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数学の解説と練習問題

2018(H30)年度栃木県公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題と解答　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/tcg/tcg-su/su_1.html

結果　http://www.pref.tochigi.lg.jp/m04/h30koukounyuusi/documents/h30kenritsukounyuushikekka.pdf

大問1
大問2
大問3
大問4
大問5
大問6

大問1

　(11)と(14)の正答率が低い。(11)は多角形の内角に関する問題。中2で習う範囲だが、やり方を忘れている受験生が多いようだ。なお、多角形の公式は自分で導けたほうがいいと思う。(14)はおなじみ変化の割合の問題。変域と同じく毎回正答率が低めである。

(11)

　外角を利用したほうが、計算が楽。

　　1つの内角が150°ということは、1つの外角は30°である。

　　外角の和は必ず360°であるから※重要

　　　 $360°÷30°=12$

　　よって、正十二角形。

　※ $n角形$ について

　　　内角の和は　 $180(n-2)$

　　外角の和は　 $360°$

　　 $正n角形$ について

　　　1つの外角は　 $\frac{360}{n}$

　　　1つの内角は　 $180-\frac{360}{n}$

　　　　　　　　　 $\frac{180(n-2)}{n}$

(14)

　 $x$ の値が1から4に増加するとき

　 $y$ の値は－1から－16に増加する。

　　 $変化の割合=\frac{yの増加量}{xの増加量}$

　なので、

　　 $変化の割合=\frac{-15}{3}=-5$

　である。

※

　何度も紹介しているが

　　 $変化の割合=a(x_1+x_2)$

　でも良い。

大問2

　どの問題も正答率50%前後で、低学力層と中堅層の差がつく問題。標準レベルの学校を受けるのであれば正解しておくべきである。(1)は作図問題。最も近い距離ではなく、最も遠い距離を問われている。勘違いしないように。(2)は確率の問題。43以下の素数をちゃんと判別できないといけない。一つずつ調べる。(3)は比例と反比例の問題。座標を文字で表現する事、座標から長さを出す事の2つができないといけない。この2つは、1次関数、2次関数の応用問題でも重要になる。

(1)

　解答の方法以外に、中心を使う方法がある。円内部の2点は、どんなに頑張っても直径以上に離れられない。よって、直径上にAとP両方あるときが最も離れている。

　中心は、好きな弦2つの垂直二等分線の交点

　あとはAと中心を結んだ直線と、円との交点がPである。

　　 f:id:keimathchem:20190124011526p:plain

(2)

カードを戻さないで2回引くので、

「11」のように同じ数字は連続しない

引いたカードで作れる素数は

　13, 23,31,41,43

この5つ。

作れる数字全体は、 $4×3=12$ 個だから

求める確率は

　 $\frac{5}{12}$

(3)

Aは, $y=\frac{a}{x}$ を通るので

　 $A(2,\frac{a}{2})$

Bは, $y=-\frac{5}{4}$ を通るので

　 $B(2,-\frac{5}{2}$

よってABは

　 $AB=\frac{a}{2}+\frac{5}{2}$

よって

　 $\frac{a}{2}+\frac{5}{2}=6$

　　 $a=7$

大問3

　説明問題。(1)も(2)もよく出る形式である。問題文が長く、見慣れない問題かもしれないが、学校で習った解き方に忠実に解けばよい。(2)は図を書くと解きやすい。

(1)

5円硬貨の枚数を $b$ 枚とすると、

1円硬貨の枚数は $36-b$ 枚となる。

※単位を忘れない。

よって、金額の合計 $a$ 円は

　 $a=5b+(36-b)$

　　 $=4b+36$

　　 $=4(b+9)$

$b$ は0以上の整数なので、 $b+9$ も整数。

※この記述がないと減点「 $b$ は整数なので」もOK

よって、 $a$ は4の倍数である。

(2)

Q,Rは以下の図の様になる。

f:id:keimathchem:20190124014654p:plain

　Qの体積は $(7+x)(4+x)×2$

　Rの体積は $7×4×(2+x)$

この2つの体積は等しいので

　 $(7+x)(4+x)×2=7×4×(2+x)$

これを解いて

　 $x=0,3$

x>0なので　※抜けると減点

　 $x=3$

大問4

(1)は正答率自体は低いが部分点を含めると88.7％と高く、解き方はわかったが、記述する時に何かが抜けたり、対応順を間違えたり、BE=CDが言えなかったのだろう。(2)の正答率は20％前後と低い。線分が多くて混乱するかもしれないが、そんなに段階を踏まずに答えまで行き着く。

(2)

①

円と直径があれば、直径に対する円周角が90°であることを思い出そう。

　 $∠ACB=90°$

また、接線と半径は垂直に交わる。

　 $∠ADO=90°$

つまり、同位角が等しいので

　 $DO//CB$

これに気が付かなければならない。

f:id:keimathchem:20190124022901p:plain

OEとODは共に半径なので、

　[tex;OE=OD]

となり、△OEDは二等辺三角形

つまり、 $∠OED=∠ODE=a$

△OEDについて、内角の和は180°だから

　 $∠EOD=180°-2a$

$OD//CB$ なので、同位角だから

　 $∠OBC=∠EOD=180°-2a$

②

　大きい方の円から、小さい方の円の面積を引けばよい。

　円の面積を出すために、両方の円の半径を求める。

f:id:keimathchem:20190124023022p:plain

上図は、邪魔なDEを消したものである。

ABの長さが分かれば、大きい方の半径が分かる。

△ACBで三平方の定理より

　 $AB^2=AC^2+BC^2$

　[texAB^2=12^2+4^2]

　　 $AB=4\sqrt{10}$

よって、大きい方の半径は

　　 $OB=2\sqrt{10}$

ODの長さが、小さい方の半径である。

OはABの中点で、OD//BCだから

中点連結定理より

　 $OD=2$

よって、求める面積は

　 $(2\sqrt{10})^2π-4π=36π$ $cm^3$

大問5

　点の移動とグラフの問題。考え方を小問で誘導し、グラフでヒントを出している。このヒントがなければ更に難しい問題になる。

1(1)

　図2のグラフから、 $x=10$ のとき $y=600$ である。

　これを $y=ax^2$ に代入し

　　 $a=6$

1(2)

　図2のグラフから、 $10≦x≦15$ のとき

　 $y$ は $x$ の1次関数であり

　　 $(10,600)$ , $(15,0)$

　を通ることがわかる。

　後は $y=ax+b$ に入れて連立するなり

　先に変化の割合を出してから、切片をだすなりればよい。

　　 $y=-120x+1800$

2

　18秒後のPとQの位置を調べる。

　　　Pは　 $3×18=54$ $cm$

　　　Qは　 $5×18=90$ $cm$

　進むので、2点の位置は以下の図の様になる。

　　　　 f:id:keimathchem:20190124164347p:plain

　よって、(1) ウ。

　なお、この時の面積は $360$ $cm^2$ である。

図2のグラフをみると、

$x=15$ で $y=0$ となっている

すなわち、 $x=15$ でPとQは出会う。

よって、15～18秒、18秒以降は以下のようになる。

f:id:keimathchem:20190124165247p:plain

15秒～18秒では、底辺が毎秒 $8cm$ ずつ増えるのに対し

18秒以降では、底辺が毎秒 $3cm$ ずつしか増えない。

よって、(2) ア ②小さく　③ Ⅰ

3

　2のグラフから、3回目に $500$ $cm^2$ になるのは

　 f:id:keimathchem:20190124170524p:plain

18秒以降と分かる。

グラフの式を出して、 $y=500$ を代入してもいいが、

今回は、三角形から考える。

　　 f:id:keimathchem:20190124170850p:plain

図の三角形の面積は $500$ $cm^2$ になるとき

　 $500=30×PB÷2$

　　 $PB=\frac{100}{3}$

PBの長さは、 $40cm$ 以下なので、問題に適する。

よって、Pは $30+\frac{100}{3}$ $cm$ 進むので

　　 $30+\frac{100}{3}=3x$

　　　 $x=\frac{190}{9}$ 秒後

大問6

　2番の問題から正答率10%以下が続く。同じ題材の問題はよくあるので、解答解説は確認しておこう。なお、特に4の正答率が0.5%と非常に低くく、この問題を解ける必要はない。

(2)

　図は以下のようになる。

f:id:keimathchem:20190124174143p:plain

すなわち、

　1辺 $n$ $cm$ の正方形が3枚でき、

　1辺 $1$ [tex cm]の正方形が $n$ 枚できる

よって、

　 $n+3$ 枚

(3)

図は以下のようになる。

小さい正方形から書いていくとやりやすい。

　 f:id:keimathchem:20190124174846p:plain

この図形の長さの関係から

　 $12=x+y$ , $x=2y$

が成り立つ。これらを連立すればよい。

(4)

3種類の5枚の正方形の枚数の組み合わせは

　 $(大,中,小)=(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(3,1.1)$

が考えられる。

一番小さい正方形が1であるものは存在しないから

　 $(1,3,1),(2,2,1),(3,1,1)$

は存在しない。

よって、枚数の組み合わせは

　 $(大,中,小)=(1,1,3),(1,2,2),(2,1,2)$

あとは、それぞれの組み合わせについて図を書き、

(3)のときの考えかたと同じ様に、長さの方程式を作る。

f:id:keimathchem:20190124180925p:plain

(1,1,3)のとき

　 $a=56-a+\frac{56-a}{3}$

　　 $a=32$

(1,1,2)のとき

　 $a=2(56-a)+\frac{56-a}{2}$

　　 $a=40$

(2,1,2)のとき

　 $a=56-2a+\frac{56-2a}{2}$

　　 $a=21$

以上より、 $a=21,32,40$