ページコンテンツ

数学の解説と練習問題

2018(H30)年度神奈川公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題・解答　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/kgw/kgw-su/su_1.html

結果　http://www.pref.kanagawa.jp/uploaded/life/1230284_4456549_misc.pdf

問1
問2
問3
問4
問5
問6
問7

問1

　すべて正答率90％以上で、変わった問題はない。

問2

　(オ)(カ)の正答率が低い。(オ)は平方根が整数値となる場合の典型問題。公立レベルでは①素因因数分解, ②1つずつ確かめるの2パターンを知っておけばよい。(カ)平均値の問題。埼玉の前期にも同じような問題が出ている。

(オ)

　 $\sqrt{53-2n}$ が整数になるには

　 $53-2n$ が平方数になればよい

　　 $53-2n=1$ 　 $n=26$

　　 $53-2n=9$ 　 $n=22$

　　 $53-2n=25$ 　 $n=12$

　　 $53-2n=49$ 　 $n=2$

　以上の4つ

　※2nは偶数なので、奇数の二乗のみ調べる。

　　 $n$ の値をもとめなくも、

　　53以下に奇数の二乗が何個あるかだけ調べればよい。

(カ)

　平均値を度数分布表から出す問題。

　　 $平均値=\frac{(階級値×度数)の合計}{度数の合計}$

　考え方は、埼玉県(共通)の解説を見てほしい。

　　 $\frac{12×1+16×3+20×8+24×6+28×2}{20}$

　　　 $=21$ 人

問3

(ア)の正答率が2.8%と非常に低い。相似と三平方の混合問題。3分点の問題(相似と連比の問題)でよく見る形をしているので、DEの延長とBCの延長の交点をIとおくのはすぐに発想できる。すると△HIF∽△HDGである。よって、IH:DHとHFが分かれば求められる。

(ア)

f:id:keimathchem:20190130164810p:plain

DEとBCの交点をIとする。

△BEI≡AEDなので

　 $BE=1$ , $BI=3$

△BEIで三平方の定理より

　 $EI=\sqrt{10}$

f:id:keimathchem:20190130165118p:plain

$BC=3$ で、FはBCを2:1に内分するから

　 $BF=2$ , $FC=1$

△BEI∽△HFIなので

　 $EI:FI=EB:FH$

　 $\sqrt{10}:5=1:FH$

　　 $FH=\frac{\sqrt{10}}{2}$

また、

　 $EI:FI=BI:HI$

　 $\sqrt{10}:5=3:HI$

　　 $HI=\frac{3}{2} \sqrt{10}$

$DI=2\sqrt{10}$ だから

　 $DH=\frac12 \sqrt{10}$

よって、

　 $IH:DH=3:1$

f:id:keimathchem:20190130170322p:plain

△HIF∽△HDGより

　 $IH:DH=FH:GH$

　 $3:1=\frac{\sqrt{10}}{2}:GH$

　　 $GH=\frac{\sqrt{10}}{6}$

問4

　(ウ)の正答率2.8％と非常に低い。面積比は①線分比に帰結する。②実際に面積を求めるの2パターンを抑えておこう。①の方法で考えると、BFは $y$ 軸と平行なので、 $y$ 軸とAFの交点をHとすると、△HGB=△FGDである。よって、高さ共通なのでHA：HGの比を求めれば、△HGBと△HABの面積比が求められる。この比は、点Gと点Aの[tx:x] 座標を比較すればよい。②の方法では、△AGB=△AFB-△GFB,　△DFG=△DFB-△GFBで2つの三角形の面積を実際に求める。

(ウ)

$y$ 軸とAFの交点をHとする

　Gの $x$ 座標を出す。

　　AFの式は　 $y=\frac13 x +2$

　　BDの式は　 $y=\frac{19}{6}x-7$

これらを連立し

　　 $x=\frac{18}{7}$

よって、

　 $HA:HG=3:\frac{18}{7}=7:6$

ゆえに

　 $△HAB:△HGB=7:6$

　 $△AGB:△HGB=13:6$

よって、

　 $△AGB:△DFG=13:6$

このような解き方をすれば、Gを出すとき以外にややこしい計算をしなくてすむ。

※

　詳しい解説

f:id:keimathchem:20190130174047p:plain

図のように、等積変形すると

　△BHF=△BDF

△HGBと△FGD(オレンジ部分)は、

それぞれ△BHFと△BDFから, △BGF(緑部分)を引いた図形

　よって、△HGB=△FGD

△AGB:△HGBを求めることは、

△AGB:△DFGを求めることと同じである。

f:id:keimathchem:20190130175047p:plain

赤い部分に着目すれば

高さ共通なので△HAB:△HGBは:HA:HGと等しい

HA:HGは以下のように考える。

f:id:keimathchem:20190130175347p:plain

図のオレンジの三角形は相似だから

HA:HGは、青い線分の比をもとめればわかる。

つまり、AとGの $x$ 座標から求められる。

ここから　 $△HAB:△HGB=7:6$

f:id:keimathchem:20190130175741p:plain

よって、上図より

　 $△AGB:△DFG=13:6$

問5

ひとつずつ数えてもよい。(ア)はルール②を無視して解ける。(2)はルール②が適応されれば、点Bに止まることはない。

(ア)

ルール②が適応されようと、されまいと

和が4,7,10であれば点Xにとまる。

　 $a+b=4$ 　(1,3)(2,2)(3,1)

　 $a+b=7$ 　(1,6)(2,5)(3,4)(4,3))(5,2)(6,1),

　 $a+b=10$ 　(4,6),(5,5)(6,4)

よって、 $\frac13$

(イ)

点Bに止まるのは、和が2、5、8、11でかつルール②が適応されない場合である。よって、各和になるa,bの値をすべて書き出し、ルール②が適応されるものを除外すればよい。

$a+b=2$

　必ずルール②が適応されるので除外

$a+b=5$ 　(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)

　このうち(1,4)はルール②が適応されるので除外

$a+b=8$ 　(2,6) (3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

　このうち(2,6)(4,4)は除外

$a+b=11$ 　(5,6),(6,5)

よって、　 $\frac{2}{9}$

問6

(ウ) 正答率6.4％と非常に低い。三角形ADEについて三平方！は間違い。AC=ADではないから、AE⊥CDではない。

(ウ)

点EからODに垂線を降ろしその足をHとする。

三角形AEHで三平方の定理を使えば、AEを出せる。

f:id:keimathchem:20190130183849p:plain

　OC//EHで、点HはCDの中点だから

　中点連結定理より

　　 $EH=\frac{1}{2}OC$

　　 $EH=\sqrt5$

また、AHは底面を取り出し

f:id:keimathchem:20190130183918p:plain

上図のように、AOの延長に垂線HIを引けば出せる。

△OHIは $1:2:\sqrt3$ の直角三角形だから

　 $OI=1$ $HI=\sqrt3$

よって△AIHで

　 $AH^2=5^2+(\sqrt3)^2$

　 $AH=4\sqrt7$

三角形AEHで三平方の定理を使うと

　 $AE^2=AH^2+EH^2$

　 $AE=\sqrt{33}$

問7

(イ)の正答率が6.8と低い。(ア)の内容がヒントになっている。

(イ)

(ア)Ⅱより、A,F,E,Dは同一円周上にあるので、

f:id:keimathchem:20190130190613p:plain

図のような円がかける。

よって、∠AEF=ADF=30°

f:id:keimathchem:20190130191259p:plain

また、円に内接する四角形の向か合う角の和は180°だから

∠ADC+∠ABC=180°

∠ABC=96°であるから

　∠ADC=180°－∠ABC=84°

よって、

　∠BDC=(∠ADC－∠ADF)÷2=27

弧BCに対する円周角だから

　∠BAC=∠BDC=27°

△AEFについて、外角は2つの内角の和だから

　∠BFE=∠AEF+∠FAE=57°