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xの二乗に比例する関数(特徴・式・値)(基)

今回から、二乗に比例する関数を見ていく。

 前回 ←2次方程式の文章題 (速度 割合 濃度) (難)

 次回 → 2次関数のグラフ(グラフの書き方・グラフの特徴①②)(基)

 

 

0. xの二乗に比例する関数

以下の対応表を見てみよう

  f:id:keimathchem:20181011035446p:plain

 

①と②の違いを考えると、

 f:id:keimathchem:20181011040753p:plain

 ①では、x の値を2倍、3倍・・・とすると、y の値も2倍、3倍・・・になる

 ②では、x の値を2倍、3倍・・・とすると、y の値は4倍、9倍・・・になる。

②のようなとき、yxの二乗に比例しているという。

 

さて、

yx の二乗に比例するなら 、y=ax^2 (aは定数)という関係が成り立つ。

これは必ず覚える。

 例えば、今回の②は y=x^2 ( a=1 )

という関係が成り立つ。

 

 

1. 2乗に比例する関数を見つける①

例題01

 以下のうち、yx の二乗に比例するものすべてを選べ。

f:id:keimathchem:20181011041931p:plain

 

解説

yxの二乗に比例しているなら、

x を2倍、3倍すると、y が4倍、9倍となる

そのようになっている対応表を選べば良い。

  f:id:keimathchem:20181020014530p:plain

以上の2つが正解。

 ①は 1次関数 y=2x+1

 ②は x を2倍すると、y が半分になっている。

 ④は xを2倍すると、y も2倍になっている。

 

 

解答

 ③、⑤

 


練習問題01

 以下のうち、yx の二乗に比例するものすべてを選べ。

f:id:keimathchem:20181011043115p:plain


 

2. 2乗に比例する関数を見つける

例題02

①~⑤のうち、yx の2乗に比例するものをすべてえらべ

 ① 面積 16 cm^2 の長方形の縦の長さを x cm 、横の長さを y cmとする

 ② 1辺の長さが x cmの正方形の周の長さを y cmとする

 ③ 縦の長さ 2x cm、横の長さ x cmの長方形の面積をy  cm^2とする。

 ④ 高さ 12 cmの三角形の底辺の長さを x cm、面積をy  cm^2とする

 ⑤ 底面が一辺 x cmの正方形、高さが 4 cmの直方体の体積を y cm^3とする。

 

解説

表を作って先ほどと同じように判断してもいいが、

yx の二乗に比例するなら 、y=ax^2 (aは定数)という関係が成り立つ。

ということを思い出し、①から⑤で式を作ってみて

y=ax^2の関係が成り立つか調べるとよい。

 ① y=\frac{16}{x} 反比例

 ② y=4x 比例

 ③ y=2x^2 二乗に比例

 ④ y=6x 比例

 ⑤ y=4x^2 二乗に比例

よって、答えは③、⑤ 

※ 単位だけ見て答えるというテクニックは、①を選んでしまうので良くない。

 

解答

 ③、⑤

 


練習問題02

 ①~⑤のうち、yx の2乗に比例するものをすべてえらべ

  ① 縦の長さ 6 cm、横の長さ x cmの長方形の面積を y  cm^2とする。

  ② 高さ 2x cmの三角形の底辺の長さを 3x cm、面積を y  cm^2とする

  ③ 半径 x cmの円の円周の長さを y cmとする。

  ④ 半径 x cmの円を底面とする、高さ 6 cmの円錐の体積を y cm^3とする。

  ⑤ 一辺の長さ x cmの立方体の体積を y cm^3とする。


 

 

 3. 式の決定

例題03

(1) yx の2乗に比例し、x=2 のとき,y=8 である。

 ① yx の式で表わせ。

 ② x=-3 のとき、y の値をもとめよ。

 ③ y=24 のとき、x の値をもとめよ。

 

(2) 関数 y=ax^2 について、x,y の関係が以下の表のようになった。

  f:id:keimathchem:20181020001835p:plain

 ① yx の式で表わせ。

 ②表のア~ウにあてはまる数を答えよ。

 

解説

yx の2乗に比例する」と書いてあれば、y=ax^2 とおける

あとは、与えられたx,yの値を代入し、 aの値を求めれば良い。

 

(1)

① 

 yxの2乗に比例するから、y=ax^2とおく

 x=2, y=8を代入すると

  8=a×(2)^2

  a=2 ←答えではない。

 聞かれているのは yx で表した式なので、

  y=2x^2 ・・・答

 以降の問題は、この式に代入していけばよい。

② 

 ①より、x, yの間には、y=2x^2 という関係があるから

 この式に、x=-3 を代入すると

  y=2×(-3)^2

   y=18・・・答

 同様に、y=2x^2y=24を代入すると

  24=2x^2

     x^2=12

   x=±2\sqrt{3}  (±を忘れない!) ・・・答

 

(2)

 y=ax^2に代入する値を、表から一組選ぶ。

 表から x=-2 のとき、y=-2であることがわかる。

 

 y=ax^2x=-2, y=-2 を代入すると

  -2=a×(-2)^2

   a=-\frac12

  よって、y=-\frac12 x^2・・・答

 ア :y=-\frac12 x^2x=-4を代入し、y=-8

 イ :y=-\frac12 x^2x=3を代入し、y=-\frac92

 ウ :y=-\frac12 x^2y=-18を代入し、x=6 

   ※ウは正であることに注意

 

x,yの値の組が1つわかれば、式を求めることができることを抑えておこう。 

 

解答

(1)

 ① y=2x^2

 ② y=18

 ③ x=±2\sqrt{3} 

(2) 

 ① y=-\frac12 x^2

 ② ア y=-8 イ y=-\frac92 ウ x=6 

 


練習問題03

(1) yx の2乗に比例し、x=3のとき,y=-6である。

 ① yx の式で表わせ。

 ② x=2 のとき、y の値をもとめよ。

 ③ y=-12 のとき、x の値をもとめよ。

(2) 関数 y=ax^2 について、x,y の関係が以下の表のようになった。

  f:id:keimathchem:20181020005316p:plain

 ① yx の式で表わせ。

 ②表のア~ウにあてはまる数を答えよ。


 

4. 演習問題


(1) ①~⑤のうち、yx の2乗に比例するものをすべてえらべ

 ① 半径 x cmの円の面積を y cm^2とする。

 ② 縦の長さ 3x cm、横の長さ 6 cmの長方形の面積を y cm^2とする。

 ③ 1辺の長さが x cmの立方体の表面積を y cm^2とする。

 ④ 1辺 6 cmの正方形を底面とする高さx cmの直方体の体積を y cm^3とする。

 ⑤ 半径 x cmの球の表面積を y cm^2とする。

 

(2) y=\frac14 x^2 について、x=6 のときの y の値をもとめよ。

 

(3) y=-2x^2 について、y=-\frac12 のときの x の値をもとめよ。

 

(4) y=ax^2 について、x=4 のとき y=4 である。a の値をもとめよ

 

(5) yx^2 に比例し。x=5 のとき y=-15 である。yx の式で表わせ。

 

(6) yx^2 に比例し、x=4 のとき y=8 である。x=6 のときの  y の値をもとめよ。


 

5. 解答

練習問題・解答

練習問題01

 ②、④ ・・・答

 

練習問題02

 ① y=6x  ✕比例   

 ② y=3x^2  ◯

 ③ y=2πx  ✕比例   

 ④ y=2πx^2

 ⑤ y=x^3  ✕3乗に比例

よって、②、④・・・答

 

練習問題03

(1)

 ①

  x=3のとき,y=-6なので、

   -6=9a

    a=-\frac23

  よって、y=-\frac23 x^2・・・答

 ②

  y=-\frac23 x^2x=2を代入し

   y=-\frac83・・・答

 ③

  y=-\frac23 x^2y=-12を代入し

   y=-3\sqrt2・・・答

 

(2)

 ① x=2のとき、y=3だから

   3=4a

    a=\frac34

  よって、y=\frac34 x^2・・・答

 ②

  ア :x=-4y=\frac34 x^2 に代入し、

    y=12・・・答

  イ :x=-3y=\frac34 x^2 に代入し、

    y=\frac{27}{4}・・・答

  ウ :y=18y=\frac34 x^2 に代入し、

    x=2\sqrt6・・・答

 

 演習問題・解答

(1) 

 ① , ③, ⑤

(2)

 y=\frac14 x^2に、x=6 を代入し

  y=9 ・・・答

(3)

 y=-2x^2に、y=-\frac12 を代入し

  x=±\frac12・・・答

(4)

 y=ax^2に、x=4のときy=4を代入し

  a=\frac14・・・答 

(5)

 y=ax^2に、x=5. y=-15を代入し

  a=-\frac35

 よって、y=-\frac35 x^2・・・答

(6)

 y=ax^2に、x=4. y=8を代入し

  a=\frac12

 よって、y=\frac12 x^2

 ここに、x=6を代入し

  y=18・・・答