120=60°$

半径だから、 $OE=6$ , $OC=3$

つまり、△OECも $1:2:\sqrt3$ の直角三角形

ゆえに正しい図は

f:id:keimathchem:20190119163103p:plain

となり、

　 $CE=3\sqrt3$

※

自分で図を書いてみると、EからABに降ろした垂線とECが重なりそうになることに気がつく。ここから△OECが直角三角形ではないかと疑う。

③

図にすると、以下のようになる。

f:id:keimathchem:20190119163601p:plain

さて、このような1発で出せなさそうなので、

「分ける」か「周りを引く」方法で考える。

f:id:keimathchem:20190119164056p:plain

このように赤い四角形から青を引けばよい。

青い図形の面積について

$a=3\sqrt3$ の円を消して考えよう。

BPと円の接点(Fのあった点)をSとおく

f:id:keimathchem:20190119165128p:plain

半径だから、 $OB=6$ , $OS=3\sqrt2$

$∠OSB=90°$ だから、△OSBは直角二等辺三角形

よって、 $∠SOB=45°$

よって、 $∠POB=90°$

ゆえに、△POBも直角二等辺三角形だから

　 $PB=6\sqrt2$

よって、青の面積は

　 $△POB=6\sqrt2×3\sqrt2÷2$

　 $△POB=18$

赤い四角形は、扇形と三角形の和に分けられる。

f:id:keimathchem:20190119171123p:plain

△QOBから先に考えよう

　半径だから、 $OB=OQ=6$ , $OT=3\sqrt3$

　よって、△TOBは $1:2:\sqrt3$ の直角三角形

　また、 $∠TOB=30°$ よって、 $QOB=60°$

　ゆえに、△QOBは正三角形

　よって、 $QB=6$

　ゆえに、その面積は

　　 $△QOB=6×3\sqrt3÷2=9\sqrt2$

次に扇形のほうを見てみよう

　 $QOB=60°$ だったから $∠POQ=30°$

　半径は $OQ=6$

　よって、扇形の面積は

　　 $扇形=6×6×π×\frac{30}{360}$

　　 $扇形=3π$

よって、赤の面積は

　 $3π+9\sqrt2$

以上より求める面積は

　 $3π+9\sqrt2-18$