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数学の解説と練習問題

2018(H30)年度千葉県(後期)公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題・解答　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/cba/cba2/cba-su/su_1.html

結果　https://www.pref.chiba.lg.jp/kyouiku/shidou/press/2018/koukounyuushi/documents/h30kennsakekka.pdf

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5

大問1

　すべての問題が正答率80％を超えている。ここで間違えないように

大問2

　(2)(3)の正答率が大体50％となっている。(2)は半球の体積。公式を覚えていないか、半分にするのを忘れていたのだろう。なお、体積より表面積のほうが正答率が下がるだろう。(3)はおなじみの変化の割合の問題。

(2)

　体積の公式は

　　 $V=\frac{4}{3}πr^3$

　半球なので、÷2をする

　　 $V=\frac{4}{3}π×6^3÷2$

　　　 $=144π$ $cm^3$

　

　※

　　表面積を求める際は、底面の面積を足すのを忘れないように

　　球の表面積の公式は　 $S=4πr^2$

　　半球なので、　 $S=4π×6^2÷2=72π$

　　底面の面積を足す必要があるので

　　　　 $72π+36π=108π$ $cm^2$

(3)

　 $x=2$ のとき $y=4a$

　 $x=6$ のとき $y=36a$

よって、

　　 $\frac{36a-4a}{6-2}=-4$

　　　 $a=-\frac12$

※

　 $変化の割合=a(x_1+x_2)$ を利用すると

　　 $a(2+6)=-4$

　　　 $a=-\frac12$

大問3

(3)の正答率が5.6％と非常に低い。等積変形を使って、定期テストのレベルの「頂点を通り三角形の面積をに等分する直線の式の問題」へ帰着させる。問題集なんかでよく見る問題である。

(3)

下図のように、Bを通りOCと平行な直線(青)を引き、この直線とOAとの交点をDとする。四角形OBCAと三角形ACDの面積は等しくなる。Cを通り四角形OCDの面積を二等分する直線と、Cを通り三角形ACDの面積を二等分する直線は同じである。

　 f:id:keimathchem:20190130064413p:plain

四角形OCDの面積を二等分する直線とOAとの交点は

Cを通り三角形ACDの面積を二等分する直線とOAの交点と同じである。

そして、この交点はADの中点となる

OCの式は $y=\frac{3}{2}x$ であるから、

OCと平行でBを通る直線の式は

　 $y=\frac{3}{2}x+b$

$B(2,1)$ を通るから

　 $b=-2$

よって、BDの式は

　 $y=\frac{3}{2}x-2$

OAの式は $y=-\frac12x$ なので、点Dの座標は

　 $D=(1,-\frac12)$

△ACDの面積を二等分する直線は、

ADの中点を通るからこの点をEとすると

　 $E (- \frac{1}{2} , \frac{1}{4} )$

四角形OBCDの面積をに等分する直線もEを通る。

よって、

　 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$

大問4

(1)証明の記述問題の正答率が9.4％と非常に低い。中点連結定理に気がつくかが鍵。(2)は面積比の問題。このタイプの問題は、相似や底辺比=面積比などを利用する。今回は後者のみ考えればよい。

(1)C

　CとEはそれぞれAB,ADの中点だから

　　EC//BD

　これを利用していく。

　　錯角だから　∠EGB=∠FBD・・・⑤

　　△BCE≡△CBFだから ∠BEC=∠CFB　

　　つまり、∠BEG=∠DFB・・・⑥

　⑤と⑥で2つの角がそれぞれ等しいといえる

(2)

f:id:keimathchem:20190130151954p:plain

　△BGE≡△CFGだから

　　 $△BGE=△CFG=1$

　また、△BEGと△AEGは、高さ共通で底辺が等しいので

　　 $△BEG=△AEG=1$

　同様に

　　 $△CFG=△AFG=1$

よって、

　 $△ABF=3$

f:id:keimathchem:20190130152059p:plain

高さ共通で底辺が等しいので

　 $△CBF=ABF=3$

よって、

　 $△ABC=6$

f:id:keimathchem:20190130152232p:plain

高さ共通で底辺が等しいので

　 $△ABC=△DBC=6$

よって

　 $△ABD=12$ $cm^2$

大問5

　新規号の問題。割り算とあまりの整数問題である。(4)の正答率が19.7％と低い。

　式にする方法と、1つずつ確かめていく方法がある。

(2)　

　[a☆7]=7は「aは7で割って商が7」という意味

　商がn、あまりがkとすると

　　 $a=7n+k$ 余りの $k$ は7未満

　であるから、　

　　 $a=7×7+k$ (0≦k≦6)

　と表される。 $k=0$ から順に考えていくと

　　 $a=49,50,51,52,53,54,55$

　以上の7個ある。

(3)

　「aは14で割って商が3、7で割ってあまり3」という意味

　 (2)と同様に考えると

　　 $a=14×3+k$ (0≦k≦13)

　で表される。14×3の部分は7で割り切れるので

　aを7で割ったあまりは、kを7で割ったあまりである。

　 0≦k≦13のうち、7で割ったあまりが3になるのは

　　 $k=3,10$

　よって、

　　 $k=3$ のとき $a=45$

　　 $k=10$ のとき $a=52$

(4)

「aは3で割ってあまり1，4で割ってあまり3」という意味。

　埼玉の学校選択問題でもあまりの問題がでた。

　余りが1,3と異なる、商と余りの差も異なるので、

　③条件を満たす数を1つ見つけるパターン。

　このパターンでは、

　条件を満たす最小の数値をみつけ、

　　 $a=(最小公倍数)×n+最小の数値$

　とおく。

　

　　 $7÷3=2あまり1$

　　 $7÷4=1あまり3$

　条件を満たす最小の数値は　7

　よって、 $a=12n+7$ ( $nは整数$ とおける

　aが2桁の自然数となるように、 $k=0$ から順に調べると

　　 $a=19,31,43,55,67,79,91$

　以上の7個が条件を満たす。

※

　 $a=3m+1$ $a=4n+3$ として

　　 $3m-4n=2$

　という不定方程式を解いてもよい。

　　 $3(m-2)=4(n-1)$

　3と4は互いに素なので

　　 $m=4k+2$ (kは整数)

　 $a=3m+1$ に代入すると

　　 $a=12k+7$

　あとは同じ。

　