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数学の解説と練習問題

2018(H30)年度茨城県公立高校入試・解説

2018年度公立高校解説高校入試過去問データベース解説

問題・解答　http://www.tokyo-np.co.jp/k-shiken/18/ibk/ibk-su/su_1.html

大問4
大問5
大問6
大問7
大問8
感想

大問4

特に(2)の正答率が低そうである。関数の問題だが図形的性質を考える必要がある。

(1)

イのグラフはAを通るので、Aの座標を出して代入すればよい。

Aは $y=x^2$ 上にあるので

　 $A(2,4)$

よって、

　 $4=\frac{a}{2}$

　 $a=8$

(2)

BOCを取り出して考える。PCを結んで図形的に考えよう。

f:id:keimathchem:20190118160733p:plain

∠BPCが∠BOCの二倍になっているということは、

内角と外角の関係より

　 $∠BPC=∠POC+∠OCP$

よって、上図右のように

　 $∠POC=∠OCP$

となり、△BPCが二等辺三角形になる。

つまり、点Pは、OCの中点と高さが等しくなる

よって、点Pの $y$ 座標は $-\frac52$

AOBを通る直線の式は

　 $y=2x$

だから、

　 $P(-\frac54,-\frac52)$

※

時間がかかるが、

Pの $x$ 座標を $t$ とおくと

Pは直線AB上の点だから

　 $P(t,2t)$

よって、

　 $OP^2=t^2+4t^2=5t^2$

　 $PC^2=t^2+(2t+5)^2$

$OP=PC$ だから $OP^2=PC^2$ で

　 $5t^2=t^2+(2t+5)^2$

　 $20t=-25$

　 $t=-\frac54$

以上より

　 $P(-\frac54,-\frac52)$

でも求められる。

大問5

　(2)で面積比の問題が出ている。面積比は「等積変形」「相似比の二乗」「高さ共通なら面積比=底辺比」「底辺共通なら面積比=高さ比」の4つを使っていけばよい。入試でよく出るテーマの1つ。今回は「相似比の二乗」を使っていく。△EIG∽△EDCから四角形IDCGの面積を考え、△EDC∽△ABCから△ABCの面積が考えられる。

(2)

$BD:DC=1:2$ とある。

べつに $BD=①$ , $DC=②$ としてやっていっても良いが、

分数が出ると入力が面倒なので

$BD=②$ $DC=④$ とおいて計算していく。

f:id:keimathchem:20190118143513p:plain

DC=④に対して IGがどうなるか考える。

△ABCで中点連結定理より

　 $HG=③$

ここで、四角形BDIHは平行四辺形だから

　 $BD=HI=②$

よって、

　 $IG=①$

さて、面積比を見ていこう

f:id:keimathchem:20190118144104p:plain

△EIG∽△EDCで、

その相似比は [tex :OG:DC=①:④] なので

　 $△EIG:△EDC=1:16$

よって、四角形IDCGの面積を15と考えればよい。

△EDC∽△ABCで、

その相似比は　 $DC:BC=④:⑥$ なので

　 $△EDC:△ABC=16:36$

よって、△ABCの面積を36と考えればよい。

以上より

　 $\frac{5}{12}$ 倍

※

　AE:EG:GCの比を三分点の考え方で出して

　面積比を求めてもよい。

　

大問6

二次関数の分野の最後にならう、いろいろな関数の範囲

条件をキチンと把握する必要がある。それさえできれば非常に簡単。

(1)

　 $10m^3$ をこえて $20m^3$ までの分　

とあるから, $17m^3$ の場合、150円かかるのは、

$10m^3$ をこえた部分の $7m^3$ だけである。

よって

　 $1000+150×7=2050$ 円

※グラフから、2000円以上、2500円以下と分かる。

　 $1000+150×17=3550$ としないように。

(2)

1月の料金はグラフから、A3500円

Bも3500円と簡単に計算できる。

1月の差が0になった。

ということは

料金の計算方法が同じで

　2月3月は共に1月から $±10m^3$ 違い

　4月5月は共に1月から $±3m^3$ 違い

なので、1月から5月の差も0になることが分かる

つまり6月の料金の違いだけ調べればよい

6月は　A4900円、B4400円なので

　Bのほうが500円安い

※

全部計算すると

　 f:id:keimathchem:20190118150358p:plain

よって、Bのほうが500円安い。

大問7

(2)で中央値と相対度数が出てくる。中3になると中1で習ったこの分野の記憶がなくなっていることが多々あるので、入試前に確認しておこう。

(1)

　ア:階級の幅は共に 5m

　イ: 最頻値は棒グラフが一番高いところを見ればいい。

　　確かに、一番高い棒の位置が違う

　ウ: 1組に40m以上45m未満投げた人がいる。この人が最高記録

　エ: 共に5人いるが、全体の人数が異なるので、割合も異なる。

よって　イ　エが正しい。

(2)

　1組の人数は2人を足して31人となる。

　よって中央値は16番目の人が含まれる階級を見ればよい。

　16番目に遠くに投げた人がいる階級は　20m以上25m未満

　この階級の度数は　5人

　よって、相対度数は

　　 $5÷31=0.161....$

　四捨五入して

　　 $0.16$

大問8

いろんな解き方があるが、いずれも補助線を自分で引く必要がある。

(2)

f:id:keimathchem:20190118164425p:plain

図のようにEGをとる

もちろん。△ODB正方形ABCDに垂直なので

EGはACに垂直である。

△ABCは $1: 1:\sqrt2$ の三角形なので

　 $AC=8\sqrt2$

Gは $AC$ の中点、 $AF=\sqrt2$ なので

　 $FG=3\sqrt2$

また、E、GはOB、DBの中点なので

中点連結定理より

　 $EG=4$

△EGAで三平方の定理より

　 $EF^2=4^2+(3\sqrt2)^2$

　 $EF=\sqrt{34}$

感想

問題自体は標準的だが、時間にくらべて問題量が多い。ゴリ押しでも解ける問題がおおいが、早く解けるような解法を選択していかなければ間に合わないだろう。計算も早く正確におこなように練習しておく必要がある。