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数学の解説と練習問題

2次関数のグラフ(グラフの書き方・グラフの特徴①②)(基)

解説中3数学 2次関数基礎問題関数グラフグラフ問題

3月になったので、分野別解説の続きをすすめていく。

今回は $y=ax^2$ のグラフについて

　前回　xの二乗に比例する関数(特徴・式・値)(基)

　次回　2次関数のグラフ(変域)(基～標)

※ 今回から「二乗に比例する関数」だと長いので「2次関数」と表現する。

　　中学の範囲　 $y=ax^2$ について扱っており、

　　高校の範囲　 $y=ax^2+bx+c$ の解説はしないので注意

0.今回の例題
1.例題01「グラフの書き方」
2.「グラフの特徴①」
3.「グラフの特徴②」
4.例題02「特徴から式の判別①」
5.例題03「開き具合からの式の判別」
5.演習問題
6.解答

0.今回の例題

例題01

　次のグラフをかきなさい。

　① $y=x^2$

　② $y=\frac{1}{2}x^2$

　③ $y=-\frac{1}{2}x^2$

　④ $y=-2x^2$ ( $-1≦x≦2$ )

例題02

次の①～④の関数のグラフについて

　① $y=x^2$ 　 ② $y=-x^2$ 　

　③ $y=2x$ 　 ④ $y=-2x$

(1) ①～④に当てはまる特徴を以下のア～カから選べ

　　ア放物線である　イ直線である

　　ウ上に開いた放物線

　　エ $y$ 軸に対して対称

　　オ原点を通る　　カ $(2,-4)$ を通る

(2) $x$ 軸について対象なグラフの組を答えなさい。

例題03

下図の放物線の式は ① $y=x^2$ , ② $y=\frac13 x^2$ , ③ $y=-\frac12 x^2$ である。放物線④の式として考えうるものをア～ウから1つ選べ。

ア $-\frac16 x^2$ イ $y=-\frac23 x^2$ ウ $y=-\frac32 x^2$

　　 f:id:keimathchem:20190302182744p:plain

1.例題01「グラフの書き方」

例題01

　次のグラフをかきなさい。

f:id:keimathchem:20190302010612p:plain

　　① $y=x^2$

　　② $y=\frac{1}{2}x^2$

　　③ $y=-\frac{1}{2}x^2$

　　④ $y=-2x^2$ ( $-1≦x≦2$ )

解説
フリーハンドでかくので、慣れるのに時間がかかるかもしれないが、

$x=0$ から順番に点を打って結ぶ。

①のグラフ

　 $x=0$ のとき $y=0$ 　

　 $x=1$ のとき $y=1$

と順々に計算していき

　 f:id:keimathchem:20190302014311p:plain

②、③のグラフ

　比例定数が分数なので、

　　　 $x$ 座標、 $y$ 座標が共に整数

　になるような点だけを打つとよい。

④のグラフ

　 $-1≦x≦2$ とあるので、この範囲の外側は書かない。

解答

グラフに問題の番号を書いておくのを忘れないように。

f:id:keimathchem:20190302015404p:plain

2.「グラフの特徴①」

f:id:keimathchem:20190302021739p:plain

このような形のグラフを放物線といい、

　① 放物線の頂点は必ず原点を通る。

　② $y$ 軸に対して対称である。

　③ $y=ax^2$ のグラフは

　　 $a＞0$ なら上に開いた(下に凸な)放物線

　　 $a＜0$ なら下に開いた(上に凸な)放物線

という特徴がある。

3.「グラフの特徴②」

　 $y=ax^2$ のグラフは

　　① $a$ の絶対値が大きいほうがグラフの開き具合が小さくなる

　　② $a$ の絶対値が等しく、符号が逆な2つの放物線は $x$ 軸に対称

①　例: $y=x^2$ と $y=\frac14 x^2$

　 f:id:keimathchem:20190302025201p:plain

比例定数の部分 $a=1$ と $a=\frac14$ を比べると

　 $y=x^2$ のほうが比例定数の絶対値が大きいので

　 $y=\frac14 x^2$ よりグラフの開き具合が小さくなっている。

② 例: $y=\frac12 x^2$ と $y=-\frac12 x^2$

f:id:keimathchem:20190302030306p:plain

　この様に比例定数 $a$ の正負が逆だと、 $x$ 軸に対して対称になる。

4.例題02「特徴から式の判別①」

例題02

次の①～④の関数のグラフについて

　① $y=x^2$ 　 ② $y=-x^2$ 　

　③ $y=2x$ 　 ④ $y=-2x$

(1) 当てはまる特徴を以下のア～カから選べ

　　ア放物線である　イ直線である

　　ウ上に開いた放物線

　　エ $y$ 軸に対して対称

　　オ原点を通る　　カ $(2,-4)$ を通る

(2) $x$ 軸について対象なグラフの組を答えなさい。

解説

(1)

　ア $y=ax^2$ のグラフの特徴

　イ 1次関数のグラフの特徴

　ウ $y=ax^2$ (a＞0) のグラフの特徴

　エ $y=ax^2$ のグラフの特徴

　オ $y=ax^2$ はもちろん、比例のグラフも当てはまる

　カ $x=2$ を代入し $y=-4$ となるものを選ぶ

　

(2)

　比例のグラフも、比例定数 $a$ の正負が逆なら $x$ 軸に対称な直線になる。

解答

(1)

　① アウエオ

　② アエオカ

　③ イオ

　④ イオカ

(2)

　①と②, ③と④

5.例題03「開き具合からの式の判別」

例題03

下図の放物線の式は ① $y=x^2$ , ② $y=\frac13 x^2$ , ③ $y=-\frac12 x^2$ である。放物線④の式として考えうるものをア～ウから1つ選べ。

ア $-\frac16 x^2$ 　イ $y=-\frac23 x^2$ 　ウ $y=-\frac32 x^2$

f:id:keimathchem:20190302182744p:plain

解説

$y=ax^2$ の比例定数 $a$ の値の絶対値が大きいほうが、

グラフの開き具合が小さくなる。

④のグラフの開き具合は①のグラフより小さいので、

④の式として考えられるのは、ウ

解答

　ウ

5.演習問題

(1) 次の問に答えなさい。

　① 関数 $y=\frac12 x^2$ のグラフをかけ

　② ①のグラフと $x$ 軸について対称なグラフの式を求めよ。

(2) 次のア～エの関数のグラフについて

　ア $y=x^2$ 　イ $y=\frac14 x^2$ 　ウ $y=x+3$ 　

　エ $y=-\frac14 x^2$ 　オ $y=-x+3$ 　カ $y=\frac{36}{x}$

　　① 下に凸な放物線をすべて選べ

　　② 原点を通るグラフをすべて選べ

　　③ 点 $(6,9)$ を通るグラフをすべて選べ

　　④ $x$ 軸について対称なグラフの組を答えよ。

(3) 図の①～⑤のグラフは次のア～オの関数のグラフ

　を示したものである。①～⑤はそれぞれどの関数のグラフか

　　ア $y=\frac12 x^2$ 　イ $y=x^2$ 　ウ $y=-2x^2$

　　エ $y=-\frac12 x^2$ オ $y=-\frac13 x^2$

　　 f:id:keimathchem:20190302185837p:plain

6.解答

演習問題・解答

(1)

①

　 f:id:keimathchem:20190302190541p:plain

② $y=-\frac12 x^2$

(2)

① エ

② アイエ

③ イウカ

④ イエ

　※ウとオは $y=3$ について対称

(3)

①　イ

②　ア

③　ウ

④　エ

⑤　オ