2次方程式の文章題(3)(速度、割合、食塩水(2回操作) )(難)

2次方程式の文章題の発展問題を扱う。

このあたりは、学校準拠教材や標準レベルの入試問題集ではほとんど練習の機会がない。

　前回　←2次方程式の文章題(1)(代入、数量関係、面積体積)(基～標)

　次回　→ xの二乗に比例する関数(基)

諸事情でかなり遅れてしまった・・・やっと次回から2次関数に入れる。

その前に、2次方程式部分の校正作業をしないと・・・

3.3 2次方程式と文章題

　　3.3.1 2次方程式の文章題(1)(代入、数量関係、面積体積)(基～標)

　　3.3.2 2次方程式と文章題(2)(点の移動、関数(標)

　　3.3.3 2次方程式と文章題(3)(速度、割合、食塩水)(難)

　　3.3.4 2次方程式の文章題(4)(図形の重なり)(標~難)

1.速さに関する問題
2.売上の変化
3.割合の問題
4.食塩水
5.演習問題
5.解答
- 練習問題・解答
- 演習問題・解答

1.速さに関する問題

例題01

(1)

　40kmはなれた2地点A,Bがある。P君がAから時速4kmでBに向かい、Q君がBからAに向かって動く。P,Qが同時に出発し、2がすれ違ってからQがAにつくのに2時間40分かかった。出発してからすれ違うまでの時間と、Qの速さをそれぞれもとめよ

(2)

　1500mはなれた2地点A,Bがある。P君がAからBに向かい、Q君がBからAに向かって動く。P,Qが同時に出発し、2がすれ違ってからPがBにつくのに40分、QがAにつくのに90分かかった。P, Qの速さをそれぞれもとめよ。

解説

　速さが分からない点が難しい。

　そこで、出会うまでの時間をx時間とおけば、速さをxで表せる。

(1)

出会う(すれ違う)までにかかる時間を x時間とする

　出会うまでにPが動いた距離は、 $4x$

　Qはこの距離を2時間40分で移動するので、

　Qの速さは、 $4x÷\frac{8}{3}=\frac32 x$

f:id:keimathchem:20180912223354p:plain

後は、中1で学んだ方程式のたて方と同じ

PとQが出会うまでに進む距離をだし、その和が40 kmになればよい

　Pが出会うまでに進む距離は、 $4x$

　Qが出会うまでに進む距離は、 $\frac32 x×x=\frac32 x^2$

f:id:keimathchem:20180912223813p:plain

よって、

　 $4x+\frac32 x^2=40$

という式ができる。これを解けば良い。

(2)

出会う(すれ違う)までの時間を x分とする

f:id:keimathchem:20180912232410p:plain

Pは1500m を $40+x$ 分で移動する

Qは1500m を $90+x$ 分で移動する。

つまり、P,Qの速さは

　P $\frac{1500}{40+x}$ 、Q $\frac{1500}{90+x}$

となる。

あとは(1)と同じ

すなわち、P、Qが出会うまでに進んだ距離は

　P $\frac{1500x}{40+x}$ 、　　Q $\frac{1500x}{90+x}$

f:id:keimathchem:20180912233416p:plain

よって、

　 $\frac{1500x}{40+x}+\frac{1500x}{90+x}=1500$

これを解けばよい。

解答

(1)

P,Qが出発してから、すれ違うまでにかかる時間をx (時間)とする

PがQとすれ違うまでに進む距離は　 $4x$ km

Qはこの距離は2時間40分で進むので、Qの速さは、 $\frac32 x$ km/h

よって、QがPとすれ違うまでに進む距離は、 $\frac32 x^2$ km

以上より、

　 $4x+\frac32 x^2=40$

　 $3x^2+8x-80=0$

　 $(3x+20)(x-4)=0$

　　 $x=4$ 時間

Qの速さは

　 $\frac32 x=6$ km/h

ゆえに、

　出会うまでの時間は4時間、Qの速さは $6$ km/h・・・答

(2)

出会う(すれ違う)までの時間を x分とする

P,Qの速さはそれぞれ、 $\frac{1500}{40+x}$ 、 $\frac{1500}{90+x}$

P、Qがそれぞれ出会うまでに進んだ距離は

　P $\frac{1500x}{40+x}$ 、Q $\frac{1500x}{90+x}$

であるから

　 $\frac{1500x}{40+x}+\frac{1500x}{90+x}=1500$

　 $x(90+x)+x(40+x)=(90+x)(40+x)$

　 $x^2=3600$

　　 $x=60$ (x>0)

よって、P:分速15m、Q:分速10m・・・答

練習問題01

(1) 27 kmはなれた2地点A,Bがある。P君がAから時速8kmでBに向かい、Q君がBからAに向かって動く。QはPに10分遅れて出発し、2がすれ違ってからQがAにつくのに3時間10分かかった。Qの速さをもとめよ

(2) 3.6 kmはなれた2地点A,Bがある。P君がAからBに向かい、Q君がBからAに向かって動く。QはPに20分遅れて出発し、P君はQ君とすれ違ってから1時間15分後にBに到着し、Q君はP君とすれ違って2時間40分後にAに到着した、P君とQ君が出会うのはP君が出発してから何時間後か

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2.売上の変化

例題02

(1)

300円で売ると150個売れる商品がある。10円値下げすると売れる個数は6個増加する。このとき売上が39960円になるには何円で売ればよいか。ただし売値は300円以下とする。

(2)

　ある商品はx %の値上げをすると、売上個数は $\frac45 x$ %減る。1200円の定価をいくらで売れば、売上総額が変わらないか。

＜出典:(1)明星(2)慶應＞

解説

(1)

例えば、30円値下げすると、売れる個数は6×3個増加する

つまり、x円値下げすると、売れる個数は $6×\frac{x}{10}$ 個増加する。

もちろん値段は、 $300-x$ 円であるから、

　 $(300-x)(150+\frac{6x}{10})=39960$

が成り立つ。これを解けばよい。

※10x円値下げするとして

　　 $(300-10x)(150-6x)=39960$

　としてもよい。

(2)

　(1)と同じようにするには売上個数があるとよい。そこで、売上個数をnとする。

x %の値上げをすると、

　売価は $1200(1+\frac{x}{100})$ 円

　売上個数は $n(1-\frac{4x}{500})$ 個

よって、

　 $1200(1+\frac{x}{100})×n(1-\frac{4x}{500})=1200n$

両辺を1200nで割ればnを消去できる

　 $(1+\frac{x}{100})(1-\frac{4x}{500})=1$

これを解けばよい

解答

(1)

x円値下げするとすると

　 $(300-x)(150+\frac{6x}{10})=39960$

　 $45000+180x-150x-\frac35 x^2=39960$

　 $\frac35 x^2-30x-5040=0$

　 $x^2-50x-8400=0$

　 $(x-120)(x+70)=0$

　　 $x=120$

　よって、180円・・・答

(2)

x %の値上げとすると、

　 $(1+\frac{x}{100})(1-\frac{4x}{500})=1$

　 $1-\frac{4x}{500}+\frac{x}{100}-\frac{4x^2}{50000}=1$

　 $\frac{x}{500}-\frac{x^2}{12500}=0$

　 $x^2-25x=0$

　 $x(x-25)=0$

　　 $x=25$

25%の値上げをすれば売上総額は変わらない

よって、1500円・・・答

練習問題02

(1) 300円で150個売れる商品がある。8円値下げすると売上個数が3個増える。売上総額を35100円にするにはいくらで売ればよいか。

(2) ある商品は定価のx%引きで売ると、売上個数は2x%増える。10.5%の増収となるには何%引きで売ればよいか

3.割合の問題

例題03

　原価2000円の商品をx%の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので、定価のx%引で売ったところ、80円の損失であった。正の数 xをもとめよ。

解説

　「定価→売価」と1つずつ計算していこう。

原価2000円にx%の利益を見込んだから、

　定価は $2000(1+\frac{x}{100})$

定価をx%引きしたから

　売価は $2000(1+\frac{x}{100})(1-\frac{x}{100})$

80円の損失なので、売価は1920円であるから

　 $2000(1+\frac{x}{100})(1-\frac{x}{100})=1920$

これを解けばよい

解答

　 $2000(1+\frac{x}{100})(1-\frac{x}{100})=1920$

　 $(1+\frac{x}{100})(1-\frac{x}{100})=0.96$

　 $\frac{x^2}{10000}=-0.04$

　 $x^2=400$

　　 $x=20$ (x>0) ・・・答

練習問題03

あるイベントの1日めの来場者は400人で、2日目はx%多く、3日目は2日めより2x%多く750人であった。2日目の来場者は何人か

4.食塩水

例題04

10%の食塩水200gをいれた容器がある。この容器からx gの食塩水をくみ出した後、x gの水を入れてよくかき混ぜた。さらに x gの食塩水をくみ出した後、x gの水を入れてよくかき混ぜたところ、濃度が3.6%になった。ことのき xの値をもとめよ。

＜出典:西大和＞

解説

10%の食塩水200 gには、20 gの食塩が含まれている。

　例えば、この食塩水から $\frac14$ の食塩水を汲み出すと、

　　　　　残った食塩の量は $20g×\frac{3}{4}$ gである。

f:id:keimathchem:20180916035323p:plain

同様に　200gの食塩水から xgを汲み出すと、

　　　　容器に残った食塩の量は $20(1-\frac{x}{200})$ g

f:id:keimathchem:20180916035936p:plain

今回の問題では、この操作を2回行うので、

　最終的に残る食塩の量は、 $20(1-\frac{x}{200})(1-\frac{x}{200})$ g

　3.6%の食塩水200 gに含まれる食塩の量は、 $7.2$ g

ゆえに

　 $20(1-\frac{x}{200})^2=7.2$

これを解けばよい。

解答

　 $20(1-\frac{x}{200})^2=7.2$

　 $(1-\frac{x}{200})^2=0.36$

　 $1-\frac{x}{200}=0.6$ 　　( $1-\frac{x}{200}＞0$ )

　 $\frac{x}{200}=0.4$

　　 $x=80$ g　・・・答

補足

以下のような表を埋めていっても、方程式を作れる。

まず食塩の量を埋める

また、1回目の操作で取り出されるのは、濃度 10％の食塩水 x gだから

　取り出される食塩の量は $0.1x$ g

1回目の操作の結果

　全体量は水を入れるので　200gに戻る

　食塩の量は 0.1x分取り出されるので、 $20-0.1x$

　よって、濃度は、 $\frac{20-0.1x}{200}$

このように埋めていけば最終的に以下のようになる

最終結果の食塩水と、出来た食塩水は同じものなので、

食塩の量について

　 $20-0.1-\frac{x(20-0.1x)}{200}=7.2$

これを解けばよい。

練習問題04

(1)

　20%の食塩水200gがある。この食塩水からx gを取り出し、代わりに同量の水を加えよく混ぜた。さらに出来上がった食塩水から2x gを取り出し同量の水を加えよく混ぜたところ14.4%食塩水となった。xの値をもとめよ。

(2)

10％の食塩水Aが200gある。食塩水Aからx g取り出し、代わりに同量の水を加えた。さらに出来上がった食塩水からx gを取り出し、代わりに8%の食塩水Bをx gくわえたところ、濃度が8.9%になった。xの値をもとめよ。

(出典:(1)ラ・サール)

5.演習問題

(1)　4.5 kmはなれた2地点A,Bがある。P君がAからBに向かい、Q君がBからAに向かって動く。P,Qが同時に出発し、2がすれ違ってからPがBにつくのに12分30秒、QがAにつくのに8分かかった。P, Qの速さをそれぞれもとめよ。

(2)　あるバスでは、運賃をa% (a>0) 上げれば乗客数 $\frac{1}{2}a$ %減るという。

　①運賃を10％値上げすれば収益は何%増収か

　②値上げ率を50％に抑えて8％の増収を得るには運賃を何%値上げすればよいか

(3)　ある商品を1000円で仕入れ、2a% (a>0)の利益を見込んだ定価をつけた。その後、定価のa%引きで売ったところ80円の利益を得た。aの値をもとめよ

(4)　6%の食塩水Aが200 g、8%の食塩水Bが120 gある。食塩水Aからx gを取り出し、食塩水Bにくわえよくかき混ぜた。その後、 $\frac12 x$ gの水とともに、食塩水Bから $\frac12 x$ gを取り出し食塩水Aにくわえよくかき混ぜると食塩水Aの濃度が5.04%になった。xの値をもとめよ。

(出典: (2)早稲田大高等部 (3) 東京電機大高(4)桐蔭学園)

5.解答

練習問題・解答

練習問題01　

(1)

Pが出発してから、Qと出会うまでにかかる時間を xとする

PはQと出会うまでに $8x$ km 進む。

この距離をQは3時間10分で進むので、Qの速さは $8x÷\frac83=3x$ km/h

QはPより10分遅れて出発するので

　 $8x+3x(x-\frac16)=27$

これを解くと

　 $8x+3x(x-\frac16)=27$

　 $2x^2+5x-18=0$

　 $(x-2)(2x+9)=0$

　　 $x=2$ (x>0)

　よって、Qの速さは 6km/h ・・・答

(2)

Pが出発してから、Qと出会うまでにかかる時間を xとする

　Pは3.6kmを $x+\frac54$ 時間で進む

　Qは3.6kmを $x+\frac73$ 時間で進む

よってそれぞれの速さは

　P $\frac{36}{10(x+\frac54)}$ 、Q $\frac{36}{10(x+\frac73)}$

以上より

　 $\frac{36x}{10(x+\frac54)}+\frac{36(x-\frac13)}{10(x+\frac73)}＝3.6$

　 $\frac{x}{x+\frac54}+\frac{x-\frac13}{x+\frac73}=1$

　 $x(x+\frac73)+(x+\frac54)(x-\frac13)=(x+\frac54)(x+\frac73)$

　 $x^2-\frac13 x-\frac{10}{3}=0$

　 $3x^2-x-10=0$

　 $(3x-5)(x+2)=0$

　　 $x=\frac53$ (x>0)

よって、1時間40分後・・・答

練習問題02

(1)

　x円値下げすると、

　売価は $300-x$ 円、売上個数は $150+\frac{3x}{8}$ 個となるので、

　　 $(300-x)(150+\frac{3x}{8})=35100$

　　 $45000+\frac{900x}{8}-150x-\frac{3x^2}{8}=35100$

　　 $\frac{3x^2}{8}+\frac{300x}{8}-9900=0$

　　 $x^2+100x-26400=0$

　　 $(x-120)(x+220)=0$

　　　 $x=120$

　よって、180円・・・答

(2)

定価 a円で、売上個数がn個とすると売上は $an$ 円

定価のx%引きで売ると、売上個数は2x%増えるので

　売価は $a(1-\frac{x}{100})$ 円、売上個数は $n(1+\frac{2x}{100})$ 個

よって、値下げ後の売上は $an(1-\frac{x}{100})(1+\frac{2x}{100})$ 円

10.5%の増収なので

　 $an(1-\frac{x}{100})(1+\frac{2x}{100})÷an=1.105$

　 $(1-\frac{x}{100})(1+\frac{2x}{100})=1.105$

　 $\frac{x}{100}-\frac{2x^2}{10000}=0.105$

　 $x^2-50x+525=0$

　 $(x-15)(x-35)=0$

　 $x=15,35$

よって、15％引き、35%引き・・・答

練習問題03

　 $400(1+\frac{x}{100})(1+\frac{2x}{100})=750$

　 $x^2+150x-4375=0$

　 $(x-25)(x+175)=0$

　　 $x=25$

400人より25%多いので、500人・・・答

練習問題04

(1)

20%の食塩水200gに含まれる食塩は 40 g

14.4%食塩水200gに含まれる食塩は 28.8 g

よって、

　 $40(1-\frac{x}{200})(1-\frac{2x}{200})=28.8$

　 $-\frac{3x}{200}+\frac{2x^2}{40000}=-0.28$

　 $x^2-300x+5600=0$

　 $(x-20)(x-280)=0$

　　 $x=20$

ゆえに 20g・・・答

(2)

食塩水Aは最終的に8% 200gの食塩水になればよい

10％の食塩水 200gに含まれる食塩は 20g

　8.9%の食塩水 200gに含まれる食塩は 17.8g

x g取り出し代わりに同量の水をくわえると、食塩の量は

　 $20(1-\frac{x}{200})$

さらにx g取り出しすと

　 $20(1-\frac{x}{200})^2$

ここに8%の食塩水 xgを加えるので、食塩の量は

　 $20(1-\frac{x}{200})^2+0.08x$

よって、

　 $20(1-\frac{x}{200})^2+0.08x=17.8$

　 $x^2-240x+4400=0$

　 $(x-20)(x+220)=0$

　　 $x=20$

以上より、20 g・・・答

演習問題・解答

(1)

　x分に出会うとすると、

　　Pの速さ　 $\frac{4500}{x+12.5}$ m/分

　　Qの速さ　 $\frac{4500}{x+8}$ m/分

　よって、

　　 $\frac{4500x}{x+12.5}+\frac{4500x}{x+8}=4500$

　　 $\frac{x}{x+12.5}+\frac{x}{x+8}=1$

　　 $x(x+8)+x(x+12.5)=(x+8)(x+12.5)$

　　 $x^2=100$

　　　 $x=10$

　よって、

　　Pの速さ:分速200 m　Qの速さ:分速250m・・・答

(2)

　定価x円で乗客数を y人とすると、売上は $xy$ 円

　a%値上げしたときの売上は　 $x(1+\frac{a}{100})×y(1-\frac{a}{200})$ 円

　よって、収益は　 $\{ (1+\frac{a}{100})(1-\frac{a}{200})-1 \} ×100$ の増収

①

　 $a=10$ を代入し

　　 $\{(1+0.1)×(1-0.05)-1\}=4.5$

　よって、4.5%の増収・・・答

②

　 $\{ (1+\frac{a}{100})(1-\frac{a}{200})-1 \} ×100=8$

　 $a^2-100a+1600=0$

　 $(a-80)(a-20)=0$

　　 $a=20$ (0≦a≦50)

　よって、20%の値上げ・・・答

(3)

　 $1000(1+\frac{2a}{100})(1-\frac{a}{100})=1080$

　 $a^2-50a+400=0$

　 $(a-40)(a-10)=0$

　　 $a=10,40$ 　・・・答

(4)　

食塩のみを追っていくと、

　1回めの操作後

　　食塩水Aに残る食塩　 $12(1-\frac{x}{200})$

　　食塩水Bに残る食塩　 $9.6+\frac{12x}{200}$

　2回めの操作後

　　食塩水Aに残る食塩　 $12(1-\frac{x}{200})+(9.6+\frac{12x}{200})×\frac{\frac12 x}{120+x}$

よって、

　 $12(1-\frac{x}{200})+(9.6+\frac{12x}{200})×\frac{\frac12 x}{120+x})=10.08$

　 $\frac{3(200-x)}{50}+\frac{480+3x}{50}×\frac{x}{2(120+x)}=10.08$

　 $2(200-x)+\frac{x(x+160)}{120+x}=336$

　 $2(200-x)(120+x)+x(x+160)=336(x+120)$

　 $x^2+16x-7680=0$

　 $(x-80)(x+96)=0$

　　 $x=80$

　よって、80 g・・・答

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