2次関数の文章題①(制動距離、平均の速さ)

今回は、制動距離と平均の速さについての文章題について見ていく。

この問題は、変化の割合が終わった直後に触れる場合が多いので、

本サイトもこのタイミングで触れておく。

　次回→放物線と直線・座標の基本(基)

　前回→変化の割合(基～標)

0.今回の例題
1.制動距離
2.平均の速さ
3.練習問題・解答

0.今回の例題

例題01

　走っている自動車のブレーキが効き始めてから停止するまでに進む距離を制動距離という。制動距離は、およそ速さの2乗に比例する事がわかっているという。時速60kmで走っている自動車の制動距離が27mであったとき次の問いに答えなさい。

(1) 時速40kmで走る自動車の制動距離を求めなさい。

(2) 制動距離を30m以内にするには、速さを時速何km以下にする必要があるか

　ただし、 $\sqrt{10}=3.16$ とする。

例題02

　ある斜面でボールを転がした・ボールが転がり始めてから $x$ 秒間に進む距離を $y$ $cm$ とすると、 $y$ は $x$ の2乗に比例することがわかった。いま、転がり始めてから2秒間に進む距離が12 $cm$ であったとき次の問いに答えなさい。

(1) $y$ を $x$ の式で表わせ。

(2) 転がり始めて2秒後から4秒後までの平均の速さを求めなさい。

1.制動距離

例題01

　走っている自動車のブレーキが効き始めてから停止するまでに進む距離を制動距離という。制動距離は、速さの2乗に比例する事がわかっているという。時速60kmで走っている自動車の制動距離が約27mで合ったとき次の問いに答えなさい。

(1) 時速40kmで走る自動車の制動距離を求めなさい。

(2) 制動距離を30m以内にするには、速さを時速何km以下にする必要があるか

ただし、 $\sqrt{10}=3.16$ とする。

解説

問題文に

「制動距離は、速さの2乗に比例する事がわかっている」

　「2乗に比例する」→　 $y=ax^2$ という式をつくる！

と考えよう。

(1)

制動距離は、速さの2乗に比例するから

　 $y=ax^2$ ( $y$ :制動距離 , $x$ :速さ)

とおける。

時速60kmで走っている自動車の制動距離が約27mなので

　 $x=60$ のとき $y=27$

である。これを代入し

　 $y=ax^2$

　 $27=a×(60)^2$

　 $a=\frac{3}{400}$

よって、

　 $y=\frac{3}{400}x^2$ ・・・答

(2)

制動距離が30mのときの速さを出して、それ以下にすればよい。

$y=30$ のときの速さ $x$ は

　 $y=\frac{3}{400}x^2$

　 $30=\frac{3}{400}x^2$

　 $x^2=4000$

　　 $x=20\sqrt{10}$

よって、

　　 $x=20×3.16$

　　 $x=63.2$

以上より、時速63.2km以下・・・答

解答

(1)

　自動車の速さを時速 $x$ km

　制動距離を $y$ m

とすると、 $y=ax^2$ とおける。

$x=60$ のとき $y=27$ だから

　 $27=a×(60)^2$

　 $a=\frac{3}{400}$

よって、

　 $y=\frac{3}{400}x^2$ ・・・答

(2)

$y=30$ のとき

　 $30=\frac{3}{400}x^2$

　 $x^2=4000$

　　 $x=20\sqrt{10}$

　　　 $=63.2$

よって、時速63.2km以下・・・答

練習問題01

　走っている自動車のブレーキが効き始めてから停止するまでに進む距離を制動距離という。制動距離は、速さの2乗に比例する事がわかっているという。時速40kmで走っている自動車の制動距離が9mであったとき次の問いに答えなさい。

(1) 時速60kmで走る自動車の制動距離を求めなさい。

(2) 制動距離を20m以内にするには、速さを時速何km以下にする必要があるか

2.平均の速さ

例題02

(1) $y$ を $x$ の式で表わせ。

(2) 転がり始めて2秒後から4秒後までの平均の速さを求めなさい。

解説

(1) $y=ax^2$ とおける

(2)平均の速さ＝変化の割合である。

(1)　

$y$ は $x$ の2乗に比例するから

　 $y=ax^2$

とおける。

2秒間に進む距離が12 $cm$ だから

　 $x=2$ のとき $y=12$

これを代入し

　 $y=ax^2$

　 $12=a×2^2$

　　 $a=3$

よって、

　 $y=3x^2$ ・・・答

(2)

「転がり始めて2秒後から4秒後までの平均の速さ」

「 $x=2$ から $x=4$ に変化したときの、変化の割合」

この2つは等しい。

公式 [tex;変化の割合=a(x1+x2)] より

　 $変化の割合=3(2+4)=18$

よって、秒速18cm・・・答

解答

(1)

$y=ax^2$ とおくと

　 $12=a×2^2$

　　 $a=3$

よって、　 $y=3x^2$ ・・・答

(2)

$3(2+4)=18$

よって、秒速18cm・・・答

補足

平均の速さ＝変化の割合を知らなくても解ける。

まず、どの部分の速さが知りたいかを図示すると、

f:id:keimathchem:20190709134739p:plain

2秒から4秒の間の平均の速さは、
この間の時間と距離を求めると求められる。

f:id:keimathchem:20190709135056p:plain

$x=2$ のとき $y=12$

$x=4$ のとき $y=48$

であるから、2秒後から4秒後までに、

　 $48-12=36$ $cm$

移動している。

よって、

　ボールは2秒後から4秒後までの2秒間に、

　36 $cm$ 移動しているから

平均の速さは

　 $36÷2＝18$ [cm/s]・・答

この計算は、変化の割合を求める計算と同じである。

練習問題02

高いビルの屋上から、地面に向かってボールを落とした。ボールが落ち始めてから $x$ 秒間に進む距離を $y$ $cm$ とすると、 $y$ は $x$ の2乗に比例することがわかった。いま、落ち始めてから3秒間に進む距離が88.2 $cm$ であったとき次の問いに答えなさい。

(1) $y$ を $x$ の式で表しなさい。

(2) 落ち始めてから2秒後から4秒後までの平均の速さを求めなさい。

3.練習問題・解答

練習問題01

(1)

自動車の速さを時速 $x$ km

　制動距離を $y$ m

とすると、 $y=ax^2$ とおける。

$x=40$ のとき $y=9$ だから

　 $9=a×(40)^2$

　 $a=\frac{9}{1600}$

　 $y=\frac{9}{1600}x^2$

(2)

　 $y=20$ のとき

　　 $20=\frac{9}{1600}x^2$

　　 $x^2=\frac{1600×20}{9}$

　　　 $x=\frac{80\sqrt{5}}{3}$

　よって、時速 $\frac{80\sqrt{5}}{3}$ km以下

練習問題02

(1)

$y=ax^2$ とおける。

$x=3$ のとき $y=88.2$ だから

　 $88.2=a×3^2$

　 $a=9.8$

よって、 $y=9.8x^2$

(2)

　 $9.8(2+4)=58.8$ $cm/s$